1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 抛物线 2 4yx上点M的横坐标为1，则点M到该抛物线的焦点的距离为（） A3B2C1.5D1 【例 2】 设抛物线 2 8yx的焦点为F， 准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足 如 果直线AF的斜率为3，那么PF A4 3B8C8 3D16 【例 3】 抛物线 2 4xy 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则（） A84 ABO ABS ，B82 AOB ABS ， C42 AOB ABS ，D44 AOB ABS ， 【例 4】 过点(1 2)M，且以y轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（） A圆B椭圆C双曲线D抛物线 【例 5】
2、 设O为坐标原点，F为抛物线 2 4yx的焦点，A是抛物线上一点， 若4OA AF ， 则点A的坐标是（） A(2,2 2)B(2, 2 2) C(1,2)D(1, 2) 【例 6】 抛物线 2 4yx的弦AB过定点(2 0)，则AOB是（） A锐角B直角C钝角D以上都可能 【例 7】 已知点P在抛物线 2 4yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点P的坐标为（） A 1 1 4 ，B 1 1 4 ，C(1 2)，D(12)， 【例 8】 已知点P是抛物线 2 2yx上的一个动点，则点P到点A02，的距离与P到该抛 物线准线的距离之和的最小值为（） A
3、 17 2 B3C5D 9 2 板块二.抛物线的几何性质 【学而思高中数学讲义】 【例 9】 已知直线 1:4 360lxy和直线 2: 1lx ， 抛物线 2 4yx上一动点P到直线 1 l和 直线 2 l的距离之和的最小值是（） A2B3C 11 5 D 37 16 【例 10】已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且 |2 |AKAF，则AFK的面积为（） A4B8C16D32 【例 11】设斜率为2的直线l过抛物线 2 (0)yaxa的焦点F，且和y轴交于点A， 若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（） A 2 4yx B 2 8yx C
4、 2 4yxD 2 8yx 【例 12】设抛物线C： 2 8yx的焦点为F，准线与x轴相交于点K，点A在C上且 |2 |AKAF，则AFK的面积为（） A4B8C16D32 【例 13】已知直线20yk xk与抛物线 2 :8C yx相交于A、B两点，F为C的 焦点若2FAFB，则k （） A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 【例 14】连接抛物线 2 4xy的焦点F与点(1, 0)M所得的线段与抛物线交于点A， 设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（） A12 B 3 2 2 C12D 3 2 2 【例 15】设抛物线 2 2yx的焦点为F，过点 30M，的直线与抛物线相
5、交于AB， 两点， 与抛物线的准线相交于点C，2BF ， 则BCF与ACF的面积之比 BCF ACF S S （） A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 【例 16】如图，过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其 准线于点C，若2BCBF，且3AF ，则此抛物线的方程为（） A 2 3 2 yxB 2 3yx C 2 9 2 yxD 2 9yx 【学而思高中数学讲义】 【例 17】已知点P是抛物线 2 2yx上的一个动点，则点P到点(0,2)M的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（） A3B 17 2 C5D 9 2 【例 18】过抛物线 2
6、 2(0)xpy p的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于 A、B两点（A在y轴左侧） ，则 AF FB 【例 19】设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点(02)A，若线段FA的中点B在抛 物线上，则B到该抛物线准线的距离为 【例 20】已知抛物线 2 2(0)Cypx p的准线为l， 过(10)M，且斜率为3的直线与l 相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB ，则p 【例 21】已知F是抛物线 2 4Cyx：的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点 为22M，则ABF的面积等于 【例 22】过抛物线 2 4yx的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点， 若线段PF与FQ
7、的长分别是p、q，则 11 pq _ 【例 23】直线1ykx与抛物线 2 yx交于A、B两点，设以AB为直线的圆为圆C， 则坐标原点O与圆C的关系为_ 【例 24】已知P是抛物线 2 16yx上的一点，它到x轴的距离为12，则它到焦点的距离 为_ 【例 25】抛物线 2 yx上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_ 【例 26】抛物线 2 29yx上一点M到焦点的距离为 73 8 ，则点M到抛物线顶点的距离 是 【学而思高中数学讲义】 【例 27】抛物线 2 8yx的焦点为F，点P在抛物线上，若5PF ，则点P的坐标为 _ 【例 28】已知抛物线 2 1 12 xy上有两点P、Q， 若P点的横
8、坐标为2，则点P到焦点的距离为_； 若Q点到焦点的距离为9，则Q点的坐标为_ 【例 29】已知点(3 2)M，F为抛物线 2 2yx的焦点，点P在该抛物线上移动，当 PMPF取最小值时，点P的坐标为_ 【例 30】对于抛物线 2 4yx上任意一点Q， 点(0)P a，都满足PQa， 则a的取值范 围是_ 【例 31】过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作直线l，交抛物线于A B，两点，交其准 线于C点若 5 3 CBBF ，则直线l的斜率为_ 【例 32】已知抛物线 2 1yax的焦点是坐标原点， 则以抛物线与两坐标轴的三个交 点为顶点的三角形面积为 【例 33】过抛物线 2 16yx上的
9、动点P向圆 22 (4)1xy引切线，则切线长的最小值 是_ 【例 34】若抛物线 2 4yx的弦AB垂直于x轴，且4 2AB ，则抛物线的焦点到直线 AB的距离为_ 【例 35】过抛物线 2 2(0)ypx P的焦点F作一直线l与抛物线交于P Q，两点，作 11 PPQQ，垂直于抛物线的准线，垂足分别是 11 PQ，已知线段PFQF，的长度分别 是a b，那么 11 |PQ 【例 36】已知()P xy，是抛物线 2 8yx 的准线与双曲线 22 1 82 xy 的两条渐近线所围 成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则2zxy的最大值为 【例 37】如果 1 P， 2 P， ， 8 P
10、是抛物线 2 4yx上的点， 它们的横坐标依次为 1 x， 2 x， ， 8 x，F 是抛物线的焦点，若 128 10 xxx，则 128 PFP FPF_ 【学而思高中数学讲义】 【例 38】已知圆 2 2 :32Axy， 点P是抛物线 2 :4C yx上的动点， 过点P作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 【例 39】如图，抛物线 2 2ypx的弦 12 PP交x轴于点Q，过 1 P、 2 P分别作x轴的垂线， 垂足为M、N，求证：OQ是OM和ON的比例中项 【例 40】定长为 3 的线段AB的两个端点在 2 yx上移动，AB中点为M， 求点M到 x轴的最短距离 【例 41】设抛物线
11、 2 2ypx（0p ）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B 两点点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O 【例 42】自抛物线 2 4yx上一点(1 2)A ，引两弦AM、AN， 已知两弦的斜率之和为零， 求AMN面积的最大值 【例 43】正方形ABCD的一条边AB在直线4yx上， 顶点C、D在抛物线 2 yx上， 求正方形的边长 【例 44】曲线 2 yx上两点B、C，O是原点，OBBC，则当B移动时，C的纵坐 【学而思高中数学讲义】 标的范围 【例 45】证明：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形 【例 46】从抛物线 2 2(0)ypx p上的一个定点A引两条倾斜角互补的弦AP，AQ， 则直线PQ的斜率为定值 【例 47】抛物线 2 2(0)ypx p的弦PQ的端点与顶点O的连线成直角时，直线PQ过 定点(20)p，；反之，抛物线 2 2(0)ypx p的弦PQ过定点(20)p，时，有 OPOQ
