1、学科网（北京）股份有限公司 2022 届新高考高三数学解答题功能性训练（届新高考高三数学解答题功能性训练（17） 考查范围：大题第一问考查范围：大题第一问 1.圆锥曲线中的基本量的求解圆锥曲线中的基本量的求解 2.面积、弦长、定点、定值等问面积、弦长、定点、定值等问 题题 1. 2016全国卷(文)-T20 在直角坐标系xOy中，直线:(0)l yt t交y轴于点M，交抛 物线 2 :2(0)C ypx p于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H 求 | | OH ON ； 【答案】2 【解析】 将直线l与抛物线方程联立，解得 2 (2 t P p ，) t，M关于点P的对称点
2、为N， 2 22 NM xxt p ， 2 NM yy t ， 2 (tN p ，) t，ON的方程为 p yx t ， 与抛物线方程联立，解得 2 2 ( t H p ，2 ) t | 2 | H N yOH ONy ； 2. 2010全国新课标卷(理)-T20 设 F1， F2分别是椭圆 ?： ? ? ? ? ? ? th?t的左、 右焦 点，过 F1斜率为 1 的直线与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 求 E 的离心率； 【答案】 2 2 【解析】由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a，又 2|AB|AF2|+|BF2|， 得? ? ?
3、? ?，l 的方程为 yx+c，其中 ? ? ? 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A、B 两点坐标满足方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t 化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）0 则?t? ? ? ? ，?t? ?h?t ? 因为直线 AB 斜率为 1，|AB|?|x1x2|?h?t? ?t? ?t?， 得? ? ? ? ? ?，故 a 22b2 所以 E 的离心率 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学科网（北京）股份有限公司 3. （2021 八省联考 19）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左顶点为A，右焦点
4、为F，动 点B在C上当BFAF时，| |AFBF求C的离心率； 【答案】2； 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件可得 2 b ac a ，据此可求离心率. （2）设 00 ,B x y，则 0 0 tan y BFA xc ， 0 0 tan y BAF xa ，再计算tan2 BAF， 利用点在双曲线上化简后可得tan2tanBAFBFA，从而可得结论成立. 【详解】 （1）设双曲线的半焦距为c，则,0F c， 2 , b B c a ， 因为| |AFBF，故 2 b ac a ，故 22 20caca ，即 2 20ee ， 故2e . 4.2016全国卷(理)-T20已知椭圆 22
5、 :1 3 xy E t 的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率 为(0)k k 的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA当4t ，| |AMAN时， 求AMN的面积； 【答案】 49 144 【解析】方法一、4t 时，椭圆E的方程为 22 1 43 xy ，( 2,0)A ， 直线AM的方程为(2)yk x， 代入椭圆方程， 整理可得 2222 (34)1616120kxk xk， 解得2x 或 2 2 86 34 k x k ，则 2 22 22 8612 |1|2|1 3434 k AMkk kk ， 由ANAM，可得 22 2 11212 |1()1 14 34 ()3| | ANk
6、 k k kk ， 由| |AMAN，0k ，可得 22 2 1212 11 4 34 3 kk k k k ， 整理可得 2 (1)(44)0kkk，由 2 440kk无实根，可得1k ， 学科网（北京）股份有限公司 即有AMN的面积为 22 1112144 |( 1 1) 223449 AM ； 方法二、由| |AMAN，可得M，N关于x轴对称， 由MANA可得直线AM的斜率为 1，直线AM的方程为2yx， 代入椭圆方程 22 1 43 xy ，可得 2 71640 xx， 解得2x 或 2 7 ， 2 ( 7 M ， 12) 7 ， 2 ( 7 N ， 12) 7 ， 则AMN的面积为
7、1242144 (2) 27749 ； 5. 2019全国卷(理)-T19 已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的 交点为A，B，与x轴的交点为P若| 4AFBF，求l的方程； 【答案】 37 28 yx 【解析】 设直线l的方程为 3 () 2 yxt， 将其代入抛物线 2 3yx得： 22 999 (3)0 424 xtxt， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 9 3 4 2 2 9 3 4 t xxt ， 2 12 x xt， 由抛物线的定义可得： 12 43 |24 32 AFBFxxpt，解得 7 12 t ， 直线
8、l的方程为 37 28 yx 6.2018全国卷卷 （理） -T20已知斜率为k的直线l与椭圆 22 :1 43 xy C交于A，B两点， 线段AB的中点为(1M，)(0)m m 证明： 1 2 k ； 【答案】见解析 【解析】设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 线段AB的中点为(1,)Mm， 12 2xx， 12 2yym 将A，B代入椭圆 22 :1 43 xy C中，可得 22 11 22 22 3412 3412 xy xy ， 学科网（北京）股份有限公司 两式相减可得， 12121212 3()()4()()0 xxxxyyyy， 即 1212 6()8 ()
9、0 xxm yy， 12 12 63 84 yy k xxmm 点(1,)Mm在椭圆内，即 2 1 1,(0) 43 m m， 解得 3 0 2 m 31 42 k m 7. 2019全国卷(文)-T21已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两 条切线，切点分别为A，B证明：直线AB过定点 【答案】见解析 【解析】证明：设 1 ( ,) 2 D t ， 1 (A x， 1) y，则 2 11 2xy， 由于yx ，切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt ，整理得： 11 2210txy 设 2 (B x， 2) y，同理可得 22
10、 2210txy 故直线AB的方程为2210txy 直线AB 过定点 1 (0, ) 2 ； 8. 2015全国新课标卷(理)-T20已知椭圆 222 :9(0)Cxym m，直线l不过原点O且 不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜 率与l的斜率的乘积为定值； 【答案】-9 【解析】设直线: l ykxb，(0,0)kb， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，( M M x，) M y， 将ykxb代入 222 9(0)xym m，得 2222 (9)20kxkbxbm， 则判别式 22222 44(9)()0k bkbm， 则 12 2 2 9 kb xx k ，则 12 2 29 M xxkb x k ， 2 9 9 MM b ykxb k ， 于是直线OM的斜率 9 M OM M y k xk ， 即9 OM kk 学科网（北京）股份有限公司
