1、材料材料X射线衍射与电子显微镜射线衍射与电子显微镜 全册配套最完整精品课件全册配套最完整精品课件3 X射线衍射分析射线衍射分析 伦琴 1845-1923 1895年发现X射线 1896年正式发表 1901年获诺贝尔物理学奖 u1912年，劳厄（Max Von Laue，1879-1960）证实 X射线穿过硫化锌晶体后会产生衍射，在底片上出 现四次对称的衍射斑点，既证实了X射线具有波动 性，又验证了晶体具有周期性，标志着原子尺度 微观晶体学的诞生。 u 1914年，劳厄因发现晶体中X射线衍射获得诺贝尔 物理奖。 劳厄法X 射线衍射 实验的基 本装置与 所拍的照 片 u1913年，布喇格父子（Wi
2、lliam Henry Bragg， 1862-1942和William Lawrence Bragg，1890-1971） 推敲出X射线衍射理论。 u1915年，布喇格父子因用X射线研究晶体结构的成 就获得诺贝尔物理奖。小布喇格当年25岁，是历 届诺贝尔奖最年轻的得主。 X射线的应用 nX射线透射学：射线透射学：利用X射线的穿透能力得到透视照 片，如医用X光照片，材料内部无损探伤等； nX射线衍射学射线衍射学：利用X射线衍射测定晶体的结构和 对称性，晶格常数；测定晶粒尺寸，宏观应力和 织构等； nX射线光谱学：射线光谱学：利用X射线的光谱学来得到材料的 成分等微观信息，如X射线荧光谱仪等。
3、第一章第一章 X射线物理基础射线物理基础 本章主要内容本章主要内容 lX射线的产生 lX射线的性质 lX射线的种类 lX射线与物质的相互作用 lX射线的吸收及其应用 问题 X射线是怎样产生的？ 一. 射线的产生 X射线管的结构示意图 X射线管包括阴极、高压、阳极（靶材） 二. X射线的性质 X射线是一种与无线电波、可见光、紫外线、 射线相类似的电磁波，它具有以下几个性质： 1. 直线传播 X射线穿过不同媒介时，几乎毫不偏折地沿直线传 播，折射系数非常接近1，在电磁场中也不发生偏斜， 不能用一般方法使X射线会聚发散。 2. 波长极短 nX射线的波长大约在0.00110nm ( 10-2102 ）
4、之间， 介于紫外线与射线之间，但没有明显的分界线（见 图1-1）。 n“硬”X射线，“软”X射线 3. 穿透力极强 X射线可以透过可见光不能透过的物体。这是 由于X射线的波长比可见光的波长短得多的缘故。 电磁波的波长越短，频率越高，其能量越大。X 射线的波长极短，故其能量很大，可以穿透可见 光不能穿透的物质，可用于医疗和工业探伤。 4. 软X射线可用于X射线衍射分析 软X射线的波长（0.250.05nm）与晶体中原子间 距比较接近，当它通过晶体时会产生干涉、衍射和 散射等现象，因此常被用来进行X射线衍射分析， 研究晶体内部的结构。 5. 对生物细胞有很强的破坏作用 X射线对人体是有害的。人体经
5、X射线照射 后，会则造成放射病，甚至残废或死亡，尤其容 易造成眼睛失明，故须严加防护。 三、三、 X射线种类射线种类 X射线谱示意图 X射线强度随波长而变化的 关系曲线，即X射线谱。 丘包状曲线-连续谱(连续X射线） 竖直尖峰-特征谱（特征X射线） 短波限-短波段突然截至的极限 波长值 （一）连续（白色） X射线 波长连续变化的X射线 连续X射线的成因 连续X射线是由于高速运动的电子撞到阳极时突 然减速而产生的一种电磁辐射。由于撞到阳极上的电 子很多，每个电子碰撞的时间和条件都不一样，不少 电子与阳极作多次碰撞，转化为X射线的能量有多有 少，由此产生的X射线，其波长和频率必然是不同的， 是在一
6、定的范围内连续变化的。 连续X射线特点 u 由一系列波长不同的X射线 组成的； u 它有一个最短波长0； u 在大于最短波长的某一范 围内，其波长是连续变化的， 就如可见光的白光一样，故 又称之为白色X射线。 2 max 1 2 o hc eUhm 动 短波限短波限o：相当于一个电子将其在电场中加速得到的 全部动能转化为一个X光子时，该X光子的波长。 hcK eUU K=1.24nmkV u 短波限之与管压有关； u 管压，电子动能，碰撞次数 和X射线光子的的能量，强度。 2 IiZU 连 = 连续连续X射线总强度射线总强度： 值约为（值约为（1.1-1.4）10-9 n连续谱强度分布曲线下所
7、包围的面积，与在一定条 件下单位时间内发射的连续X射线总强度成正比。 各种因素对连续X射线的影响 2 IiZU 连 = X射线管发射连续射线管发射连续X射线的效率射线的效率为：为： 2 X X iZU ZU iU 连续 射线总强度 射线管功率 当用钨阳极（Z=74），管电压为100kV时，1%，可见效率是 很低的。 连续X射线的用途 连续X射线的用途不多，只有劳埃法才用它。 在其它方法中它只能造成不希望有的背景。 连续X射线（小结） 成因：高速运动的电子撞到阳极时突然减速，动能转变为光 能释放出来。 特点：有一个最短波长0，在大于最短波长的某 一范围内， 其波长连续变化。 0 ： 0只与管电压
8、有关 0 = hc/eU = 12.34/U 强度：I连与管电压、管电流和阳极材料有关 用途：劳埃法用其作光源。 2 IiZU 连= （二）特征X射线 可以作为元素的特征标志的X射线 特征X射线的特点 特征X射线由若干条特定 波长的X射线构成，这些X 射线的波长是不连续的。 特征X射线的成因 产生特征X射线的根本原因是原子的内层电子被激 发引起的电子跃迁。 特征X射线产生示意图 特征X射线的成因 1s2s2p K L1 L2 L3 K1 K2 自由电子自由电子 特征X射线的频率和波长决定于外层电子与 内层电子的能量差=外-内 即 hc/ = h = =外-内 或 =hc/ 因为外层电子的能量差
9、是一定的，所以特征 X射线的频率和波长是恒定不变的。 特征X射线的频率和波长 特征X射线的种类 K系特征X射线 L系特征X射线 M系特征X射线 特征特征X射线射线 K系特征X射线 当原子K层的电子被打掉 出现空位时，其外面的L、M、 N层的电子均有可能回 跃到K层来填补空位，由此 将产生K系特征X射线， 包括L层电子回跃到K层产生的K特征X射线，M层电子回跃 到K层产生的 K特征X射线和N层电子回跃到K层产生的K 特征X射线。 高能电子高能电子 L系特征X射线 与此相似,当原子L层的 电子被打掉, L层出现空位 时,其外面的M、N、O 层的电子也会回跃到L层来 填补空位，由此产生L系特 征X射
10、线。 同理，当原子M层的电子被激发时，由于N、O等外层电子 回跃到M层来填补空位将会产生M系特征X射线。 高能电子高能电子 原子的电子能级与可能产生的特征X 射线 原子的能级结构实际上是 很复杂的，按量子力学计 算，L壳层上的电子可以划 分为三个不同的能级，也 就是说，L壳层可以分为L1 、 L2和L3三个子壳层。类似地， M壳层可以划分为M1、M2、 M3、M4和M5 五个子壳层， N壳层可以分为7个子壳层。 特征X射线的波长 莫塞莱(H. G. Moseley)发 现，特征X射线的波长与原 子序数Z的平方成反比关系。 特征X射线的波长与阳极材 料的原子种类有关，与外界 条件无关。 22 2
11、1 111 ()()RZ nn 3 ()n K IK i UU 标 UK 为临界激发电压，n、K3 均为常数。特征X射线的绝 对强度随X射线管的电流和 电压的增加而增大。 适宜的管电压选用激发电压 的3-5倍，这时特征射线和连 续射线的强度比最大，峰背 比最高，对于利用特征射线 最为有利。 特征X射线的波长与管电 压无关，但其强度则与管电 压有关： 特征X射线的相对强度 l特征X射线的相对强度决定于电子在各能级间的跃 迁几率。由于L层电子比M层电子跃入K层的几率 大，所以K线比K线强。 l因为L3子壳层上的电子数比L2子壳层上的电子数 多1倍。L3子壳层比L2子壳层的电子跃入K层的几 率大，所
12、以K1线比K2线强。 特征X射线的用途 uX射线衍射分析的光源 ； u元素分析：每种化学元素都有其固定不变的特 征X射线。利用这一点可以进行元素成分分析， 这是X射线光谱分析的基本原理。 特征X射线（小结） 成因：原子的内层电子被激发造成电子跃迁。 特点：由若干条特定波长的X射线构成，波长不连续。 种类：K系特征X射线由于K层电子被激发造成电子跃迁 L系特征X射线由于L层电子被激发造成电子跃迁 M系特征X射线由于M层电子被激发造成电子跃迁 波长：只与阳极材料的原子种类有关，与外界条件无关 强度：相对强度决定于电子在不同能级间的跃迁几率； 绝对强度随管电流和管电压的增大而增大。 用途：X射线衍射
13、分析的主要光源；元素成分分析。 22 21 111 ()()RZ nn 3 ()n K IK i UU 标 四X射线与物质的相互作用 当X射线照射到物体上时，会发生散射和光电效应等现象 。 （一）散射 当X射线照射到晶体上时，部分光子由于与 原子内的电子碰撞而改变前进方向，造成散射。 X射线的散射可以分为相干散射和非相干散射。 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 相干散射 当X光子与原子内的紧束缚电子碰撞时，X光 子仅改变运动方向，能量没有损失。这种散射线 的波长与入射线的波长相同，并具有一定的相位 关系，它们可以互相干涉，形成衍射图样，故称 相干散射。X射线衍射分析就是利
14、用这种散射。 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 非相干散射 当X光子与自由电子或束缚很弱的电子碰撞时， 不仅运动方向发生变化，而且能量也发生变化。非 相干散射线由于波长各不相同，因此不会互相干涉 形成衍射线，它们散布于各个方向，强度一般很低， 在衍射分析中只会形成连续的背景。 非相干散射随入射X光的波长减小而增大，随 被照射物质原子序数的减小而增大。非相干散射对 衍射分析工作会产生不良的影响。 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 （二）光电吸收（光电效应） X射线把原子中处于某 一能级的电子打飞，使之 脱离原子成为具有一定能 量的光电子，使原子处于 激
15、发状态，而它本身则被 吸收。这个过程称为光电 吸收或光电效应。 K L3 L2 L3 X光子 光电子 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 荧光X射线 伴随光电吸收会产生荧 光X射线和俄歇电子。 因为光电吸收后，原子处 于激发态，内层出现空位。 这时，外层电子就要往内层 的空位跳，多余的能量会以 特征X射线的形式释放出来。 这种由X射线激发出来的X 射线，称为荧光X射线。 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 K L3 L2 L3 X光子光子 光电子光电子 荧光荧光X射线射线 俄歇电子 当外层电子往内层空位跃迁时，其 多余的能量不是以X射线的形式释放 出来，
16、而是传给原子的外层电子使之 脱离原子，变成自由电子。这个过程 称为俄歇作用。由俄歇作用产生的自 由电子称为俄歇电子。如K系的一个 电子被激发，L2层的一个电子越回K 层填补空位，多余的能量传给L3层的 电子使之成为自由电子。这个自由电 子就称为KL2L3俄歇电子。 材料研究方法材料研究方法 x 射线衍射分析射线衍射分析 K L3 L2 L3 X光子光子 光电子光电子 KL2L3俄歇电子俄歇电子 X射线与物质的相互作用（小结） 散射散射 相干散射：相干散射： 非相干散射：非相干散射： X光的运动方向改变，能量和波长不变，光的运动方向改变，能量和波长不变， 会相互干涉形成衍射线。会相互干涉形成衍射
17、线。 X光的运动方向改变，能量和波长也发光的运动方向改变，能量和波长也发 生改变，不会相互干涉形成衍射线。生改变，不会相互干涉形成衍射线。 光电吸收：光电吸收：当当X光的波长足够短时，光的波长足够短时， X光子能把原子中处于光子能把原子中处于 某能级上的电子打飞，使之成为光电子，使原子某能级上的电子打飞，使之成为光电子，使原子 处于激发态，而其本身则被吸收。处于激发态，而其本身则被吸收。 荧光荧光X射线：射线： 由由X射线激发出来的二次射线激发出来的二次X射线。射线。 俄歇电子：俄歇电子：由俄歇作用产生的自由电子。由俄歇作用产生的自由电子。 五X射线的吸收及其应用 当X射线穿过物体的过程中，由
18、于受到散射 和光电吸收，强度会减弱，这种现象称为X射 线的吸收。 反映物质对X光吸收能力的指标有线吸收系 数和质量吸收系数。 线吸收系数 当X射线穿过物体时，其强度按指数规律下降： 式中，I 和 I0分别为穿过厚度为t的均质物体的强度和入 射X射线的原始强度，l为线吸收系数，t为物质的厚度。 l 表征沿穿透方向单位长度上X射线强度衰减的程度。 它相当于单位厚度的物质对X射线的吸收指数。与X射线 的波长及吸收物质和吸收物质的物理状态有关。 t l e 0 II 质量吸收系数 线吸收系数与吸收体的密度成正比。 l = m 这里的m(= l /)称为质量吸收系数，表示单位 质量物质对X射线的吸收程度
19、。它只与X射线的 波长以及吸收物质的原子序数有关，与材料的厚 度和密度无关。因此，它可以反映不同元素吸收 X射线的能力。 复杂物质的质量吸收系数 复杂物质由n中化学元素组成，w1，w2 ， w3 ， wn为所含元素的质量分数，m1，m2， m3，mn相应元素的质量吸收系数，那么这 个复杂物质的质量吸收系数为 n i imim w 1 质量吸收系数与波长和原子序数的关系 u吸收物质一定时，X射线的波长越长越容易吸收； u波长一定时，吸收物质的原子序数越高，被吸收的X射 线越多。 质量吸收系数与波长和 原子系数之间的关系 33Z C m 吸收限 原因：对应这几个波长的X射线光子的能量刚好等于或 略
20、大于吸收体某个内层电子的结合能，X射线光 子因大量击出这些内层电子而被消耗掉。 质量吸收系数突变点的波长值称为该元素的吸收限。 元素的吸收限也有K系 （1个）、L系（3个）、 M系（5个）吸收限。 分别代表原子各壳层有 一个电子电离时所需要 的能量。 靶材选择 u入射线的波长应略大于样品的k或者短很多 u根据化学成分选择靶材的原则： Z靶Z样+1或Z靶Z样 见图8.8 X射线滤波片 在X射线衍射分析中常常要采用单色X光，因 K的强度较高，故一般是选择K作光源。但在X射 线管发出的X射线中有K时，必定伴有K和连续X射 线。这对衍射分析是不利的。必须设法把K和连续 X射线除去或将其减弱到最小程度。
21、通常是用滤波 片来实现这一目的。 滤波原理 选取合适的材料作滤波 片，使滤波片的k吸收限k正 好位于阳极材料的k和k之间， 用这种材料做成的滤波片就 能把阳极材料产生的k和连 续X射线大部分吸收掉，而k 却很少被吸收。经过滤波片 的“过滤”作用，就可得到 基本上是单色的X光。 滤波片材料的原子序数一般比阳极材料的原子序数小1或2。 例如，铜靶用镍作滤波片，钴靶用铁作滤波片。常用的滤波 片数据见表1-2 连续连续X射线射线 成因：成因：撞到阳极上的电子很多，每个电子碰撞的时间和条件撞到阳极上的电子很多，每个电子碰撞的时间和条件 都不一样都不一样，转化，转化为为X射线的能量有多有少，由此产生射线的
22、能量有多有少，由此产生 的的X射线的波长射线的波长和频率和频率必然不同。必然不同。 特点：特点：有一个最短波长有一个最短波长0，在大于最短波长的某，在大于最短波长的某 一范围内，一范围内， 其波长连续变化。其波长连续变化。 0 ： 0只与管电压有关只与管电压有关 0 = hc/eU = 12.34/U 强度：强度：I连 连与管电压、管电流和阳极材料有关 与管电压、管电流和阳极材料有关 用途：用途：劳埃法用其作光源。劳埃法用其作光源。 2 IiZU 连= 特征特征X射线射线 成因：成因：原子的内层电子被激发造成电子跃迁。原子的内层电子被激发造成电子跃迁。 特点：特点：由若干条特定波长的由若干条特
23、定波长的X射线构成，波长不连续。射线构成，波长不连续。 种类：种类：K系特征系特征X射线射线由于由于K层电子被激发造成电子跃迁层电子被激发造成电子跃迁 L系特征系特征X射线射线由于由于L层电子被激发造成电子跃迁层电子被激发造成电子跃迁 M系特征系特征X射线射线由于由于M层电子被激发造成电子跃迁层电子被激发造成电子跃迁 波长：波长：只与阳极材料的原子种类有关，与外界条件无关只与阳极材料的原子种类有关，与外界条件无关 强度：强度：相对强度决定于电子在不同能级间的跃迁几率；相对强度决定于电子在不同能级间的跃迁几率； 绝对强度随管电流和管电压的增大而增大。绝对强度随管电流和管电压的增大而增大。 用途：
24、用途：X射线衍射分析的主要光源；元素成分分析。射线衍射分析的主要光源；元素成分分析。 22 21 111 ()()RZ nn 3 ()n K IK i UU 标 X射线与物质的相互作用射线与物质的相互作用 散射散射 相干散射：相干散射： 非相干散射：非相干散射： X光的运动方向改变，能量和波长不变，光的运动方向改变，能量和波长不变， 会相互干涉形成衍射线。会相互干涉形成衍射线。 X光的运动方向改变，能量和波长也发光的运动方向改变，能量和波长也发 生改变，不会相互干涉形成衍射线。生改变，不会相互干涉形成衍射线。 光电吸收：光电吸收：当当X光的波长足够短时，光的波长足够短时， X光子能把原子中处于
25、光子能把原子中处于 某能级上的电子打飞，使之成为光电子，使原子某能级上的电子打飞，使之成为光电子，使原子 处于激发态，而其本身则被吸收。处于激发态，而其本身则被吸收。 荧光荧光X射线：射线： 由由X射线激发出来的二次射线激发出来的二次X射线。射线。 俄歇电子：俄歇电子：由俄歇作用产生的自由电子。由俄歇作用产生的自由电子。 吸收限及应用吸收限及应用 成因：成因：对应这几个波长的对应这几个波长的X射线光子的能量刚好等于或略大射线光子的能量刚好等于或略大 于吸收体某个内层电子的结合能，于吸收体某个内层电子的结合能，X射线光子因大量射线光子因大量 击出这些内层电子而被消耗掉。击出这些内层电子而被消耗掉
26、。 用途：用途：选择滤波片选择滤波片-使滤波片的使滤波片的k吸收限吸收限k正好位于阳极材料正好位于阳极材料 的的k和和k之间，之间，滤波片材料的原子序数一般比阳极材滤波片材料的原子序数一般比阳极材 料的原子序数小料的原子序数小1或或2。 第二章第二章 射线的衍射原理射线的衍射原理 n倒易点阵简介倒易点阵简介 n布拉格定律布拉格定律 n厄瓦尔德图解及其应用厄瓦尔德图解及其应用 第一节第一节 倒易点阵简介倒易点阵简介 晶体中的原子在三维空间周期性排列，每一周期以原 子（或离子、分子或原子集团等）为阵点组成单位晶胞， 它们重复排列成空间点阵。 空间点阵空间点阵可由单胞重复排列而得可由单胞重复排列而得
27、 整个空间点阵可以由 一个最简单的六面体 （用红线表示）在三维 方向重复排列而得，这 “最简单”的六面体称 为单位点阵或单胞。 单胞的表示方法 将这3个向量称为晶轴， 这3个向量即可以唯一确定 单胞的大小和形状。单胞的 大小和形状也可以用晶轴的 长度a、b、c以及相应夹角、 、来表示。把这些叫做点 阵参数或晶格参数。 单胞的形状和大小的表示 方法如图2-2所示。在单胞上 任意指定一个结点为原点， 由原点引出3个向量a、b、c。 七大晶系七大晶系 p立方立方- - Cubic a = b = c， = = = 90 p正方正方- - Tetragonal a = b c， = = = 90 p正
28、交正交- - Orthorhombic a b c， = = = 90 p菱方菱方- - Rhombohedral a = b = c ， = = 90 p六方六方- - Hexagonal a = b c， = = 90， =120 p单斜单斜- - Monoclinic a b c， = = 90， 90 p三斜三斜- - Triclinic a b c， 90 14种布拉菲点阵种布拉菲点阵 n简单三斜简单三斜 n简单单斜简单单斜 n底心单斜底心单斜 n简单六方简单六方 n简单菱方简单菱方 n简单正方简单正方 n体心正方体心正方 1848年布拉菲（Bravais）证实七种晶系中总共可以有十
29、 四种点阵布拉菲点阵布拉菲点阵。 布拉菲将晶胞分为简单晶胞简单晶胞和复杂晶胞复杂晶胞，简单晶胞中只 有一个结点，而复杂晶胞中有两个以上的结点。 简单正交 体心正交 底心正交 面心正交 简单立方 面心立方 体心立方 结点：将各类等同点概括地表示为抽象的几何点 14种布拉菲点阵种布拉菲点阵 简单点阵（P） 结点数：81/8 = 1 结点坐标：000 底心点阵（C） 结点数：81/8 + 21/2 = 2 结点坐标：000，1/2 1/2 0 14种布拉菲点阵种布拉菲点阵 面心点阵（F） 结点数：81/8 + 61/2 = 4 结点坐标：000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2，0 1/2
30、1/2 体心点阵（I） 结点数：81/8 + 1 = 2 结点坐标：000，1/2 1/2 1/2 14种布拉菲点阵种布拉菲点阵 晶面指数晶面指数 (Miller指数指数) v晶面指数晶面指数 (Miller 指数指数) (h k l) q找到晶面与三个晶轴的截距；找到晶面与三个晶轴的截距； q取截距值的倒数；取截距值的倒数； q约简为三个最小整数约简为三个最小整数 h，k，l； q用圆括号括起来：用圆括号括起来：(h k l) v用用h k l来表示由对称操作联系来表示由对称操作联系 的等价晶面的完全组合的等价晶面的完全组合 111 (111) (-111) (1-11) (11-1) (-
31、1-11) (-11-1) (1-1-1) (-1-1-1) 晶向指数晶向指数 v晶向指数晶向指数 q引出一条过坐标原点的结点直线；引出一条过坐标原点的结点直线； q在该直线上任选一个结点，量出它的坐标值并用点在该直线上任选一个结点，量出它的坐标值并用点 阵周期来度量；阵周期来度量； q将三个坐标值用同一个数乘或除，把它们化为简单将三个坐标值用同一个数乘或除，把它们化为简单 整数并用方括号括起：整数并用方括号括起：uvw； v用用来表示由对称操作联系的等价晶向的完全来表示由对称操作联系的等价晶向的完全 组合组合 六方晶系六方晶系 21 33 21 33 1 ()() 3 uUV vVW tuv
32、UV wW 三轴晶面指数(hkl)，四轴晶面指数(hkil) ，其中i=-(h+k) 三轴晶向指数(UVW)与四轴晶向指数(uvtw) 之间的关系 图图2-1 2-1 晶体点阵中的晶面与晶体点阵中的晶面与 倒易点阵中相应结点的关系倒易点阵中相应结点的关系 若从正点阵的原点出发，向(hkl)晶面作垂线，即(hkl) 的法线ON，在ON线上取一点Phkl，使OPhkl的长度与(hkl) 的面间距成反比，则Phkl点称倒易点。 / hklhkl gk d 倒易矢量的大小：倒易矢量的大小： 式中，k是比例常数，可 令其等于1或X射线的波长。 倒易点阵 图图2-2 2-2 晶体正点阵基矢与倒易晶体正点阵
33、基矢与倒易 点阵基矢的关系点阵基矢的关系 如图定义倒易点阵如图定义倒易点阵：令倒易 点阵晶胞的基矢为a*、b*及c*， 并令倒易轴c*a及b，a*b及 c，b*a及c。 正倒点阵基矢之间的关系：正倒点阵基矢之间的关系： b c a V * = ca b V * = a b c V * = 式中V是单胞的体积， ()()()Va b cb cac a b= 0a ba cb ab cc ac b * = 1c ca ab b * = 不同文字的倒易与正矢量的数量积为零，即： 而相同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1，即： 通过以上对倒易点阵性质的介绍得知：倒易矢量ghkl的 方向可以表征正点阵(
34、hkl)晶面的法线方向，而ghkl的长度为 (hkl)晶面间距的倒数。 可以看出，如果正点阵的晶轴相互垂直，则倒易轴亦 将相互垂直且平行晶轴，如立方和正方晶系。其它晶系则其它晶系则 没有这一关系。没有这一关系。 由晶体点阵经过倒易变换可建立起相应的倒易点阵。 图图2-3 2-3 晶面与倒易结晶面与倒易结 点的关系点的关系 图图2-4 a=0.4nm立立 方系晶面及其倒易方系晶面及其倒易 点阵（点阵（c及及c*轴与轴与 图面相垂直）图面相垂直） 可以看出，g矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数， 且其方向与晶面相垂直。 因(220)与(110)平行，故g200亦平行于g100 ，但长度不相等。 图
35、图16-4 16-4 正点阵和倒易点阵的几何对应关系正点阵和倒易点阵的几何对应关系 （见（见P185P185） 在晶体中如果若干个晶面同时平行于某一轴向时，则 这些晶面属于同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。 uavbwc晶带轴矢量 = hkl ghakblc * () ()0 * uavbwc hakblc 0hukvlw 1 22 11 22 1122 1 : :():():()u v wk lk ll hl hhkh k 如果两矢量垂如果两矢量垂 直，则有：直，则有： （晶带定律）（晶带定律） 当某晶带中二晶面的指数已知时， 则对应倒易矢量的矢积必平行晶带轴 矢量，因此晶带轴指数为晶带轴指
36、数为： 晶带定律晶带定律 h1 k1 l1 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h2 k2 l2 u v w 图图16-7 16-7 立方晶体立方晶体001001晶带的倒易平面晶带的倒易平面 a) a) 正空间正空间 b) b) 倒易矢量倒易矢量 （见（见P188P188） 第二节第二节 布拉格定律布拉格定律 附图附图1 1：波的合成示意图：波的合成示意图 当振动方向相同、波长相同的两列波叠加时，将造成 某些固定区域的加强或减弱，称为波的干涉。 两个波的波程不一样就会产生位相差；随着位相差变 化，其合成振幅也变化。 X射线在与晶体中束缚较紧的电子相遇时，电子会 发生受迫振动并发射与X射线波长相
37、同的相干散射波。 这些波相互干涉，电子散射波干涉的总结果被称为 衍射。 X射线学是射线学是以以X射线在晶体中的衍射现象射线在晶体中的衍射现象作为基础的。作为基础的。 衍射可归结为两方面的问题，即衍射可归结为两方面的问题，即衍射方向衍射方向及及衍射强度衍射强度。 本章所讨论的衍射方向问题是依靠本章所讨论的衍射方向问题是依靠劳埃方程劳埃方程、布拉格布拉格 方程方程（或倒易点阵）的理论来导出的。（或倒易点阵）的理论来导出的。 图图2-5 2-5 布拉格布拉格 方程的导出方程的导出 一、布拉格方程的导出一、布拉格方程的导出 布拉格方程将晶体的衍射看成晶面簇在特定方向对X 射线的反射，使衍射方向的确定变
38、得十分简单明确，而 成为现代衍射分析的基本公式。 22 PMQM sinsin2 sinddd 2 sindn 两束X射线到达NN2处的程差为： 布拉格方程：布拉格方程：2 sindn 式中的为入射线（或反射线）与晶面的夹角，称为 掠射角或布拉格角。入射线与衍射线之间的夹角为2 ， 称为衍射角。n为整数，称反射的级。 附图附图4 4：晶体：晶体 对对X X射线的衍射线的衍 射射 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 将衍射看成反射是布拉格方程的基础。但衍射是本质， 反射仅是为了使用方便的描述方式。 X射线只有在满足布拉格方程的角上才能发生发射， 亦称选择反射。 布拉格方程在解决衍射方向时是
39、极其简单而明确的。 波长为的X射线，以角投射到晶体中间距为d的晶面时， 有可能在晶面的反射方向上产生反射（衍射）线，其条 件是相邻晶面的反射线的程差为波长的整数倍。但是布 拉格方程只是获得衍射的必要条件而非充分条件。 布拉格方程联系了晶面间距d、掠射角 、反射级数n 和X射线波长四个量。 1.1.反射级数反射级数 附图附图5 5：2 2级级(100)(100)反射反射(a)(a)与与1 1级级(200)(200)反射反射(b)(b)的等同性的等同性 布拉格方程2dsin=n表示面间距为d的(hkl)晶面上产 生了几级衍射，但衍射线出来之后，我们关心的是光 斑的位置而不是级数，故把布拉格方程改写
40、为以下形 式：2( / )sind n 100 2级 2d100sin =2 =AB+BC 200 1级 2d200sinsin = =ED+EF 图图2-6 2-6 二级反射示意图二级反射示意图 或简写成2dsin=，在使用中可认为反射级数永远等 于1，因为反射级数n实际上已包含在d之中。也就是， (hkl)的n级反射，可以看成来自某种虚拟的晶面的1级反 射。 2.2.干涉面指数干涉面指数 晶面(hkl)的n级反射面n(hkl)，用符号(HKL)表示，称 为反射面或干涉面。其中H=nh，K=nk，L=nl。 (hkl)是晶体中实际存在的晶面，(HKL)只是为了使问 题简化而引入的虚拟晶面。
41、干涉面的面指数称为干涉指数，一般有公约数n。 在X射线结构分析中，如无特别声明，所用的面间距 一般指干涉面间距。 3.3.掠射角掠射角 掠射角是入射线或反射线与晶面的夹角，一般可以 表征衍射的方向。 从布拉格方程得出： 表明：（1）当一定时，d相同的晶面必然在相同 的情况下才能同时获得反射； （2）当一定时，d减小，就要增大，这说明间 距小的晶面，其掠射角必须是较大的。 sin 2d 4.4.衍射极限条件衍射极限条件 掠射角的极限范围为0-90,但过大或过小都会造成 衍射的观测困难。 （1）d一定，减小，n可增大。对同一种晶面，当 采用短波X射线照射时，可获得较多级数的反射，即衍 射花样比较复
42、杂。 （2）当采用短波照射时，能参与反射的干涉面将会 增多。 因为 或者 ， 说明只有间距大于或等于X射线半波长的那些干涉面 才能参与反射。 sin/2d /2d 5.5.应用应用 从实验角度可归纳为两方 面的应用： （1）用已知波长的X射线 去照射晶体，通过衍射角的 测量求得晶体中各晶面的面 间距d，这就是结构分析结构分析； （2）用已知面间距的晶 体来反射从试样发射出来的 X射线，通过衍射角的测量 求得X射线的波长，这就是 X X射线光谱学射线光谱学。 附图附图5 5：X X射线光谱仪原理射线光谱仪原理 作业作业 1. 四方晶系a=b=0.4nm, c=0.6nm, 画出(100)、(00
43、1)、(101)、 (201)晶面及其倒易点阵（b及b*轴与图面垂直） 第三节第三节 厄瓦尔德图解极其应用厄瓦尔德图解极其应用 一、厄瓦尔德作图法一、厄瓦尔德作图法 11 sin(2) 2 hkl hklhkl dd 图图2-7 2-7 布拉格方程的二维几何图示布拉格方程的二维几何图示 半径为：半径为：1/1/ 正点阵原点：正点阵原点：O O 晶面法线沿：晶面法线沿：n n 倒易点阵原点：倒易点阵原点：O O 入射线沿：入射线沿：AOAO 反射线沿：反射线沿：O OB B 可以将1/dhkl即OB视为一个矢量ghkl，其原点在O。任任 一从一从O出发的矢量，只要其端点触及圆周，即可发生衍出发的
44、矢量，只要其端点触及圆周，即可发生衍 射。射。（在三维空间中，矢量的端点可终止于半径为1/ 的球面上） 也就是说，若若X射线沿着球的直径入射，则球面上所射线沿着球的直径入射，则球面上所 有的点均满足布拉格条件，从球心作某点的连线即为有的点均满足布拉格条件，从球心作某点的连线即为 衍射方向衍射方向。 正由于此，这个球就被逻辑地命名为“反射球反射球”。因 该表示法首先由厄瓦尔德(P.P. Ewald)提出，故亦称厄瓦厄瓦 尔德球尔德球。 厄瓦尔德作图法表明，晶体的1/dhkl在衍射分析中是 极为重要的。 可以对某种晶体作出其相应的1/dhkl矢量（即ghkl）的 空间分布图（亦用1/为单位）。 这
45、种矢量就是倒易矢量，倒易矢量的终点称为倒易点倒易点。 倒易点的空间分布即为倒易点阵倒易点阵。各个倒易矢量的始 点为倒易点阵原点。 将此点置反射球的O点上，凡与球面相接触的倒易点， 其相应的晶面即可产生衍射。 而O点与倒易点的连线就决定了衍射方向。 AO为为X射线的入射方向，射线的入射方向，O为试样所在位置，为试样所在位置，OO 为透射线，为透射线，O为倒易矢量原点或透射点，为倒易矢量原点或透射点，OC为为(hkl)晶晶 面迹线，面迹线，ghkl为为（hkl）的倒易矢量。的倒易矢量。 只要已知只要已知X射线的入射方向射线的入射方向AO和倒易矢量和倒易矢量OB，即可，即可 求出对应的衍射方向求出对
46、应的衍射方向OB。其方法是先作倒易矢量的中。其方法是先作倒易矢量的中 垂线与入射线相交得垂线与入射线相交得O，再连，再连OB即为衍射方向。即为衍射方向。 0 SSg 布拉格方程矢量表示法：布拉格方程矢量表示法： (hkl) ghkl S0S O B O A C 图图2-8 2-8 劳埃法示意图劳埃法示意图 二、应用举例二、应用举例 1.1.劳埃法劳埃法 厄瓦尔德作图法是极为有力的工具，它可简单明了 地解释X射线在晶体中的各种衍射现象。 采用连续采用连续X X射线照射线照 射不动的单晶体。射不动的单晶体。 图图2-9 2-9 劳埃法的厄瓦尔德图解劳埃法的厄瓦尔德图解 凡是落在两个球面 之间的区域
47、的倒易结 点，均满足布拉格条 件，它们将与对应某 一波长的反射球面相 交而获得衍射。 图图2-10 2-10 周转晶体法周转晶体法 2.2.周转晶体法周转晶体法 采用单色采用单色X X射线照射射线照射 转动的单晶体，并用一转动的单晶体，并用一 张以旋转轴为轴的圆筒张以旋转轴为轴的圆筒 形底片来记录。形底片来记录。 图图2-11 2-11 周转晶体法的倒易点阵解释周转晶体法的倒易点阵解释 晶体绕晶轴旋转相当于其倒易点阵围绕过原点O并与 反射球相切的一根轴转动，于是某些结点将瞬时地通 过反射球面。 处在与旋转轴垂直的同一平面上的结点，与反射球处在与旋转轴垂直的同一平面上的结点，与反射球 面亦将相交
48、于同一水平面的圆周上。因此，所有衍射面亦将相交于同一水平面的圆周上。因此，所有衍射 光束矢量光束矢量S/必定从球心出发并终止于这个圆周上，也必定从球心出发并终止于这个圆周上，也 就是衍射光束必定位于同一个圆锥面上。就是衍射光束必定位于同一个圆锥面上。 图图2-12 2-12 石英晶体绕石英晶体绕00010001轴的转晶相轴的转晶相 如图所示，周转晶体法衍射花样容易在圆筒形底片如图所示，周转晶体法衍射花样容易在圆筒形底片 上形成层线。上形成层线。 图图2-13 2-13 确定沿转轴确定沿转轴 uvwuvw 的周期的周期 tan n n L R 图图2-11 2-11 周转晶体法的倒易周转晶体法的
49、倒易 点阵解释点阵解释 可以确定晶体在旋转轴方可以确定晶体在旋转轴方 向上的点阵周期，进而确定向上的点阵周期，进而确定 晶体的结构。晶体的结构。 sin 1/ n nDn n D D d 图图2-14 2-14 粉末法粉末法 3.3.粉末法粉末法 多晶体是数量众多的单晶或微晶的取向混乱的集合多晶体是数量众多的单晶或微晶的取向混乱的集合 体，就其位向而言，相当于单晶体围绕所有可能的轴体，就其位向而言，相当于单晶体围绕所有可能的轴 线而旋转。线而旋转。 采用单色采用单色X X射射 线照射多晶试线照射多晶试 样。样。 图图2-15 2-15 粉末法的倒易点阵解释粉末法的倒易点阵解释 倒易矢量等长的倒
50、易点（相当于晶面间距相同的晶倒易矢量等长的倒易点（相当于晶面间距相同的晶 面）将落在同一个以倒易原点为心、倒易矢量长度为面）将落在同一个以倒易原点为心、倒易矢量长度为 半径的球面上，这个球称为倒易球，晶面间距越大，半径的球面上，这个球称为倒易球，晶面间距越大， 倒易球的半径越小。倒易球的半径越小。 令入射线的方向与倒易点阵某基矢相一致，从令入射线的方向与倒易点阵某基矢相一致，从O O点截点截 取取1/1/长度得反射球心长度得反射球心A。按厄瓦尔德作图法，凡与反。按厄瓦尔德作图法，凡与反 射球面相交的倒易点所对应的晶面均有可能参与反射。射球面相交的倒易点所对应的晶面均有可能参与反射。 每个倒易球
