1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式 2 2. .2 2. .4 4 均值不等式及其应用均值不等式及其应用 给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值.两个数的算术平均值，实质上是这 两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么 几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相 对大小关系呢？ 2 ba ab 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如，a，b，c的算术平均 值为 ，几何平均值为 3 cba 3 abc （1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等 的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，
2、并 比较这两个边长的大小； （2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和 几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值 的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义. a12 b14 13 1 从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值.一般地，我们有如下结论. 当且仅当a=b时，等号成立. 均值不等 式 如果a，b都是正数，那么 ab 2 ba 证明 因为a，b都是正数，所以 而且，等号成立时，当且仅当 ，即a=b. 即 , 0 22 ab2ba ab 2 baba 2 ）（ ab 2 ba 0 ba 2 ）（ 值得注意的是，均值不等式中的
3、a，b可以是任意正实数，因此我们可 以代入任意满足条件的数或式子，比如 一定是正确的. 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为 零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均 值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 2 76 42 将均值不等式两边平方可得 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个 几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. ab 2 ba 2 2 ba 2 你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么 样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什
4、 么样的图形面积最大？ 如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心.已知AC=a，BC=b，D为 半圆上一点，且DCAB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个 几何意义。 典型例题 例1 已知x0，求 的最小值，并说明 x为何 值时y取得最 小值 x 1 xy 因为x0，所以根据均值不等式有 其中等号成立当且仅当x= 即x2=1，解得x=1或x=-1 （舍） 因此x=1时，y取得最小值2. 2 1 x2 x 1 x x x 1 典型例题 例2 已知ab0，求证： ，并 推导出等号成立的条件 2 b a a b 典型例题 例3（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为 多少时，矩形的周长最
5、短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各 为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析分析 在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与 宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两 倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值. 解（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100. 因为x0，y0，所以 所以2（x+y）40. 当且仅当x=y时，等号成立，由 x=y可知此时x=y=10. xy=100 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. 10100 xy 2 yx 解（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x+y）
6、=36，即 x+y=18. 因为x0，y0，所以 因此 ，即xy81. 当且仅当x=y时，等号成立，由 x=y x+y=18 可知此时x=y=9 因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81. xy 2 yx 2 18 9xy 例3的结论可以表述为： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 典型例题 例4 已知x（-1，3），求y=（1+x）（3-x）的最大值， 以及y取得最大值时x的值. 解 当x（-1，3）时，一1x0，3-x0. 从而（1+x）（3-x）4，即y4. 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而x=1时，y取得最大值4. 2 2 x3x1 )3)(1 xx（ 典型例题 例5 已知a，b是实数，求证： a2+b22ab. 并说明等号成立的条件. 证明 因为 a2+b2-2ab=(a- b)20， 所以a2+b2-2ab0， 即 a2+b22ab. 等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b. 例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既 有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b是正数的条件，联系 在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况。 典型例题 例6 已知a，bR，求证： （1）(a+b)24ab； （2）2(a2+b2)(a+b)2.
