1、第三章第三章 函数函数 3 3. .1 1. .2 2 函数的单调性函数的单调性 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色， 因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾 经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆 规律. 如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量 （单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f （x）. 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 情境与问题中的函数y=f（x）反映出记忆的如下规律：随 着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小. 给定一个函数，人们有时候关心的是
2、，函数值会随着自变 量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.如下图， 从正比例函数y=2x的图像可以看出，当自变量由小变大时，这个 函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大；从反比例函数 y= 的图像可以看出，在（-，0）和（0，+）内，这个函数的函 数值y都随着x的增大而减小. x 1 怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x 的增大而减小”？ 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，且ID： （1）如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）， 则称y=f（x）在I上是增函数（也称在I上单调递增），如下图（1） 所示； （2）如果对任意x1，x
3、2I，当x1f（x2）， 则称y=f（x）在I上是减函数（也称在I上单调递减），如下图 （2）所示 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为 函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，y=2x在R上 是增函数；y= 在（-，0）上是减函数，在（0，+） 上也是减函数. x 1 能否说 y= 在定义域内是减函数？为什么？ x 1 如下图所示的函数y=f（x），在-6，-4上是增函数，在- 4，-2上是减函数，在-2，1上是 函数，在1，3上是 函数，在3，6上是 函数. 增减 增 由尝试与发现可知，从函数的图像能方
4、便地看出函数的单 调性.但一般情况下，得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图 像往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数 的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 典型例题 例1 求证：函数f（x）=-2x在R上是减函数. 证明证明 任取x1，x2R且x1x2，则x1-x20， 从而f（x1）f（x2）. 因此，函数f（x）=-2x在R上是减函数. 一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0D：如果对任 意xD，都有f（x）f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0）， 而x0称为f（x）的最大值点 如果对任意xD，都有f（x）f（x0），则称f（x）的最 小
5、值为f（x0），而x0称为f（x）的最小值点 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为 最值点. 典型例题 例2 判断函数f（x）=3x+5，x-1，6的单调性，并求这个函数 的最值. 证明证明 任取x1，x2-1，6且x1x2，则x1-x20，那么 f（x1）-f（x2）=（3x1+5）-（3x2+5）=3（x1-x2） 0 所以这个函数是增函数. 因此，当-1x6时， 有 f（-1）f（x）f（6）， 从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23. 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1x6，所以 -33x18， 23x+523， 即f（-1）f（x）f（6）
6、，其余同上. 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中， 这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1x2时，称 12 12 xx yy 为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 若记x=x2-x1，相应的y=y2-y1，则当x0时，斜率可 记为解为 如下图所示，直线AB的斜率即为RtACB中BC与AC的比.另 外，图中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零. x y 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其 中任意两点确定的直线的斜率都相等或
7、都不存在. 下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们 所确定的直线的斜率一定存在. 如下图所示，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函 数单调性之间的关系，并总结出一般规律。 可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线 的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 率都小于0 一般地，若I是函 数y=f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2I 且x1x2，记y1=f（x1），y2=f（x2 ）， （即 ），则： 12 12 xx yy x y 12 12)()(f x f xx xfx （1）y=f（x）在I上是增
8、函数的充要条件是 在I上恒 成立； （2）y=f（x）在I上是减函数的充要条件是 在I上恒 成立。 0 x y 0 x y 一般地，当x1x2时，称 为函数y=f（x）在区间x1，x2（x1x2时）上的平均变化率。 12 12)()(f x f xx xfx 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性. 例如，对于函数y=-2x来说，对任意x1，x2R且x1x2，有 02 22)2(x2( x y 12 12 12 12 ） xx xx xx x 因此y=-2x在R上是减函数. 物理中的变化 率 我们在物理中已经学习过：变化率是描述变化快慢的量 例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移
9、的变化 量与发生这一变化所用时间的比值，即 t x v 加速度是用来衡量速度交化快慢的，加速度等于速度的变化量 与发生这一变化所用时间的比值，即 而且，从物理中我们还知道，由物体的速度一时间图像，可看 出加速度的有关信息.如图所示，如果甲、乙两物体的速度一时间图 像都是直线，则由图中的信息可以看出，t相等时，v甲v乙， 从而甲的速度变化更快，即变化率更大，因此甲的加速度更大. t v a 你注意到了吗？物理中的这个变化率与我们所说的函数的平均变化 率其实是一回事. 典型例题 例3 求证：函数y= 在区间（-，0）和（0，+）上都 是减函数 x 1 证明证明 设x1x2，那么 如果x1，x2（-
10、，0），则x1x20，此时 0， 所以函数在（-，0）上是减函数.同理，函数在（0，+）也是 减函数 2112 12 xx 1 xx x 1 x 1 x y x y 典型例题 例4 判断一次函数y=kx+b（k0）的单调性. 解 设x1x2，那么 因此 ，一次函数的单调性取决于k的符号：当k0时，一次 函数在R上是增函数；当k0时，一次函数在R上是减函数. k xx bkxbkx x y 12 12 ）（ 例4说明，一次函数y=kx+b（k0）的图像上任意两点确定的 直线斜率均为k，这实际上也说明了一次函数的图像一定是直线。不 仅则此，此时从 =k还可以看出，y=kx，这就意味着在一次 函数中
11、，y与x成正比，且比例系数为k.特别地，当自变量每增 大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数 才具有这个性质.事实上，如果y=kx，设x=0时函数值为y0，则 y-y0=k（x-0） x y 即y=kx+y0，因此一定是一次函数.正因为如此，一 次函数也经常被称为线性函数. 例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内 所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数。 当容器是下图（1）所示的圆柱时，在固定的t时间内， y应该是常数，因此函数的图像是如下图（2）所示的一条线 段. 当容器是如下图（1）所示圆台时，由容器的形状可知， 在固定的t时间内，随着t
12、的增加，y应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示。 典型例题 例5 证明函数f（x）=x2+2x在（-，-1上是减函数，在-1，+） 上是增函数，并求这个函数的最值. 当然，这一结论也可以从二次函数的图像是关于x= 对称 的抛物线与开口方向看出来. a2 b 付出与收获的关系 俗话说，“一分耕耘一分收获”，那么，在实际生活中，如果 把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？ 如果同样多的付出所得到的收获总是相等，那么收获是付出的 线性函数，其图像可以用图1表示.例如，当以匀速的方式驾驶汽车时， 行驶的里程与所用的时间之间的关系就是如此. 如果随着付出的增长，同样多的付出所得到的收获不一定相等， 那么收获就是付出的非线性函数.例如，在我们学习新的知识时，可 能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随 着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少，如图2 所示。 有时还有可能付出增加会导致收获减少，想想家长过分溺爱孩 子的后果吧！这种情况可用图3表示
