1、第二章第二章 等式与不等式等式与不等式 2 2. .2 2. .3 3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停 止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一 个重要依据。 在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况 不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场勘查，测得甲车的刹车距 离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车 距离s m与车速v km/h之间的关系分别为 s甲= s乙= 试判断甲、乙两车有无超速现象。 v 10 1 100 1 v 2 v 20 1 200
2、1 v 2 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的 取值范围，也就是要解不等式 和6v 10 1 100 1 v 2 10v 20 1 200 1 v 2 02000v100600v10 vv 22 和 一般地，形如 ax2+bx+c0 的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0. 一元二次不等式中的不等号也可以是“0. 任意选定一些教，看它们是否是不等式的解，由此给出解这个 不等式的方法. 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说， ab0当且仅当 解得x1或x0， 或 a0 b0， 或 x0 x-10. 因此，不等式可以转化为两个不等式组 用类
3、似的方法可以求得不等式 （x+1）（x-1）0 的解，但此时的依据是：ab0当且仅当 不难解得x 或-1x1，因此不等式的解集为 （-1，1） a0， b0 b0. 因此，不等式可以转化为两个不等式组 x+10， x-10 x-10. 一般地，如果x1x2，则不等式（x-x1）（x-x2）0的解集是 （一，x1）（x2，+） 典型例题 例1 求不等式x2-x-20的解集 因为 x2-x-2=（x+1）（x-2）， 所以原不等式等价于（x+1）（x-2）0，因此所求解集 为 （一，一1）U（2，+）. 回到情境与问题中的不等式，v2-10v-6000可以化为 （v+20）（v-30）0， 因此甲
4、车的车速v30； 而v2-10v-20000可以化为 （v+40）（v-50）0 因此乙车的车速v50.由此可见，乙车肯定超速了. 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是 因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才 比较方便，那么一般情况该怎么办呢？ 通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解 集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法： （1）x2-2；（3）x29. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 （1）的解集为 ，（2）的解集为R 对于x29.来说，两边同时开根号可得，即 |x|3， 因此-3x3，从而得到（3）的解集为
5、（-3， 3）. 这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集. 典型例题 例2 求下列不等式的解集： （1）x2+4x+10；（2）x2-6x-10； （3）-x2+2x-10. （1） x2+4x+10 因为 x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3， 所以原不等式可化为（x+2)2-30， 即 （x+2)23， 两边开平方得|x+2| ，从而可知 3 x+2 - 或x+2 ， 33 因此x -2- 或x-2+ ，所以原不等式的解集为33 （一，-2- -2+ ，+）.33 （2）x2-6x-10 因为 x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，
6、 所以原不等式可化为(x-3)2-100，即 (x- 3)210， 两边开平方得|x-3| ，从而可知 - x-3 10 10 10 因此3- x3+ ，所以原不等式的解集为1010 3- ，3+ .1010 （3）-x2+2x-10， 又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为 （x- 1)20. 注意到只要x1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为 （一，1）U（1，+） （4）2x2+4x+50 原不等式可化为 所以原不等式可以化 为 即 0 2 5 2 2 x x 因为 2 5 2 2 x x 2 3 ) 1( 2 x 0 2 3 ) 1( 2 x 2 3 1x 2 ）
7、（ 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 （1）的解集为 ，（2）的解集为R 对于x29.来说，两边同时开根号可得，即 |x|3， 因此-3x3，从而得到（3）的解集为（-3， 3）. 这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 （1）的解集为 ，（2）的解集为R 对于x29.来说，两边同时开根号可得，即 |x|3， 因此-3x0（a0）通过配方总是可以变 为 (x-h)2k或 (x-h)2k 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 典型例题 例3 求不等式 的解集. 1 2x 1x2
