1、第第 5 讲讲直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1.(2015浙江卷)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l， m() A.若 l，则B.若，则 lm C.若 l，则D.若，则 lm 解析由面面垂直的判定定理， 可知 A 选项正确； B 选项中， l 与 m 可能平行； C 选项中，与可能相交；D 选项中，l 与 m 可能异面. 答案A 2.(2017深圳四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，则下 列命题中是假命题的为() A.过点 P 垂直于平面的直线平行于平面 B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面内 C.过点 P 垂直于平面的直线在
2、平面内 D.过点 P 且在平面内垂直于 l 的直线必垂直于平面 解析由于过点 P 垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线， 因 此也平行于平面，因此 A 正确.过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ，不一定在平面内，因此 B 不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项 C，D 正确. 答案B 3.如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是() A.BC平面 PDF B.DF平面 PAE C.平面 PDF平面 PAE D.平面 PDE平面 ABC 解析因为 BCDF，DF平面 PDF， BC平面 PDF， 所以 BC平面
3、 PDF，故选项 A 正确. 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， BC平面 PAE，DFBC，则 DF平面 PAE，又 DF平面 PDF，从而平面 PDF平面 PAE.因此选项 B，C 均正确. 答案D 4.(2017西安调研)设 l 是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的 是() A.若 l，l，则B.若 l，l，则 C.若，l，则 lD.若，l，则 l 解析A 中，或与相交，不正确.B 中，过直线 l 作平面，设 l，则 ll，由 l，知 l，从而，B 正确.C 中，l或 l，C 不正确.D 中，l 与的位置关系不确定. 答案B 5.(2017天津滨海新区模拟)如图， 以等
4、腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四 个结论： BDAC； BAC 是等边三角形； 三棱锥 DABC 是正三棱锥； 平面 ADC平面 ABC. 其中正确的是() A.B. C.D. 解析由题意知，BD平面 ADC，且 AC平面 ADC，故 BDAC，正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 ABAC BC，BAC 是等边三角形，正确；易知 DADBDC，又由知正确； 由知错. 答案B 二、填空题 6.如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 解
5、析PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形.由 BCAC， 且 ACPAA，BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是 直角三角形. 答案4 7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面 各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时， 平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可). 解析由定理可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD. 又 PC平面 PCD， 平面 MBD平面 PCD. 答案DMPC(或 BMPC 等) 8.(20
6、16全国卷)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么. 如果 m，n，那么 mn. 如果，m，那么 m. 如果 mn，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等. 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号). 解析对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误. 对于，由线面平行的性质定理知存在直线 l，nl，m，所以 ml， 所以 mn，故正确. 对于，因为，所以，没有公共点.又 m，所以 m，没有公共点， 由线面平行的定义可知 m，故正确. 对于，因为 mn，所以 m 与所成的角和 n 与所成的角相等.因为，所 以 n 与所成的角和 n 与所成的角相等，
7、所以 m 与所成的角和 n 与所成的角 相等，故正确. 答案 三、解答题 9.(2017青岛质检)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点. (1)求证：EF平面 BCG； (2)求三棱锥 DBCG 的体积. (1)证明由已知得ABCDBC，因此 ACDC. 又 G 为 AD 的中点，所以 CGAD. 同理 BGAD，又 BGCGG，因此 AD平面 BCG. 又 EFAD，所以 EF平面 BCG. (2)解在平面 ABC 内，作 AOBC，交 CB 的延长线于 O，如 图由平面 ABC平面 BCD，平面 AB
8、C平面 BDCBC，AO 平面 ABC，知 AO平面 BDC. 又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在AOB 中，AOABsin 60 3， 所以 VDBCGVGBCD1 3S DBCh1 3 1 2BDBC sin 120 3 2 1 2. 10.(2016北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明 理由. (1)证明因为 PC平面 ABCD
9、，所以 PCDC.又因为 ACDC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC. (2)证明因为 ABCD，DCAC，所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB. 又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. (3)解棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，所 以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF. 11.设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面.则下列说法正确的是 () A.若
10、 mn，n，则 m B.若 m，则 m C.若 m，n，n，则 m D.若 mn，n，则 m 解析A 中，由 mn，n可得 m或 m 与相交或 m，错误；B 中， 由 m，可得 m或 m 与相交或 m，错误；C 中，由 m，n 可得 mn，又 n，所以 m，正确；D 中，由 mn，n， 可得 m或 m 与相交或 m，错误. 答案C 12.(2017贵阳模拟)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点， 沿 AE，AF，EF 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的 点记为 P，P 点在AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是() A.O 是AEF 的垂
11、心B.O 是AEF 的内心 C.O 是AEF 的外心D.O 是AEF 的重心 解析由题意可知 PA，PE，PF 两两垂直， 所以 PA平面 PEF，从而 PAEF， 而 PO平面 AEF，则 POEF，因为 POPAP， 所以 EF平面 PAO， EFAO，同理可知 AEFO，AFEO， O 为AEF 的垂心. 答案A 13.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA 平面 ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE；PDA45. 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上). 解析由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE
12、， 又由正六边形的性质得 AEAB，PAABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面 PAB，AEPB，正确；又平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不成立， 错； 由正六边形的性质得 BCAD， 又 AD平面 PAD， BC平面 PAD， BC平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PA AD2AB，PDA45，正确. 答案 14.(2016四川卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，AD BC，ADCPAB90，BCCD1 2AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并 说明理由. (2)证明：平面 PAB平面
13、 PBD. (1)解取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)， 点 M 即为所求的 一个点，理由如下： 因为 ADBC，BC1 2AD.所以 BCAM，且 BCAM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB. 又 AB平面 PAB.CM平面 PAB. 所以 CM平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明由已知，PAAB，PACD. 因为 ADBC，BC1 2AD， 所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA平面 ABCD. 又 BD平面 ABCD， 从而 PABD.因为 ADBC，BC1 2AD， M 为 AD 的中点，连接 BM，所以 BCMD，且 BCMD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BMCD1 2AD，所以 BDAB. 又 ABAPA，所以 BD平面 PAB. 又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.
