1、第第 7 讲讲解三角形应用举例解三角形应用举例 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60， 则 A，C 两点之间的距离为() A. 6 kmB. 2 km C. 3 kmD.2 km 解析如图， 在ABC 中， 由已知可得ACB45， AC sin 60 2 sin 45，AC2 2 3 2 6(km). 答案A 2.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航 行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向 是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B
2、，C 两点间 的距离是() A.102海里B.103海里 C.203海里D.202海里 解析如图所示，易知， 在 ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45， 解得 BC10 2(海里). 答案A 3.(2017合肥调研)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距 离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与 B 的距离为() A.a kmB. 3 a km C. 2a kmD.2a km 解析由题图可知，ACB120， 由余弦定理，得 AB2AC2
3、BC22ACBCcosACB a2a22aa 1 2 3a2，解得 AB 3a(km). 答案B 4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客 船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km， 水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的 最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为() A.8 km/hB.6 2 km/h C.2 34 km/hD.10 km/h 解析设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意 知，sin0.6 1 3 5，从而 cos 4 5，所以由余弦定理得 1 10v 2 1 102 2 12
4、2 1 1021 4 5，解得 v6 2.选 B. 答案B 5.如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平 面内的两个测点 C 与 D， 测得BCD15， BDC30， CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于() A.5 6B.15 3 C.5 2D.15 6 解析在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得 BC sin 30 30 sin 135，所以 BC15 2. 在 RtABC 中，ABBCtan ACB15 2 315 6. 答案D 二、填空题 6.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海
5、轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60的 方向航行了 30 分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分. 解析由已知得ACB45，B60， 由正弦定理得 AC sin B AB sinACB，所以 AC ABsin B sinACB 20sin 60 sin 45 10 6， 所以海轮航行的速度为10 6 30 6 3 (海里/分). 答案 6 3 7.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由 炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30 角，则两条船相距_m. 解析如图，OMAOtan
6、 4530(m)，ONAOtan 30 3 3 30 10 3(m)， 在MON 中，由余弦定理得， MN90030023010 3 3 2 30010 3(m). 答案10 3 8.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则 塔高为_m. 解析如图，由已知可得BAC30，CAD30， BCA60，ACD30，ADC120.又 AB200 m， AC400 3 3(m). 在ACD 中，由余弦定理得， AC22CD22CD2cos 1203CD2， CD 1 3AC 400 3 (m). 答案 400 3 三、解答题 9.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 6
7、0方向的 B 处，且与 岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航 行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追 上. (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin的值. 解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784. 解得 BC28. 所以渔船甲的速度为BC 2 14 海里/时. (2)在ABC 中，因为 AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦 定理，得 AB sin BC s
8、in 120， 即 sinABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 . 10.(2015安徽卷)在ABC 中，A3 4 ，AB6，AC3 2，点 D 在 BC 边上， ADBD，求 AD 的长. 解设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 由余弦定理， 得 a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos3 4 1836(36)90， 所以 a3 10. 又由正弦定理，得 sin BbsinBAC a 3 3 10 10 10 ， 由题设知 0B 4 ， 所以 cos B 1sin2B1 1 10 3 10 10 . 在ABD 中，因为 AD
9、BD， 所以ABDBAD，所以ADB2B. 由正弦定理，得 AD ABsin B sin（2B） 6sin B 2sin Bcos B 3 cos B 10. 11.(2016全国卷)在ABC 中，B 4 ，BC 边上的高等于 1 3BC，则 cos A () A.3 10 10 B. 10 10 C. 10 10 D.3 10 10 解析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D， 由题意 B 4 ， BD1 3BC， DC 2 3BC， tanBAD1，tanCAD2，tan A 12 1123，所以 cos A 10 10 . 答案C 12.如图所示，D，C，B 三点在地面同一直线上，
10、DCa，从 D， C 两点测得 A 点仰角分别为，()，则点 A 离地面的高 AB 等于() A.asin sin sin（） B.asin sin cos（） C.acos cos sin（） D.acos cos cos（） 解析结合题图示可知，DAC. 在ACD 中，由正弦定理得： DC sinDAC AC sin， AC asin sinDAC asin sin（）. 在 RtABC 中，ABACsinasin sin sin（） . 答案A 13.如图， 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75， 30， 此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于_
11、m. 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中， CD AD tanACD 60 tan 3060 3(m)， 在 RtABD 中，BD AD tanABD 60 tan 75 60 2 360(2 3)(m)， BCCDBD60 360(2 3)120( 31)(m). 答案120( 31) 14.如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海 里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 103海里/时的速度追截走私船. 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，
12、问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注： 62.449). 解设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD10 3t(海里)，BD10t(海里). 在ABC 中， AB( 31)海里， AC2 海里， BAC4575120， 根据余弦定理，可得 BC （ 31）22222（ 31）cos 120 6(海里). 根据正弦定理，可得 sinABCACsin 120 BC 2 3 2 6 2 2 . ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直， 从而CBD9030120. 在BCD 中，根据正弦定理，可得 sinBCDBDsinCBD CD 10tsin 120 10 3t 1 2， BCD30，BDC30， BDBC 6(海里)， 则有 10t 6，t 6 100.245 小时14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船.
