1、专题探究课六专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型高考中概率与统计问题的热点题型 1.(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数012345 概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费， 求其保费比基本保费高出 60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保
2、费与基本保费的比值. 解(1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 A 发生 当且仅当一年内出险次数大于 1，故 P(A)0.200.200.100.050.55. (2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ，则事件 B 发 生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 P(B)0.100.050.15. 又 P(AB)P(B)， 故 P(B|A)P（AB） P（A） P（B） P（A） 0.15 0.55 3 11. 因此所求概率为 3 11. (3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为 X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
3、 P0.300.150.200.200.100.05 E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05 1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. 2.(2016贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识 讲座，从男生中随机抽取 50 人，从女生中随机抽取 70 人参加消防知识测试，统 计数据得到如下列联表： 优秀非优秀总计 男生153550 女生304070 总计4575120 (1)试判断能否有 90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关； 附：K2 n（adbc）2 （ab）
4、（cd） （ac） （bd） P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.010 k01.3232.0722.7063.8415.0246.635 (2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法， 随机选出 6 人组成宣传小组.现从这 6 人中随机抽取 2 人到校外宣传， 求到校外宣 传的同学中男生人数 X 的分布列和数学期望. 解(1)因为 K2120（15403530） 2 50704575 2.057， 且 2.0572.706. 所以没有 90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是 6 45 2 15，
5、 则抽取女生 30 2 154 人，抽取男生 15 2 152 人. 依题意，X 可能的取值为 0，1，2. P(X0)C 2 4 C26 6 15 2 5； P(X1)C 1 4C12 C26 8 15； P(X2)C 2 2 C26 1 15. X 的分布列为： X012 P 2 5 8 15 1 15 X 的数学期望 E(X)02 51 8 152 1 15 2 3. 3.(2017武汉调研)某公司准备将 1 000 万元资金投入到市环保工程建设中， 现有甲、 乙两个建设项目选择.若投资甲项目一年后可获得的利润1(万元)的概率分布列如 下表所示： 1110120170 Pm0.4n 且1
6、的期望 E(1)120；若投资乙项目一年后可获得的利润2(万元)与该项目建设 材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三 季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为 p(0p1)和 1 p.若乙项目产品价格一年内调整次数 X(次)与2的关系如下表所示： X012 241.2117.6204.0 (1)求 m，n 的值； (2)求2的分布列； (3)若 E(1)E(2)，则选择投资乙项目，求此时 p 的取值范围. 解(1)由题意得 m0.4n1， 110m1200.4170n120， 解得 m0.5，n0.1. (2)2的可能取值为 41.2，117.
7、6，204， P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)， P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2， P(2204)p(1p)， 所以2的分布列为 241.2117.6204 Pp(1p)p2(1p)2p(1p) (3)由(2)可得 E(2)41.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6， 由 E(1)E(2)，得 12010p210p117.6， 解得 0.4p0.6， 即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6). 4.(2017长沙测试)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛， 有 A，B 两个定点投篮
8、位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分. 规则是：每人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点 投中的概率分别是1 2和 1 3，且在 A，B 两点投中与否相互独立. (1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分 X 的分布列和数学期望； (2)若教师乙与教师甲在 A，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙 的概率. 解(1)根据题意知 X 的可能取值为 0，2，3，4，5，7， P(X0) 11 2 2 11 3 1 6， P(X2)C121 2 11 3 11 2 1 3， P(X3) 11 2 1 3 11 2 1 12
9、， P(X4)1 2 11 3 1 2 1 6， P(X5)C121 2 11 2 1 3 1 6， P(X7)1 2 1 3 1 2 1 12， 教师甲投篮得分 X 的分布列为 X023457 P 1 6 1 3 1 12 1 6 1 6 1 12 教师甲投篮得分 X 的数学期望为 E(X)01 62 1 33 1 124 1 65 1 67 1 123. (2)教师甲胜教师乙包括：甲得 2 分，3 分，4 分，5 分，7 分五种情形.这五种情形 之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为 P1 3 1 6 1 12 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 12 1 6 1 6 1 3 1 1
10、2 1 6 1 12 1 1 12 19 48. 5.(2017广州调研)如图，李先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到 公司上班路上有 L1，L2两条路线，L1路线上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到 红灯的概率均为1 2； L 2路线上有 B1， B2两个路口， 各路口遇到红灯的概率依次为3 4， 3 5. (1)若走 L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走 L2路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选 择一条最好的上班路线，并说明理由. 解(1)设“走 L1路线最多遇到 1 次红
11、灯”为事件 A， 包括没有遇到红灯和只遇到 红灯一次两种情况，所以 P(A)C03 1 2 3 C131 2 1 2 2 1 2， 所以走 L1路线，最多遇到 1 次红灯的概率为1 2. (2)依题意，X 的可能取值为 0，1，2. P(X0) 13 4 13 5 1 10， P(X1)3 4 13 5 13 4 3 5 9 20， P(X2)3 4 3 5 9 20. 所以随机变量 X 的分布列为 X012 P 1 10 9 20 9 20 所以 E(X) 1 100 9 201 9 202 27 20. (3)设选择 L1路线遇到红灯次数为 Y， 则随机变量 Y 服从二项分布， 即 YB
12、3，1 2 ， 所以 E(Y)31 2 3 2， 所以 E(X)E(Y)， 所以应选择 L2路线上班. 6.(2017成都诊断)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间 互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所需的时间(分)12345 频率0.10.40.30.10.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率； (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望. 解设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如下： Y12345 P0
13、.10.40.30.10.1 (1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”，则事件 A 对应三种 情形：第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需 的时间为 3 分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办 理业务所需的时间为 1 分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.3 0.30.10.40.40.22. (2)法一X 所有可能的取值为 0，1，2. X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 P(X0)P(Y2
14、) 0.5；X1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业 务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟， 所以 P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49； X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； 所以 X 的分布列为 X012 P0.50.490.01 E(X)00.510.4920.010.51. 法二X 所有可能的取值为 0，1，2. X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以 P(X0)P(Y2)0.5； X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； P(X1)1P(X0)P(X2)0.49； 所以 X 的分布列为 X012 P0.50.490.01 E(X)00.510.4920.010.51.
