1、6.2等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 最新考纲考情考向分析 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用等差数列的有关知识解决相应的 问题 4.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为 主，等差数列的证明也是考查的热点本节 内容在高考中既可以以选择、填空的形式进 行考查， 也可以以解答题的形式进行考查 解 答题往往与等比数列、数列求和、不等式等 问题综合考查. 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫做
2、等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d. 3等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差 中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，
3、公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列 (6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1an 2 或 Snna1nn1 2 d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Snd 2n 2 a1d 2 n. 数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若 a10，则 Sn存在最小值 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列
4、 (2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列 (3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列 (4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列() (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的() (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数() (4)已知等差数列an的通项公式 an32n，则它的公差为2.() (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1a
5、nan2.() (6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数 列() 题组二教材改编 2P46A 组 T2设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于 () A31B32 C33D34 答案B 解析由已知可得 a15d2， 5a110d30， 解得 a126 3 ， d4 3， S88a187 2 d32. 3P39T5在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8_. 答案180 解析由等差数列的性质， 得 a3a4a5a6a75a5450， a590， a2a82a5180. 题组三易错自
6、纠 4一个等差数列的首项为 1 25，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范 围是() Ad 8 75 Bd 3 25 C. 8 75d 3 25 D. 8 751， a91， 即 1 259d1， 1 258d1， 所以 8 750，a7a100，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170 成立的最大正整数 n 是() A2 016B2 017 C4 032D4 033 答案C 解析因为 a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以 d0，a2 0170，S4 0334 033a1a4 033 2 4 033a2 0170 成立
7、的最大正整数 n 是 4 032，故选 C. 7(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满 足 a2S34，a3S512，则 a4S7的值是_ 答案24 解析由 a2S34 及 a3S512，得 4a14d4， 6a112d12， 解得 a10， d1， a4S78a124d24. 8等差数列an中的 a4，a2 016是 3x212x40 的两根，则 1 4 loga1 010_. 答案1 2 解析因为 a4和 a2 016是 3x212x40 的两根，所以 a4a2 0164.又 a4，a1 010，a2 016成等 差数列，所以 2a1
8、010a4a2 016，即 a1 0102，所以 1 4 loga1 0101 2. 9(2017郑州模拟)张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺， 今一月日织九匹三丈”其意思为今有女子善织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同 量的布 若第一天织5尺布， 现在一个月(按30天计)共织390尺布， 则该女最后一天织_ 尺布 答案21 解析由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为an，其中 a1 5， 前 30 项和为 390， 于是有305a30 2 390， 解得 a3021， 即该织女最后一天织 21 尺布 10设数列an的通项公式为 an
9、2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_. 答案130 解析由 an2n10(nN*)知an是以8 为首项，2 为公差的等差数列，又由 an2n 100，得 n5，当 n5 时，an0，当 n5 时，an0，|a1|a2|a15|(a1 a2a3a4)(a5a6a15)20110130. 11(2016全国)等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式； (2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.6 2. 解(1)设数列an的首项为 a1，公差为 d， 由题意得 2a15d4， a15d3， 解得 a11， d2
10、 5. 所以an的通项公式为 an2n3 5 . (2)由(1)知，bn 2n3 5. 当 n1,2,3 时，12n3 5 2，bn1； 当 n4,5 时，22n3 5 3，bn2； 当 n6,7,8 时，32n3 5 4，bn3； 当 n9,10 时，42n3 5 0(nN*)， 其前 n 项和为 Sn， 若数列 Sn 也为等差数列，则Sn 10 a2n 的最大值是_ 答案121 解析设数列an的公差为 d， 由题意得 2 S2 S1 S3， 因为 a11，所以 2 2a1d a1 3a13d， 化简可得 d2a12， 所以 an1(n1)22n1， Snnnn1 2 2n2， 所以Sn 10 a2n n10 2 2n12 n10 2n1 2 1 22n1 21 2 2n1 2 1 4 1 21 2n1 2. 又 1 21 2n1 2 为单调递减数列， 所以Sn 10 a2n S11 a21 112121.
