1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲考情考向分析 1.理解命题的概念.2.了解“若 p，则 q”形式的命 题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种 命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 命题的真假判断和充分必要条件的判定 是考查的主要形式，多与集合、函数、不 等式、立体几何中的线面关系相交汇，考 查学生的推理能力， 题型为选择、 填空题， 低档难度. 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真 命题，判断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
2、(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件pq 且 qp p 是 q 的充要条件pq p 是 q 的既不充分也不必要条件pq 且 qp 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则关于充 分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若 AB，则 p 是
3、 q 的充分条件； (2)若 AB，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“对顶角相等”是命题() (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”() (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件() (4)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立() (5)若 p
4、是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件() 题组二教材改编 2P8T3下列命题是真命题的是() A矩形的对角线相等 B若 ab，cd，则 acbd C若整数 a 是素数，则 a 是奇数 D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题 答案A 3 P12T2(2)“x30”是“(x3)(x4)0”的_条件 (填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要 题组三易错自纠 4命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是() A若 xy，则 x2y，则 x2y2D若 xy，则 x2y2 答案B 解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若
5、x2y2，则 xy”的逆否命 题是“若 xy，则 x2y2” 5“sin 0”是“是第一象限角”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析由 sin 0，可得是第一或第二象限角及终边在 y 轴正半轴上；若是第一象限角，则 sin 0，所以“sin 0”是“是第一象限角”的必要不充分条件 故选 B. 6已知集合 A x| 1 22 x8，xR ，Bx|1xm1，xR，若 xB 成立的一个充分 不必要条件是 xA，则实数 m 的取值范围是_ 答案(2，) 解析A x| 1 22 x8，xR x|1x3，即 m2. 题型一题型一命题及其关系命题及其关系
6、1下列命题是真命题的是() A若1 x 1 y，则 xy B若 x21，则 x1 C若 xy，则 x y D若 xy，则 x2y2 答案A 2某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A不拥有的人们会幸福B幸福的人们不都拥有 C拥有的人们不幸福D不拥有的人们不幸福 答案D 3(2018青岛调研)下列命题： “若 a2b2，则 a1，则 ax22axa30 的解集为 R”的逆否命题； “若3x(x0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题 其中正确的命题是() ABCD 答案A 解析对于，否命题为“若 a2b2，则 ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等 的三角形是全等三
7、角形”，为假命题；对于，当 a1 时，12a1 或 xx2，则綈 p 是綈 q 的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 解析由 5x6x2，得 2x3， 即 q：2xsin 不成立 充分性不成立； 取 3， 13 6 ，sin sin ，但，必要性不成立 故“”是“sin sin ”的既不充分也不必要条件 (2)设向量 a(sin 2， cos )， b(cos ， 1)， 则“ab”是“tan 1 2成立”的_条件 (选 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案必要不充分 解析absin 2cos2cos 0 或 2s
8、in cos cos 0 或 tan 1 2，所以“ab” 是“tan 1 2成立”的必要不充分条件 题型三题型三充分必要条件的应用充分必要条件的应用 典例 已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m若 xP 是 xS 的必要 条件，求 m 的取值范围 解由 x28x200，得2x10， Px|2x10 由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP. 则 1m1m， 1m2，0m3. 1m10， 当 0m3 时，xP 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0,3 引申探究 若本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件 解若 xP 是 xS 的充要条件，则
9、PS， 1m2， 1m10， 方程组无解， 即不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)要注意区间端点值的检验 跟踪训练 (1)设 p：|2x1|0)；q： x1 2x10.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取 值范围为_ 答案(0,2 解析由|2x1|0)，得m2x1m， m1 2 x0，得 x1. p 是 q 的充分不必要条件，又 m0， m1 2 1 2，01”的否
10、命题是() A若函数 f(x)exmx 在0，)上不是减函数，则 m1 B若函数 f(x)exmx 在0，)上是减函数，则 m1 C若 m1，则函数 f(x)exmx 在0，)上是减函数 D若 m1，则函数 f(x)exmx 在0，)上不是减函数 答案A 解析“若 p，则 q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选 A. 2命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 () A1B2C3D4 答案B 解析原命题正确， 从而其逆否命题也正确； 其逆命题为“若 a6， 则 a3”是假命题， 从而其否命题也是假命题因此 4 个命题中有 2 个假命题 3“(2x1
11、)x0”是“x0”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案B 4已知命题 p：若 a1，则 a21，则下列说法正确的是() A命题 p 是真命题 B命题 p 的逆命题是真命题 C命题 p 的否命题是“若 a1，则 a21” D命题 p 的逆否命题是“若 a21，则 a1，命题 p 为假命题， A 不正确； 命题 p 的逆命题是“若 a21，则 a0，b0，则“ab”是“aln abln b”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析设 f(x)xln x，显然 f(x)在(0，)上单调递增， ab，f(
12、a)f(b)， aln abln b，故充分性成立； aln abln b， f(a)f(b)，ab，故必要性成立， 故“ab”是“aln abln b”的充要条件，故选 C. 7已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和 平面相交”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若直线 a 和直线 b 相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线 a 和 直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. 8(2017江西红色七校二模)在ABC 中，角 A，B 均为锐角，则“cos Asin B”是“ABC 为
13、钝角三角形”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析因为 cos Asin B，所以 cos Acos 2B， 因为角 A，B 均为锐角，所以 2B 为锐角， 又因为余弦函数 ycos x 在(0，)上单调递减， 所以 A 2B，所以 AB 2， 所以ABC 为钝角三角形； 若ABC 为钝角三角形，角 A，B 均为锐角， 则 C 2，所以 AB 2， 所以 Acos 2B， 即 cos Asin B. 故“cos Asin B”是“ABC 为钝角三角形”的充要条件 9“若 ab，则 ac2bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题
14、的个 数是_ 答案2 解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题 10 设 p： 实数 x， y 满足 x1 且 y1， q： 实数 x， y 满足 xy2， 则 p 是 q 的_条件 (选 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要 解析当 x1，y1 时，xy2 一定成立，即 pq， 当 xy2 时，可令 x1，y4，即 qp， 故 p 是 q 的充分不必要条件 11已知命题 p：axa1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取 值范围是_ 答案(0,3) 解析令 Mx|axa1，Nx|x24x0 x|0 x4
15、p 是 q 的充分不必要条件，MN， a0， a14， 解得 0a3. 12有下列几个命题： “若 ab， 则 a2b2”的否命题； “若 xy0， 则 x， y 互为相反数”的逆命题； “若 x24，则2x2”的逆否命题 其中真命题的序号是_ 答案 解析原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2”，错误； 原命题的逆命题为“若 x， y 互为相反数， 则 xy0”， 正确； 原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24”，正确 13已知 p：函数 f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，q：函数 g(x)loga(x1)(a0， 且 a1)在(1，)上是增函数，则綈 p 是 q 的()
16、A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析易知 p 成立a1， q 成立a1， 所以綈 p 成立a1， 则綈 p 是 q 的充要条件 故 选 C. 14已知条件 p：2x23x10，条件 q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈 p 是綈 q 的必要不 充分条件，则实数 a 的取值范围是_ 答案 0，1 2 解析方法一命题 p 为 x| 1 2x1， 命题 q 为x|axa1 綈 p 对应的集合 A x|x1 或 xa1 或 x1， a1 2 或 a11， a1 2， 0a1 2. 方法二命题 p：A x| 1 2x1， 命题 q：Bx|axa1 綈 p 是
17、綈 q 的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件，即 AB， a11， a1， a1 2， 0a1 2. 15若“数列 ann22n(nN*)是递增数列”为假命题，则的取值范围是_ 答案 3 2， 解析若数列 ann22n(nN*)为递增数列，则有 an1an0，即 2n12对任意的 nN* 都成立，于是可得 32，即1”是“a2b21”的_条件 (选填“充分不必要”“必 要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要 解析ab1，即 ab1. 又a，b 为正数， a2(b1)2b212bb21， 即 a2b21 成立； 反之， 当 a 3， b1 时， 满足 a2b21， 但 ab1 不成立所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件
