1、8.3空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些空间图形的位置关系的简单命题. 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题 真假判断和求解异面直线所成的角，题型主 要以选择题和填空题的形式出现，解题要求 有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
2、有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围： 0， 2 . 3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 知识拓展 1唯一
3、性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面， 有一条公共直线 a， 就说平面， 相交， 并记作a.() (2)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于过 A 点的任意一条直线() (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.() (4)经过两条相交直线
4、，有且只有一个平面() (5)没有公共点的两条直线是异面直线() (6)若 a，b 是两条直线，是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线() 题组二教材改编 2P52B 组 T1(2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点， 则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为() A30B45 C60D90 答案C 解析连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 即为所求的角又 B1D1B1CD1C， B1D1C 为等边三角形，D1B1C60. 3P45 例2如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H 分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，
5、则 (1)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形； (2)当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形 答案(1)ACBD(2)ACBD 且 ACBD 解析(1)四边形 EFGH 为菱形， EFEH，故 ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形，EFEH 且 EFEH， EF 綊 1 2AC，EH 綊 1 2BD，ACBD 且 ACBD. 题组三易错自纠 4(2017湖南省湘中名校联考)已知 l，m，n 为不同的直线，为不同的平面，则下列 判断正确的是() A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若l，m，m，则 ml D若m，n，lm，ln，则 l
6、答案C 解析A 中，m，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故 A 错误；B 中，m 与 n 也有可 能平行，B 错误；C 中，根据线面平行的性质可知 C 正确；D 中，若 mn，根据线面垂直的 判定可知 D 错误，故选 C. 5(2017湖北七市联考)设直线 m 与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是() A在平面内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面垂直 答案B 解析对于 A，在平面内有且只有一条直线与直线 m 垂直，过交点与直线 m 垂直的直线只 有一条，在平面内与此
7、直线平行的直线都与 m 垂直，不正确；对于 B，过直线 m 有且只有一 个平面与平面垂直，在直线 m 上取一点作平面的垂线，两条直线确定一个平面与平面垂 直，正确；对于 C，与直线 m 垂直的直线不可能与平面平行，不正确；对于 D，与直线 m 平行的平面不可能与平面垂直，不正确 6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互 为异面的对数为_ 答案3 解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体 中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 G
8、H 相 交，CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一平面基本性质的应用 典例 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 证明(1)如图，连接 EF，CD1，A1B. E，F 分别是 AB，AA1的中点，EFBA1. 又 A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F 四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图所示 则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面
9、ABCD平面 ADD1A1DA， P直线 DA，CE，D1F，DA 三线共点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然 后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证 两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 跟踪训练 (2018沈阳质检)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G
10、， H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明(1)E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD. 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线 题型二判断空间两直线的位置关系 典例 (1)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在
11、平面内，l2在平面内，l 是平面与平面的交线， 则下列命题正确的是() Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 答案D 解析方法一由于 l 与直线 l1，l2分别共面，故直线 l 与 l1，l2要么都不相交，要么至少与 l1，l2中的一条相交若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1， l2中的一条相交 方法二如图 1，l1与 l2是异面直线，l1与 l 平行，l2与 l 相交，故 A，B 不正确；如图 2，l1 与 l2是异面直线，l1，l2都与 l 相交，
12、故 C 不正确 (2)(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案 解析在图中，直线 GHMN； 在图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，NGH， 因此直线 GH 与 MN 异面； 在图中，连接 GM，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 在图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，GMN， 因此 GH 与 MN 异面 所以在图中 GH 与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线， 可采用直接法或反证法；对于平行直
13、线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面 平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 跟踪训练(1)(2016山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析若直线 a 和直线 b 相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. (2)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论： 若 ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若 ab，
14、bc，则 ac. 其中正确的个数为() A0B1C2D3 答案B 解析在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以 错，显然成立 题型三求异面直线所成的角 典例 (2018南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为() A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案D 解析连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成 的角连接 A1C1，由 AB1，AA12，易得 A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC
15、1 552 2 5 5 4 5，即异面直线 A 1B 与 AD1所成角的余弦值为4 5. 引申探究 将上例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 9 10”， 试求AA1 AB 的值 解设AA1 AB t，则 AA1tAB. AB1，AA1t. A1C1 2，A1B t21BC1， cosA1BC1 t21t212 2 t21 t21 9 10. t3，即AA1 AB 3. 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的
16、角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果 求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 跟踪训练 (2017佛山模拟)如图所示， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 AC 的中点， AA1AB 21，则异面直线 AB1与 BD 所成的角为_ 答案60 解析取 A1C1的中点 E，连接 B1E，ED，AE， 在 RtAB1E 中，AB1E 为异面直线 AB1与 BD 所成的角 设 AB1，则 A1A 2，AB1 3， B1E 3 2 ， 故AB1E60. 构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知 m，n 是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m，n，mn，则； 若
17、 m，n，mn，则； 若 m，n，mn，则； 若 m，n，则 mn. 其中所有正确的命题是_(填序号) 思想方法指导 本题可通过构造模型法完成， 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模 型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致 解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为 直观去判断 解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示， 故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面，可能 垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m，可得 m，因为 n，所以过 n 作平
18、面，且g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn，故正 确 答案 1在下列命题中，不是公理的是() A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案A 解析选项 A 是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的 2(2018佛山模拟)在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间 中与直线 A1B1，EF，BC 都相交的直线() A不存在B有且只有两条
19、C有且只有三条D有无数条 答案D 解析在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1与 M 确定一个平面，这个 平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N， 当 M 的位置不同时确定不同的平面， 从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与 A1B1，EF，BC 分别有交 点 P，M，N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1，EF，BC 都相交 3(2017济南模拟)a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D若 ab，
20、bc，则 ac 答案C 解析若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面；若 a，b 相交，b，c 相交， 则 a，c 相交、平行或异面；若 ab，bc，则 a，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的 角的定义知 C 正确故选 C. 4(2017福州质检)直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于() A30B45 C60D90 答案C 解析如图，延长 CA 到点 D，使得 ADAC，连接 DA1，BD，则四边形 ADA1C1为平行四边形， 所以DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角 又 A1DA1BDB
21、，所以A1DB 为等边三角形，所以DA1B60. 故选 C. 5下列命题中，正确的是() A若 a，b 是两条直线，是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线 B若 a，b 是两条直线，且 ab，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面 C若直线 a 与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D若直线 a平面，点 P，则平面内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条 答案D 解析对于 A，当，a，b 分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知 ab，故 A 错误 对于 B，设 a，b 确定的平面为，显然 a，故 B 错误 对于 C，当 a时，直线 a 与平面内的无
22、数条直线都平行，故 C 错误易知 D 正确故选 D. 6以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是() A0B1C2D3 答案B 解析显然是正确的；中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面； 中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然 b，c 异面，故不正确；中空间四边形中四条 线段不共面，故只有正确 7给出下列命题，其中正确的命题为_(填序号) 如果线段 A
23、B 在平面内，那么直线 AB 在平面内； 两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点 A，B，C； 若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线 l 于 A，B，C 三点，则这四条直线共面； 若三条直线两两相交，则这三条直线共面； 两组对边相等的四边形是平行四边形 答案 8(2018广州质检)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中： GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 答案 解析把正四面体的平面展开图还原
24、，如图所示，GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN. 9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 ABCD， 则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_ 答案4 解析EF 与正方体左、右两侧面均平行，所以与 EF 相交的平面有 4 个 10.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1是圆柱上 底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_ 答案2 解析取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD， 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中
25、点， 所以 ADBC，所以直线 AC1与 AD 所成的角即为异面直线 AC1与 BC 所成的角，因为 C1是 圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面，所以 C1DAD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， 所以 C1D 2AD， 所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 2， 所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 11.(2018石家庄调研)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为 直线 B1D 与平面 ACD1的交点求证：D1，H，O 三点共线 证明如图，连接 BD，B1D1， 则 BDACO， BB1綊 DD1
26、， 四边形 BB1D1D 为平行四边形，又 HB1D， B1D平面 BB1D1D， 则 H平面 BB1D1D， 平面 ACD1平面 BB1D1DOD1，HOD1. 即 D1，H，O 三点共线 12.如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，A90，BC 2，DAAC，DAAB，若 DA1， 且 E 为 DA 的中点，求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 解如图所示，取 AC 的中点 F，连接 EF，BF， 在ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点， EFCD. BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角 在 RtEAB 中，ABAC1，AE1 2AD 1 2， BE 5
27、2 . 在 RtEAF 中，AF1 2AC 1 2，AE 1 2， EF 2 2 . 在 RtBAF 中，AB1，AF1 2，BF 5 2 . 在等腰三角形 EBF 中，cosFEB 1 2EF BE 2 4 5 2 10 10 . 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 10 . 13(2018长春质检)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4， 则下列结论一定正确的是() Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 答案D 解析如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1DD1，l2
28、DC， l3DA.若 l4AA1，满足 l1l2，l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以排 除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；若取 C1D1为 l4，则 l1与 l4相交且垂直 因此 l1与 l4的位置关系不能确定 14.(2017郑州质检)如图，在矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正 确的是_(填序号) BM 是定值； 点 M 在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DEA1C； 存
29、在某个位置，使 MB平面 A1DE. 答案 解析取 DC 的中点 F， 连接 MF， BF， 则 MFA1D 且 MF1 2A 1D， FBED 且 FBED，所以MFBA1DE. 由余弦定理可得 MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值， 所以 M 是在以 B 为球心，MB 为半径的球上，可得正确；由 MFA1D 与 FBED 可得 平面 MBF平面 A1DE，可得正确；若存在某个位置，使 DEA1C，则因为 DE2CE2 CD2，即 CEDE，因为 A1CCEC，则 DE平面 A1CE，所以 DEA1E，与 DA1A1E 矛 盾，故不正确 15.(2017山西四校联考)如图，已知正
30、方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨 迹的面积是() A4B C2D. 2 答案D 解析连接 DN，则MDN 为直角三角形， 在 RtMDN 中，MN2，P 为 MN 的中点，连接 DP，则 DP1，所以点 P 在以 D 为球心， 半径 R1 的球面上，又因为点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于 该球面面积的1 8，故所求面积 S 1 84R 2 2. 16.如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC3，CD1，AD 5，ADC90，沿
31、直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是_ 答案 6 6 解析设直线 AC 与 BD所成的角为，平面 ACD 翻折的角度为，设点 O 是 AC 的中点， 由已知得 AC 6，如图， 以点 O 为坐标原点，以 OB 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，过点 O 与平面 ABC 垂直 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由 A 0， 6 2 ，0 ，B 30 2 ，0，0 ， C 0， 6 2 ，0 ，作 DHAC 于点 H，翻折过程中，DH 始终与 AC 垂直， CDACHD，CD CH CA CD， CHCD 2 CA 1 6 6 6 ， 则 OH 6 3 ，DH1 5 6 30 6 ， 因此可设 D 30 6 cos ， 6 3 ， 30 6 sin ， 则BD 30 6 cos 30 2 ， 6 3 ， 30 6 sin ， 与CA 平行的单位向量为 n(0,1,0)， 所以 cos |cosBD ，n| |BD n| |BD |n| 6 3 95cos ， 所以当 cos 1 时，cos 取最大值 6 6 .
