1、4.4函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 最新考纲考情考向分析 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 y Asin(x)的图象 2.了解参数 A，对函数图象变化的影响 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 以考查函数 yAsin(x)的图象的 五点法画图、图象之间的平移伸缩变 换、 由图象求函数解析式以及利用正弦 型函数解决实际问题为主， 常与三角函 数的性质、 三角恒等变换结合起来进行 综合考查， 加强数形结合思想的应用意 识 题型为选择题和填空题， 中档难度. 1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0
2、， 0)，xR 振幅周期频率相位初相 A T2 f1 T 2 x 2.用五点法画 yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x 0 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x)0A0A0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径 知识拓展 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减” 2由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非个单位长 度 3函数 yAsin(x)的对称轴由xk 2，kZ 确定；对称中心由xk，kZ 确定其横坐标 题组一思
3、考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 4 的图象是由 ysin x 4 的图象向右平移 2个单位长度得到的( ) (2)将函数 ysin x 的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数 ysin(x)的图 象() (3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2.( ) (4)由图象求函数解析式时， 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确 定的() 题组二教材改编 2P55T2为了得到函数 y2sin 2x 3 的图象，可以将函数 y2sin 2x 的图象() A向右平移 6个单位长度
4、 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 答案A 3P58A 组 T3函数 y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为() A2,4， 3 B2， 1 4， 3 C2， 1 4， 3 D2,4， 3 答案C 解析由题意知 A2，f1 T 2 1 4，初相为 3. 4P62 例 4如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b， 则这段曲线的函数解析式为_ 答案y10sin 8x 3 4 20，x6,14 解析从图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsin(x)b 的半个周期， 所以 A1 2(3010)10， b1
5、2(3010)20， 又1 2 2 146， 所以 8. 又 81022k，kZ，取 3 4 ， 所以 y10sin 8x 3 4 20，x6,14 题组三易错自纠 5要得到函数 ysin 4x 3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象() A向左平移 12个单位长度 B向右平移 12个单位长度 C向左平移 3个单位长度 D向右平移 3个单位长度 答案B 解析ysin 4x 3 sin 4 x 12， 要得到 ysin 4x 3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位长度 6(2016全国)将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期后，所得图象对应的
6、函数为 () Ay2sin 2x 4By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4Dy2sin 2x 3 答案D 解析函数 y2sin 2x 6 的周期为， 将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期即 4个 单位长度， 所得函数为 y2sin 2 x 4 62sin 2x 3 ， 故选 D. 7(2018长春模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函 数 f(x)的解析式为_ 答案f(x) 2sin 2x 3 解析由题图可知 A 2， T 4 7 12 3 4， 所以 T，故2， 因此 f(x) 2sin(2x)， 又 7 12， 2为最小值点，
7、 所以 27 122k 3 2 ，kZ， 所以2k 3，kZ， 又|， 所以 3. 故 f(x) 2sin 2x 3 . 题型一题型一函数函数 yAsin(x)的图象及变换的图象及变换 典例 已知函数 y2sin 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y2sin 2x 3 的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解(1)y2sin 2x 3 的振幅 A2， 周期 T2 2 ，初相 3. (2)令 X2x 3，则 y2sin 2x 3 2sin X. 列表如下： x 6 12 3 7 12 5 6 X0 2 3 2
8、2 ysin X01010 y2sin 2x 3 02020 描点画出图象，如图所示： (3)方法一把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度，得到 ysin x 3 的图象； 再把 ysin x 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 y sin 2x 3 的图象； 最后把 ysin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 2sin 2x 3 的图象 方法二将 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的图象； 再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度，
9、得到 ysin 2 x 6sin 2x 3 的图象； 再将 ysin 2x 3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y 2sin 2x 3 的图象 思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 zx 计算五点坐标 (2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移” 跟踪训练(1)(2018石家庄调研)若把函数 ysin x 6 的图象向左平移 3个单位长度， 所得 到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则的一个可能取值是() A2B.3 2 C.2 3 D.1
10、2 答案A 解析ysin x 3 6 和函数 ycos x 的图象重合，可得 3 6 22k，kZ，则 6k2，kZ.2 是的一个可能值 (2)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得 函数图象向左平移 4个单位长度，得到的函数图象的解析式是_ 答案ycos 2x 解析由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的 解析式为 ysin 2x，再向左平移 4个单位长度得 ysin 2 x 4 ，即 ycos 2x. 题型二题型二由图象确定由图象确定 yAsin(x)的解析式的解析式 典例 (1)函数 yAsin(x
11、)的部分图象如图所示，则 y_. 答案2sin 2x 6 解析由题图可知，A2，T2 3 6 ，所以2，由五点作图法可知 2 3 2， 所以 6，所以函数的解析式为 y2sin 2x 6 . (2)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的部分图象如图所示， 则 yf x 6 取得最小值时 x 的集合为_ 答案x|xk 3，kZ 解析根据所给图象，周期 T4 7 12 3 ，故2 ，2，因此 f(x)sin(2x)， 另外图象经过点 7 12，0，代入有 27 122k(kZ)，再由|0，0，|0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点 3， 3 2 对称，则 m 的值可能为() A
12、. 6 B. 2 C.7 6 D.7 12 答案D 解析依题意得 AB3 3 2 ， AB 3 2 ， 解得 A 3， B 3 2 ， T 2 2 3 6 2， 故2，则 f(x) 3sin(2x) 3 2 . 又 f 6 3sin 3 3 2 3 3 2 ， 故 3 22k(kZ)，即 62k(kZ) 因为| 2，故 6， 所以 f(x) 3sin 2x 6 3 2 . 将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后得到 g(x) 3sin 2x 62m 3 2 的图象，又函 数 g(x)的图象关于点 3， 3 2 对称，即 h(x) 3sin 2x 62m的图象关于点 3，0对称，故 3
13、sin 2 3 62m0，即5 6 2mk(kZ)，故 mk 2 5 12(kZ)令 k2，则 m 7 12. 题型三题型三三角函数图象性质的应用三角函数图象性质的应用 命题点 1三角函数模型 典例 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin 6xk，据此 函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为() A5B6C8D10 答案C 解析由题干图得 ymink32，则 k5. ymaxk38. 命题点 2函数零点(方程根)问题 典例 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在 2，上有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是_ 答案(2，1) 解
14、析方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x 2sin 2x 6 ，x 2，. 设 2x 6t，则 t 7 6， 13 6 ， 题目条件可转化为m 2 sin t，t 7 6， 13 6 有两个不同的实数根 y1m 2和 y 2sin t，t 7 6， 13 6 的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，m 2 的取值范围是 1，1 2 ， 故 m 的取值范围是(2，1) 引申探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m 的取值范围是_ 答案2,1) 解析由上例题知，m 2 的取值范围是 1，1 2 ，
15、2m0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离 为 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点 3，0，求 当 m 取得最小值时，g(x)在 6， 7 12 上的单调递增区间 解(1)函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 2， 得函数 f(x)的最小正周期为 T2 2 2 2，得1， 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3sin 2x 3 . (2) 将 f(x) 的 图 象 向 左 平 移 m(m0) 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x) 3 sin 2xm 3 3sin 2x2m 3
16、 的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点 3，0， 可得3sin 2 3 2m 3 0，即 sin 2m 3 0， 所以 2m 3k(kZ)，m k 2 6(kZ)， 因为 m0， 所以当 k0 时，m 取得最小值，且最小值为 6. 此时，g(x) 3sin 2x2 3 . 因为 x 6， 7 12 ，所以 2x2 3 3， 11 6. 当 2x2 3 3， 2 ，即 x 6， 12 时，g(x)单调递增， 当 2x2 3 3 2 ，11 6，即 x 5 12， 7 12 时，g(x)单调递增 综上，g(x)在区间 6， 7 12 上的单调递增区间是 6， 12 和 5 12， 7 12 .
17、思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把 实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 (3)研究 yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行 解题 跟踪训练(1)(2018兰州模拟)已知函数 f(x)sin(x) 0， 2 2 的图象上的两个 相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点 2，1 2 ，则函数 f(x)的解析式为_ 答案f(x)sin x 2 6 解析据已知两个相邻最高点和最低点的距离为 2 2，可得 T 2 21122 2，解得 T 4，
18、 故2 T 2，即 f(x)sin x 2 . 又函数图象过点 2，1 2 ， 故 f(2)sin 22sin 1 2， 又 2 2，解得 6，故 f(x)sin x 2 6 . (2)若函数 f(x)sin x 6 (0)满足 f(0)f 3 ， 且函数在 0， 2 上有且只有一个零点， 则 f(x) 的最小正周期为_ 答案 解析f(0)f 3 ， x 6是 f(x)图象的一条对称轴， f 6 1， 6 6 2k， kZ， 6k2，kZ，T 3k1(kZ) 又 f(x)在 0， 2 上有且只有一个零点， 6 T 4 2 6， 2 3 T4 3 ， 2 3 3k1 4 3 (kZ)， 1 12
19、k 1 6， 又kZ，k0，T. 三角函数图象与性质的综合问题 典例 (12 分)已知函数 f(x)2 3sin x 2 4 cos x 2 4 sin(x) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，上 的最大值和最小值 思维点拨(1)先将 f(x)化成 yAsin(x)的形式再求周期； (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x 6，得 g(x)，然后利用整体思想求最值 规范解答 解(1)f(x)2 3sin x 2 4 cos x 2 4 sin(x) 3cos xsin x3 分 2sin x
20、 3 ，5 分 于是 T2 1 2.6 分 (2)由已知得 g(x)f x 6 2sin x 6 ，8 分 x0，x 6 6， 7 6 ， sin x 6 1 2，1，10 分 g(x)2sin x 6 1,211 分 故函数 g(x)在区间0，上的最大值为 2，最小值为1.12 分 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造 f(x) a2b2 sin x a a2b2cos x b a2b2； 第三步：(求性质)利用 f(x) a2b2sin(x)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回
21、顾，查看关键点、易错点和答题规范. 1(2017全国)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下面结论正确的是() A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单 位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单 位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位 长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单 位长度，得到曲线 C2 答
22、案D 解析因为 ysin 2x2 3 cos 2x2 3 2 cos 2x 6 ，所以曲线 C1：ycos x 上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，得到曲 线 ycos 2x， 再把得到的曲线 ycos 2x 向左平移 12个单位长度， 得到曲线 ycos 2 x 12 cos 2x 6 .故选 D. 2(2018洛阳统考)若将函数 f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移个单位长度，所得图象关 于 y 轴对称，则的最小正值是() A. 8 B. 4 C.3 8 D.5 4 答案C 解析f(x)sin 2xcos 2x 2cos 2x 4 ，将函数 f(x)的图象向右平移个
23、单位长度后所得图 象对应的函数为 y 2cos 2x 42，且该函数为偶函数， 故 2 4k(kZ)，所以的最小正值为 3 8 . 3(2017衡水中学模拟)若函数 ysin(x) 0，| 2 在区间 2，上的图象如图所 示，则，的值分别是() A2， 3 B2，2 3 C1 2， 3 D1 2， 2 3 答案A 解析由题图可知，T2 6 3 ， 所以2 T 2， 又 sin 2 60， 所以 3k(kZ)， 即 3k(kZ)， 而|0) 个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是() A. 6 B. 3 C. 2 D.2 3 答案B 解析依题意得 f(x)2sin x 6
24、， 因为函数 f(xa)2sin xa 6 的图象关于 y 轴对称， 所以 sin a 6 1，a 6k 2，kZ， 即 ak 3，kZ， 因此正数 a 的最小值是 3，故选 B. 6 函数 f(x)sin(2x) | 2 的图象向左平移 6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函 数，则函数 f(x)在 0， 2 上的最小值为() A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案A 解析由函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度， 得 g(x)sin 2x 3 的图象， 因为是奇函数，所以 3k，kZ， 又因为| 2，所以 3， 所以 f(x)sin 2x 3 . 又 x 0， 2 ，所
25、以 2x 3 3， 2 3 ， 所以当 x0 时，f(x)取得最小值 3 2 . 7(2017青岛质检)将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平移 10个单位长度，再把所得各点 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_ 答案ysin 1 2x 10 解析ysin x 向右平移 10个单位长度 ysin x 10 横坐标伸长到 原来的 2 倍 ysin 1 2x 10 . 8 (2017河南洛阳统考)函数 f(x)2sin(x) 0，0 2 的部分图象如图所示， 已知图象 经过点 A(0，1)，B 3，1，则 f(x)_. 答案2sin 3x 6 解析由已知得T
26、2 3，T 2 3 ， 又 T2 ，3. f(0)1，sin 1 2， 又00，0，| 2 的图象过点 P 12，0，图象上与点 P 最近的 一个最高点是 Q 3，5. (1)求函数的解析式； (2)求函数 f(x)的单调递增区间 解(1)依题意得 A5，周期 T4 3 12 ， 2 2. 故 y5sin(2x)，又图象过点 P 12，0， 5sin 60， 由已知可得 6k，kZ， |0)图象上最高点的纵坐标为 2， 且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求 a 和的值； (2)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间 解(1)f(x)4cos xsin x 6 a 4cos x 3 2 s
27、in x1 2cos xa 2 3sin xcos x2cos2x11a 3sin 2xcos 2x1a 2sin 2x 6 1a. 当 sin 2x 6 1 时， f(x)取得最大值 21a3a. 又 f(x)最高点的纵坐标为 2，3a2，即 a1. 又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为， f(x)的最小正周期为 T， 22 T 2，1. (2)x0，2x 6 6， 13 6. 当 2x 6 2， 3 2 ， 即 x 6， 2 3 时，f(x)单调递减， f(x)在0，上的单调递减区间为 6， 2 3 . 13将函数 f(x)sin(2x) 2 2 的图象向右平移(0)个单位长度后，得到
28、函数 g(x) 的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P 0， 3 2 ，则的值为_ 答案 5 6 解析g(x)sin2(x)sin(2x2)，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P 0， 3 2 ， 所以 sin 3 2 ，sin(2) 3 2 ， 又 2 2， 所以 3，sin 32 3 2 . 又 0，所以5 3 320)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 3，则 f(x)的最小正周期为_ 答案 解析f(x) 3sin xcos x2sin x 6 (0) 由 2sin x 6 1，得 sin x 6 1 2， x 62k 6或x 62k
29、 5 6 (kZ) 令 k0，得x1 6 6，x 2 6 5 6 ， x10，x22 3. 由|x1x2| 3，得 2 3 3，2. 故 f(x)的最小正周期 T2 2 . 15.(2017长春质检)设偶函数 f(x)Asin(x)(A0，0,0)的部分图象如图所示， KLM 为等腰直角三角形，KML90，KL1，则 f 1 6 的值为_ 答案 3 4 解析由题意知，点 M 到 x 轴的距离是1 2，根据题意可设 f(x) 1 2cos x， 又由题图知1 2 2 1，所以， 所以 f(x)1 2cos x， 故 f 1 6 1 2cos 6 3 4 . 16(2017山东)设函数 f(x)s
30、in x 6 sin x 2 ，其中 03.已知 f 6 0. (1)求； (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向 左平移 4个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在 4， 3 4 上的最小值 解(1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 所以 f(x) 3 2 sin x1 2cos xcos x 3 2 sin x3 2cos x 3 1 2sin x 3 2 cos x 3sin x 3 . 由题设知 f 6 0， 所以 6 3k，kZ， 故6k2，kZ.又 03， 所以2. (2)由(1)得 f(x) 3sin 2x 3 ， 所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12 . 因为 x 4， 3 4 ， 所以 x 12 3， 2 3 ， 当 x 12 3，即 x 4时，g(x)取得最小值 3 2.
