1、4.6正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 最新考纲考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题. 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与 三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三 角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合 思想的应用意识题型多样，中档难度. 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容(1) a sin A b sin B c sin C2R (2)a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 变形 (3)a2R
2、sin A， b2Rsin_B， c2Rsin_C； (4)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (5)abcsin_Asin_Bsin_C； (6)asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A (7)cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aab 解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式 (1)S1 2ah a(ha表示边 a 上的高
3、)； (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A； (3)S1 2r(abc)(r 为三角形内切圆半径) 知识拓展 1三角形内角和定理 在ABC 中，ABC； 变形：AB 2 2 C 2. 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C； (3)sin AB 2 cos C 2；(4)cos AB 2 sin C 2. 3三角形中的射影定理 在ABC 中，abcos Cccos B； bacos Cccos A； cbcos Aacos B. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中
4、三边之比等于相应的三个内角之比() (2)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB.() (3)当 b2c2a20 时，三角形 ABC 为锐角三角形() (4)在ABC 中， a sin A abc sin Asin Bsin C.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积() 题组二教材改编 2P10B 组 T2在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ 答案等腰三角形或直角三角形 解析由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为
5、等腰三角形或直角三角形 3P18T1在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_ 答案2 3 解析 2 3 sin 60 4 sin B，sin B1，B90， AB2，SABC1 222 32 3. 题组三易错自纠 4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cbcos A，则ABC 为() A钝角三角形B直角三角形 C锐角三角形D等边三角形 答案A 解析由已知得 sin Csin Bcos A， sin(AB)sin Bcos A， sin Acos Bcos Asin B0，cos B1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 6(2018包头
6、模拟)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A 5sin B，则角 C_. 答案 2 3 解析由 3sin A5sin B，得 3a5b.又因为 bc2a， 所以 a5 3b，c 7 3b， 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 5 3b 2b2 7 3b 2 25 3bb 1 2. 因为 C(0，)，所以 C2 3 . 题型一题型一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 1(2016山东)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)， 则 A 等于() A.3 4 B. 3 C. 4 D
7、. 6 答案C 解析在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A， bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)， cos Asin A，tan A1， A(0，)，A 4，故选 C. 2 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.已知 8b5c， C2B， 则 cos C 等于() A. 7 25 B 7 25 C 7 25 D.24 25 答案A 解析8b5c，由正弦定理，得 8sin B5sin C. 又C2B，8sin B5sin 2B， 8sin B10sin Bcos B. sin B0，cos B4 5， cos Ccos
8、2B2cos2B1 7 25. 3 设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 3， sin B1 2， C 6， 则 b_. 答案1 解析因为 sin B1 2且 B(0，)， 所以 B 6或 B 5 6 . 又 C 6，BC2， x2 2x， 解得 2 22x2 22， 故当 x23时，SABC取得最大值 2 2，故选 A. (2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C 3，则ABC 的面积是_ 答案 3 3 2 解析c2(ab)26，c2a2b22ab6. C 3， c2a2b22abcos 3a 2b2ab. 由
9、得ab60，即 ab6. SABC1 2absin C 1 26 3 2 3 3 2 . 题型三题型三正弦定理、余弦定理的简单应用正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点 1判断三角形的形状 典例 (1)在ABC 中，cos A 2 1cos B 2 ，则ABC 一定是() A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D无法确定 答案A 解析由已知得 cos2A 2 1cos B 2 ， 2cos2A 21cos B，cos Acos B， 又 0A，B0，sin A1， 即 A 2，ABC 为直角三角形 引申探究 1本例(2)中，若将条件变为 2sin Acos Bsin C，判断ABC 的形状
10、解2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0. 又 A，B 为ABC 的内角 AB，ABC 为等腰三角形 2本例(2)中，若将条件变为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断ABC 的形状 解a2b2c2ab，cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 又 0C，C 3， 又由 2cos Asin Bsin C 得 sin(BA)0，AB， 故ABC 为等边三角形 命题点 2求解几何计算问题 典例 (1)如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则
11、AB _. 答案 5 6 2 解析在ACD 中，由余弦定理可得 cos C49925 273 11 14， 则 sin C5 3 14 . 在ABC 中，由正弦定理可得 AB sin C AC sin B， 则 ABACsin C sin B 75 3 14 2 2 5 6 2 . (2)(2018吉林三校联考)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取 值范围是_ 答案( 6 2， 6 2) 解析如图所示， 延长 BA 与 CD 相交于点 E， 过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F， 则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中，FCB30，CFBC2， BF 22
12、22222cos 30 6 2. 在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75， BECE，BC2， BE sin 75 2 sin 30， BE2 1 2 6 2 4 6 2. 6 2AB 6 2. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 ABC这个结论 (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练(1)(2018安徽六校联考)在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的 对边)，
13、则ABC 的形状为() A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案B 解析cos2B 2 1cos B 2 ，cos2B 2 ac 2c ， (1cos B)cac， acos Bca 2c2b2 2a ， 2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC 为直角三角形 (2)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 2 3 ，AB3 2，AD3， 则 BD 的长为_ 答案3 解析因为 sinBAC2 2 3 ，且 ADAC， 所以 sin 2BAD2 2 3 ， 所以 cosBAD2 2 3 ，在BAD 中，由余弦定理， 得 BD
14、 AB2AD22ABADcosBAD 3 223223 232 2 3 3. 二审结论会转换 典例 (12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ac 6 6 b，sin B 6sin C. (1)求 cos A 的值； (2)求 cos 2A 6 的值 (1) 求 cos A 根据余弦定理 求三边 a，b，c 的长或长度关系 已知 ac 6 6 b 利用正弦定理将 sin B 6sin C 化为 b 6c (2) 求 cos 2A 6 求 cos 2A，sin 2A 求 sin A，cos A 第1问已求 出 cos A 根据同角关系求 sin A 规范解答
15、解(1)在ABC 中，由 b sin B c sin C及 sin B 6sin C， 可得 b 6c，2 分 又由 ac 6 6 b，有 a2c，4 分 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 6c 2c24c2 2 6c2 6 4 .7 分 (2)在ABC 中，由 cos A 6 4 ， 可得 sin A 10 4 .8 分 于是 cos 2A2cos2A11 4，9 分 sin 2A2sin Acos A 15 4 .10 分 所以 cos 2A 6 cos 2Acos 6sin 2Asin 6 1 4 3 2 15 4 1 2 15 3 8 .12 分 1(2017长沙模拟)在ABC
16、中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 13，b3，A 60，则边 c 等于() A1B2C4D6 答案C 解析a2c2b22cbcos A， 13c292c3cos 60， 即 c23c40，解得 c4 或 c1(舍去) 2在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A2 3 ，a2，b2 3 3 ，则 B 等 于() A. 3 B.5 6 C. 6或 5 6 D. 6 答案D 解析A2 3 ，a2，b2 3 3 ， 由正弦定理 a sin A b sin B，可得 sin Bb asin A 2 3 3 2 3 2 1 2. A2 3 ，B 6. 3(20
17、17哈尔滨模拟)在ABC 中，AB 3，AC1，B30，ABC 的面积为 3 2 ，则 C 等 于() A30B45C60D75 答案C 解析SABC1 2ABACsin A 3 2 ， 即1 2 31sin A 3 2 ， sin A1， 由 A(0，180)，A90，C60.故选 C. 4ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a，则b a 等于() A2 3B2 2C. 3D. 2 答案D 解析(边化角) 由 asin Asin Bbcos2A 2a 及正弦定理，得 sin Asin Asin Bsin Bcos2A 2sin
18、A， 即 sin B 2sin A，所以b a sin B sin A 2. 5在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，sin A，sin B，sin C 成等比数列， 且 c2a，则 cos B 的值为() A.1 4 B.3 4 C. 2 4 D. 2 3 答案B 解析因为 sin A，sin B，sin C 成等比数列， 所以 sin2Bsin Asin C，由正弦定理得 b2ac， 又 c2a，故 cos Ba 2c2b2 2ac a 24a22a2 4a2 3 4. 6(2017郑州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b 3cos
19、B a sin A， 则 cos B 等于() A1 2 B.1 2 C 3 2 D. 3 2 答案B 解析由正弦定理知 sin B 3cos B sin A sin A1，即 tan B 3，由 B(0，)，所以 B 3，所以 cos B cos 3 1 2，故选 B. 7(2016全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A4 5，cos C 5 13，a 1，则 b_. 答案 21 13 解析在ABC 中，由 cos A4 5，cos C 5 13，可得 sin A 3 5，sin C 12 13，sin Bsin(AC) sin Acos Ccos Asi
20、n C63 65，由正弦定理得 b asin B sin A 21 13. 8 (2018成都模拟)在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若(a2c2b2)tan B 3ac， 则角 B 的值为_ 答案 3或 2 3 解析由余弦定理，得a 2c2b2 2ac cos B， 结合已知等式得 cos Btan B 3 2 ， sin B 3 2 ，又 0B，B 3或 2 3 . 9ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B 6，C 4，则ABC 的面 积为_ 答案31 解析b2，B 6，C 4. 由正弦定理 b sin B c sin C， 得
21、 cbsin C sin B 2 2 2 1 2 2 2，A 6 4 7 12， sin Asin 4 3 sin 4cos 3cos 4sin 3 6 2 4 . 则 SABC1 2bcsin A 1 222 2 6 2 4 31. 10(2018长春质检)E，F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tanECF _. 答案 3 4 解析如图，设 AB6，则 AEEFFB2. 因为ABC 为等腰直角三角形， 所以 ACBC3 2. 在ACE 中，A45，AE2，AC3 2， 由余弦定理可得 CE 10. 同理，在BCF 中可得 CF 10. 在CEF 中，由余弦定理得 c
22、osECF 10104 2 10 10 4 5， 所以 tanECF3 4. 11(2018珠海模拟)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，abtan A. (1)证明：sin Bcos A； (2)若 sin Csin Acos B3 4，且 B 为钝角，求 A，B，C. (1)证明由正弦定理知 a sin A b sin B c sin C2R， a2Rsin A，b2Rsin B，代入 abtan A 得 sin Asin Bsin A cos A，又A(0，)，sin A0， 1sin B cos A，即 sin Bcos A. (2)解由 sin Csin Acos
23、 B3 4知， sin(AB)sin Acos B3 4，cos Asin B 3 4. 由(1)知，sin Bcos A，cos2A3 4，由于 B 是钝角， 故 A 0， 2 ，cos A 3 2 ，A 6. sin B 3 2 ，B2 3 ，C(AB) 6. 12(2017全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 a2 3sin A. (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长 解(1)由题设得 1 2acsin B a2 3sin A， 即 1 2csin B a 3sin A. 由正弦定理，得
24、1 2sin Csin B sin A 3sin A， 故 sin Bsin C2 3. (2)由题设及(1)，得 cos Bcos Csin Bsin C1 2， 即 cos(BC)1 2.所以 BC 2 3 ，故 A 3. 由题意得 1 2bcsin A a2 3sin A，a3，所以 bc8. 由余弦定理，得 b2c2bc9， 即(bc)23bc9.由 bc8，得 bc 33. 故ABC 的周长为 3 33. 13(2018银川模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 SABC 2 3，ab6，acos Bbcos A c 2cos C，则 c 等于()
25、A2 7B4C2 3D3 3 答案C 解析acos Bbcos A c 2cos C， 由正弦定理， 得 sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C， 由于 0C0，sin A 3cos A， 即 tan A 3. 0A，A 3. 由余弦定理得 a216b2c22bccos A (bc)23bc(bc)23 bc 2 2， 则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， ABC 周长abc4bc12，即最大值为 12. 15在ABC 中，若 AB4，AC7，BC 边的中线 AD7 2，则 BC_. 答案9 解
26、析如图所示，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，EC. 因为 AD 是 BC 边上的中线， 所以 AE 与 BC 互相平分， 所以四边形 ACEB 是平行四边形，所以 BEAC7. 又 AB4，AE2AD7， 所以在ABE 中，由余弦定理得， AE249AB2BE22ABBEcosABE AB2AC22ABACcosABE. 在ABC 中，由余弦定理得， BC2AB2AC22ABACcos(ABE)， 49BC22(AB2AC2)2(1649)， BC281，BC9. 16(2018贵阳质检)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2(bc)2(2 3)bc，s
27、in Asin Bcos2C 2，BC 边上的中线 AM 的长为 7. (1)求角 A 和角 B 的大小； (2)求ABC 的面积 解(1)由 a2(bc)2(2 3)bc， 得 a2b2c2 3bc， cos Ab 2c2a2 2bc 3 2 ， 又 0A，A 6. 由 sin Asin Bcos2C 2， 得 1 2sin B 1cos C 2 ， 即 sin B1cos C， 则 cos C0，即 C 为钝角， B 为锐角，且 BC5 6 ， 则 sin 5 6 C 1cos C，化简得 cos C 3 1， 解得 C2 3 ，B 6. (2)由(1)知，ab，在ACM 中， 由余弦定理得 AM2b2 a 2 22ba 2cos C b2b 2 4 b 2 2 ( 7)2， 解得 b2， 故 SABC1 2absin C 1 222 3 2 3.
