1、6.1数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 最新考纲考情考向分析 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊 函数. 以考查 Sn与 an的关系为主，简单的递推关系也 是考查的热点 本节内容在高考中以选择、 填空 的形式进行考查，难度属于低档. 1数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列an1_an 其中 nN*递减数列an1_an， 即(n1)2(n1)n2n，
2、 整理， 得 2n10，即(2n1)(*) 因为 n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3. 5数列an中，ann211n(nN*)，则此数列最大项的值是_ 答案30 解析ann211n n11 2 2121 4 ， nN*，当 n5 或 n6 时，an取最大值 30. 6已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_. 答案 2，n1， 2n1，n2，nN* 解析当 n1 时，a1S12，当 n2 时， anSnSn1n21(n1)212n1， 故 an 2，n1， 2n1，n2，nN*. 题型一题型一由数列的前几项求数列的通项公式由数列的前几项求数列的通项公式 1数列 0
3、， 2 3， 4 5， 6 7，的一个通项公式为( ) Aann1 n2(nN *) Ban n1 2n1(nN *) Can2n1 2n1 (nN*) Dan 2n 2n1(nN *) 答案C 解析注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 2数列 1 12， 1 23， 1 34， 1 45，的一个通项公式 a n_. 答案(1)n 1 nn1 解析这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项 为正，所以它的一个通项公式为 an(1)n 1 nn1. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较
4、(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联 想常见的数列)等方法 (2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项 的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻 找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k 1，kN*处理 (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法 题型二题型二由由 an与与 Sn的关系求通项公式的关系求通项公式 典 例(1) 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn 3n2 2n 1(nN*) ， 则 其 通 项 公 式 为 _ 答案an 2，n1， 6n5，n2，nN
5、* 解析当 n1 时，a1S13122112； 当 n2 时， anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当 n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an 2，n1， 6n5，n2，nN*. (2)若数列an的前 n 项和 Sn2 3a n1 3(nN *)，则an的通项公式 an_. 答案(2)n 1 解析由 Sn2 3a n1 3，得当 n2 时，S n12 3a n11 3，两式相减，整理得 a n2an1，又当 n1 时，S1a12 3a 11 3，a 11，an是首项为 1，公比为2 的等比数列，故 an( 2)n 1. 思维升华 已知 Sn，求 an的步骤
6、(1)当 n1 时，a1S1. (2)当 n2 时，anSnSn1. (3)对 n1 时的情况进行检验， 若适合 n2 的通项则可以合并； 若不适合则写成分段函数形式 跟踪训练 (1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前 n 项和，且 Sn2an1，则数列的 通项公式 an_. 答案2n 1 解析由题意得 Sn12an11，Sn2an1， 两式相减得 Sn1Sn2an12an， 即 an12an，又 S12a11a1， 因此 a11，所以数列an是以 a11 为首项、2 为公比的等比数列，所以 an2n 1. (2)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则数列的通项公式 an_.
7、 答案 4，n1， 23n 1，n2 解析当 n1 时，a1S1314， 当 n2 时，anSnSn13n13n 1123n1. 显然当 n1 时，不满足上式 an 4，n1， 23n 1，n2. 题型三题型三由数列的递推关系求通项公式由数列的递推关系求通项公式 典例 根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a12，an1anln 11 n ； (2)a11，an12nan； (3)a11，an13an2. 解(1)an1anln 11 n ， anan1ln 1 1 n1 ln n n1(n2)， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 ln n n1ln n1 n2ln 3
8、 2ln 22 2ln n n1 n1 n2 3 22 2ln n(n2) 又 a12 适合上式，故 an2ln n(nN*) (2)an12nan， an an12 n1(n2)， an an an1 an1 an2 a2 a1a 1 2n 12n2212123(n1) (1) 2 2 n n . 又 a11 适合上式，故 an (1) 2 2 n n (nN*) (3)an13an2，an113(an1)， 又 a11，a112， 故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an123n 1，故 an23n11(nN*) 引申探究在本例(2)中， 若 ann1 n an1(n2，
9、且 nN*)， 其他条件不变， 则 an_. 答案 1 n 解析ann1 n an1(n2)， an1n2 n1a n2，a21 2a 1. 以上(n1)个式子相乘得 ana11 2 2 3 n1 n a1 n 1 n. 当 n1 时也满足此等式，an1 n. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现 anan1m 时，构造等差数列 (2)当出现 anxan1y 时，构造等比数列 (3)当出现 anan1f(n)时，用累加法求解 (4)当出现 an an1f(n)时，用累乘法求解 跟踪训练 (1)已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an
10、的通项公 式 an_. 答案32n 12 解析由 an22an3an10， 得 an2an12(an1an)， 数列an1an是以 a2a13 为首项，2 为公比的等比数列，an1an32n 1， 当 n2 时，anan132n 2，a3a232，a2a13， 将以上各式累加，得 ana132n 23233(2n11)， an32n 12(当 n1 时，也满足) (2)在数列an中，a13，an1an 1 nn1，则通项公式 a n_. 答案41 n 解析原递推公式可化为 an1an1 n 1 n1， 则 a2a11 1 1 2，a 3a21 2 1 3， a4a31 3 1 4，a n1an
11、2 1 n2 1 n1，a nan1 1 n1 1 n，逐项相加得 a na111 n， 故 an41 n. 题型四题型四数列的性质数列的性质 命题点 1数列的单调性 典例 已知 ann1 n1，那么数列a n是() A递减数列B递增数列 C常数列D摆动数列 答案B 解析an1 2 n1，将 a n看作关于 n 的函数，nN*，易知an是递增数列 命题点 2数列的周期性 典例 数列an满足 an1 1 1an， a 82， 则 a1_. 答案 1 2 解析an1 1 1an， an1 1 1an 1 1 1 1an1 1an1 1an11 1an 1 an1 1 1 an1 1 1 1 1an
12、2 1(1an2)an2，n3， 周期 T(n1)(n2)3. a8a322a22. 而 a2 1 1a1，a 11 2. 命题点 3数列的最值 典例 数列an的通项 an n n290，则数列a n中的最大项是() A3 10B19 C. 1 19 D. 10 60 答案C 解析令 f(x)x90 x (x0)，运用基本不等式得 f(x)2 90，当且仅当 x310时等号成立 因为 an 1 n90 n ，所以 1 n90 n 1 2 90， 由于 nN *， 不难发现当 n9 或 n10 时， an1 19最大 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法，根据 an
13、1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列 用作商比较法，根据an 1 an (an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断 (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 跟踪训练 (1)数列an满足 an1 2an，0an1 2， 2an1，1 2a n1， a13 5，则数列的第 2 018 项为 _ 答案 1 5 解析由已知可得，a223 51 1 5， a321 5 2 5， a422 5 4 5， a524 51 3 5， an为周
14、期数列且 T4， a2 018a50442a21 5. (2)(2017安徽名校联考)已知数列an的首项为 2， 且数列an满足 an1an1 an1， 数列a n的前 n 项的和为 Sn，则 S2 016等于() A504B588 C588D504 答案C 解析a12，an1an1 an1，a 21 3，a 31 2，a 43，a52，数列an的周期为 4，且 a1a2a3a47 6，2 0164504，S 2 016504 7 6 588，故选 C. 解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列an的通项公式是 an(n1) 10 11 n，则此数列的最大项是第_项 (2)若 ann2kn4
15、且对于 nN*，都有 an1an成立，则实数 k 的取值范围是_ 思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数； (2)数列的最值可以根据单调 性进行分析 解析(1)an1an(n2) 10 11 n1(n1) 10 11 n 10 11 n9n 11 ， 当 n0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an知该数列是一个递增数列， 又通项公式 ann2kn4， (n1)2k(n1)4n2kn4， 即 k12n，又 nN*，k3. 答案(1)9 或 10(2)(3，) 1 (2017湖南长沙一模)已知数列的前 4 项为
16、 2,0,2,0， 则依此归纳该数列的通项不可能是() Aan(1)n 11 Ban 2，n 为奇数， 0，n 为偶数 Can2sin n 2 Dancos(n1)1 答案C 解析对 n1,2,3,4 进行验证，知 an2sin n 2 不合题意，故选 C. 2(2018葫芦岛质检)数列2 3， 4 5， 6 7， 8 9，的第 10 项是( ) A16 17 B18 19 C20 21 D22 23 答案C 解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解： 符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式 an(1)n 1 2n 2n1，故 a 1020 21.
17、 3(2017黄冈质检)已知在正项数列an中，a11，a22,2a2na2n1a2n1(n2)，则 a6等于 () A16B4 C2 2D45 答案B 解析由题意得 a2n1a2na2na2n1a22a213，故a2n是以 3 为公差的等差数列，即 a2n 3n2.所以 a2636216.又 an0，所以 a64.故选 B. 4若数列an满足 a12，a23，anan 1 an2(n3 且 nN *)，则 a2 018等于( ) A3B2 C.1 2 D.2 3 答案A 解析由已知 a3a2 a1 3 2，a 4a3 a2 1 2， a5a4 a3 1 3，a 6a5 a4 2 3， a7a6
18、 a52，a 8a7 a63， 数列an具有周期性，且 T6， a2 018a33662a23. 5(2018长春调研)设 an3n215n18，则数列an中的最大项的值是() A.16 3 B.13 3 C4D0 答案D 解析an3 n5 2 23 4，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时，a n最大，最大为 0. 6(2017江西六校联考)已知数列an满足 an 5an11，n5， an 4，n5， 且an是递增数列， 则实数 a 的取值范围是() A(1,5)B. 7 3，5 C. 7 3，5D(2,5) 答案D 解析an 5an11，n5， an 4，n5， 且an是递增数列， 5a
19、0， a1， 55a11a2， 解得 2a0，所以 a11. (2)因为 3TnS2n2Sn， 所以 3Tn1S2n12Sn1， ，得 3a2n1S2n1S2n2an1. 因为 an10，所以 3an1Sn1Sn2， 所以 3an2Sn2Sn12， ，得 3an23an1an2an1， 即 an22an1， 所以当 n2 时，an 1 an 2. 又由 3T2S222S2， 得 3(1a22)(1a2)22(1a2)， 即 a222a20. 因为 a20，所以 a22，所以a2 a12， 所以对 nN*，都有an 1 an 2 成立， 所以数列an的通项公式为 an2n 1，nN*. 13(2
20、017江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列an中，若满足an 2 an1 an1 an d(nN*， d 为常数)，称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a33，则 a2 015 a2 013等于( ) A42 01521B42 01421 C42 01321D42 0132 答案C 解析由题知 an1 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 an1 an 2n1，所以 an an an1 an1 an2 a2 a1a 1(2n3)(2n5)1. 所以a2 015 a2 013 22 015322 01551 22 013322 01351 4 0274 02
21、5(4 0261)(4 0261) 4 0262142 01321. 14若数列 nn4 2 3 n 中的最大项是第 k 项，则 k_. 答案4 解析设数列为an，则 an1an(n1)(n5) 2 3 n1n(n4) 2 3 n 2 3 n 2 3n 26n5n24n 2n 3n 1(10n 2) 所以当 n3 时，an1an； 当 n4 时，an1an. 因此，a1a2a3a5a6， 故 a4最大，所以 k4. 15在数列an中，a11，a22，若 an22an1an2，则 an等于() A.1 5n 22 5n 6 5 Bn35n29n4 Cn22n2D2n25n4 答案C 解析由题意得
22、(an2an1)(an1an)2， 因此数列an1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，an1an12(n1)2n1，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1 12n3n1 2 (n1)21n22n2，又 a1112212，因此 ann22n 2(nN*)，故选 C. 16(2017太原五中模拟)设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(n 1,2,3，)，则它的通项公式 an_. 答案 1 n(nN *) 解析因为数列an是首项为 1 的正项数列， 所以 anan10， 所以n1an 1 an nan an110. 令
23、an 1 an t(t0)，则(n1)t2tn0， 分解因式，得(n1)tn(t1)0， 所以 t n n1或 t1(舍去)，即 an1 an n n1. 方法一(累乘法) 因为a2 a1 a3 a2 a4 a3 a5 a4 an an1 1 2 2 3 3 4 4 5 n1 n ， 所以 an1 n(nN *) 方法二(迭代法) 因为 an1 n n1a n， 所以 ann1 n an1n1 n n2 n1a n2 n1 n n2 n1 n3 n2a n3 n1 n n2 n1 n3 n2 1 2a 1， 所以 an1 n(nN *) 方法三(特殊数列法) 因为an 1 an n n1，所以 n1an1 nan 1. 所以数列nan是以 a1为首项，1 为公比的等比数列 所以 nan11n 11. 所以 an1 n(nN *)
