1、第第 2 讲讲不等式的证明不等式的证明 1.设不等式|2x1|1 的解集为 M. (1)求集合 M； (2)若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小. 解(1)由|2x1|1 得12x11， 解得 0 x1.所以 Mx|0 x1. (2)由(1)和 a，bM 可知 0a1，0b1， 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故 ab1ab. 2.已知 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1，求证： a b c1 a 1 b 1 c. 证明法一a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1， a b c 1 bc 1 ca 1 ab 1 b 1 c 2 1 c 1 a 2 1
2、 a 1 b 2 1 a 1 b 1 c. a b c1 a 1 b 1 c. 法二1 a 1 b2 1 ab2 c； 1 b 1 c2 1 bc2 a； 1 c 1 a2 1 ac2 b. 以上三式相加，得1 a 1 b 1 c a b c. 又a，b，c 互不相等，1 a 1 b 1 c a b c. 法三a，b，c 是不等正数，且 abc1， 1 a 1 b 1 cbccaab bcca 2 caab 2 abbc 2 abc2 a2bc ab2c a b c. a b c1 a 1 b 1 c. 3.(2017衡阳二联)已知函数 f(x)|x3|. (1)若不等式 f(x1)f(x)a
3、 的解集为空集，求实数 a 的取值范围； (2)若|a|1，|b|3，且 a0，判断f（ab） |a| 与 f b a 的大小，并说明理由. 解(1)因为 f(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1， 不等式 f(x1)f(x)a 的解集为空集， 则 1a 即可， 所以实数 a 的取值范围是(，1. (2)f（ab） |a| f b a . 证明：要证f（ab） |a| f b a ， 只需证|ab3|b3a|， 即证(ab3)2(b3a)2， 又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29). 因为|a|1，|b|3， 所以(ab3)2(b3a)2成立， 所以原不等式成立
4、. 4.(2015陕西卷)已知关于 x 的不等式|xa|b 的解集为x|2x4. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 at12 bt的最大值. 解(1)由|xa|b，得baxba， 则 ba2， ba4， 解得 a3， b1. (2) 3t12 t 3 4t t （ 3）212（ （4t）2（ t）2 2 4tt4， 当且仅当 4t 3 t 1 ， 即 t1 时等号成立， 故( 3t12 t)max4. 5.(2015全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd.证明： (1)若 abcd，则 a b c d； (2) a b c d是|ab|cd|的充要条件. 证明(1)因为( a
5、 b)2ab2 ab， ( c d)2cd2 cd， 由题设 abcd，abcd 得( a b)2( c d)2. 因此 a b c d. (2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd. 因为 abcd，所以 abcd. 由(1)得 a b c d. 若 a b c d， 则( a b)2( c d)2， 即 ab2 abcd2 cd. 因为 abcd，所以 abcd，于是 (ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab|cd|. 综上， a b c d是|ab|cd|的充要条件. 6.已知 a，b，c 均为正实数.求证： (1)(a
6、b)(abc2)4abc； (2)若 abc3，则 a1 b1 c13 2. 证明(1)要证(ab)(abc2)4abc， 可证 a2bac2ab2bc24abc0， 需证 b(a2c22ac)a(c2b22bc)0， 即证 b(ac)2a(cb)20， 当且仅当 abc 时，取等号， 由已知，上式显然成立， 故不等式(ab)(abc2)4abc 成立. (2)因为 a，b，c 均为正实数，由不等式的性质知 a12a12 2 a3 2 ， 当且仅当a12时， 取等号， b12b12 2 b3 2 ，当且仅当 b12 时，取等号， c1 2c12 2 c3 2 ，当且仅 当 c12 时，取等号， 以上三式相加，得 2( a1 b1 c1) 9 2 abc 6， 所以 a1 b1 c13 2，当且仅当 abc1 时，取等号.
