1、12.3几何概型几何概型 最新考纲考情考向分析 1.了解随机数的意义， 能运用随机模拟的方法 估计概率. 2.了解几何概型的意义. 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会 求一些简单的几何概型的概率，常与平面几 何、线性规划、不等式的解集、定积分等知 识交汇考查在高考中多以选择、填空题的 形式考查，难度为中档. 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称为几何概型 2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A) 构成事件 A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 3要切实理解并掌握几
2、何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 4随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法 (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机 数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)M N作为所求概率的近似值 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率
3、是零() (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每 一点被取到的机会相等() (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形() (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率() (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关() (6)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P1 9.( ) 题组二教材改编 2P137 思考在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为() A.1 2 B.1 3 C.1 4 D1 答案B 解析坐标小于 1 的区间为0,1)，长度为 1，0,3的区间长度为 3，故所求概率为1 3.
4、3P140T1有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部 分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是() 答案A 解析P(A)3 8，P(B) 2 8，P(C) 2 6，P(D) 1 3， P(A)P(C)P(D)P(B) 4P146B 组 T4设不等式组 0 x2， 0y2 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点， 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. 4 B.2 2 C. 6 D.4 4 答案D 解析如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原
5、点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积 为 4.因此满足条件的概率是4 4 ，故选 D. 题组三易错自纠 5在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，则 m_. 答案3 解析由|x|m，得mxm. 当 0m2 时，由题意得2m 6 5 6，解得 m2.5，矛盾，舍去 当 2m|AC|的 概率为_ 答案 1 6 解析设事件 D 为“作射线 CM，使|AM|AC|” 在 AB 上取点 C使|AC|AC|， 因为ACC是等腰三角形， 所以ACC18030 2 75， 事件 D 发生的区域D907515， 构成事件总的区域90， 所以 P(D)D 15 90 1 6
6、. 题型一题型一与长度、角度有关的几何概型与长度、角度有关的几何概型 1某公司的班车在 7：00，8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案B 解析如图所示，画出时间轴 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时， 才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型， 得所求概率 P1010 40 1 2，故选 B. 2.如图， 四边形 ABCD 为矩形， AB 3， BC1，
7、以 A 为圆心， 1 为半径作四分之一个圆弧DE， 在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_ 答案 1 3 解析因为在DAB 内任作射线 AP，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是DAB，当 射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CAB 内，则区域 H 为CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为CAB DAB 30 90 1 3. 3在区间0,5上随机地选择一个数 p，则方程 x22px3p20 有两个负根的概率为 _ 答案 2 3 解析方程 x22px3p20 有两个负根， 则有 0， x1x20， x1x20， 即 4p2
8、43p20， 2p0， 3p20， 解得 p2 或2 3p1，又 p0,5， 则所求概率为 P 31 3 5 10 3 5 2 3. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)， 然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度 或角度) 题型二题型二与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型 命题点 1与平面图形面积有关的问题 典例 (2017全国)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中 的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随
9、机取一点，则此点取自 黑色部分的概率是_ 答案 8 解析不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S黑S白1 2S 圆 2，所以由 几何概型知，所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8. 命题点 2与线性规划知识交汇命题的问题 典例 由不等式组 x0， y0， yx20 确定的平面区域记为1，由不等式组 xy1， xy2 确定的 平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_ 答案 7 8 解析如图，平面区域1就是三角形区域 OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是 区域
10、OACD， 易知 C 1 2， 3 2 ，故由几何概型的概率公式，得所求概率 PS 四边形OACD SOAB S OABSBCD SOAB 21 4 2 7 8. 命题点 3与定积分交汇命题的问题 典例 如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数 f(x)x2.若在矩形 ABCD 内随机取 一点，则此点取自阴影部分的概率为_ 答案 5 12 解析由题意知，阴影部分的面积 S21(4x2)dx 32 1 1 (4)| 3 xx5 3， 所以所求概率 P S S矩形ABCD 5 3 14 5 12. 思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关
11、键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个 变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 跟踪训练 (1)(2016全国)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构 成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则 用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为() A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 答案C 解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所 示的阴影中，由几何概型概率计算公式知 4 1 m n， 4m
12、 n ，故选 C. (2)(2017石家庄调研)在满足不等式组 xy10， xy30， y0 的平面内随机取一点 M(x0，y0)，设 事件 A“y02x0”，那么事件 A 发生的概率是() A.1 4 B.3 4 C.1 3 D.2 3 答案B 解析作出不等式组 xy10， xy30， y0 的平面区域即ABC，其面积为 4，且事件 A“y02x0”表示的区域为 AOC，其面积为 3，所以事件 A 发生的概率是3 4. (3)如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的 概率为_ 答案 2 e2 解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面
13、积为 S210(eex)dx2(ex ex)|102ee(01)2.又该正方形的面积为 e2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为 2 e2. 题型三题型三与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型 典例 (1)已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC1 2V SABC的概率是() A.7 8 B.3 4 C.1 2 D.1 4 答案A 解析当 P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求， 由几何概型知， P11 8 7 8. (2)如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 在正方体内随机取点 M
14、， 则使四棱锥 MABCD 的体积小于1 6的概率为_ 答案 1 2 解析过点 M 作平面 RS平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 MABCD 的高，显然点 M 在平面 RS 上任意位置时， 四棱锥 MABCD 的体积都相等 若此时四棱锥 MABCD 的体积 等于1 6，只要 M 在截面以下即可小于 1 6，当 V MABCD1 6时，即 1 311h 1 6，解得 h 1 2，即 点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P 111 2 111 1 2. 思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空
15、间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 跟踪训练 (2017湖南长沙四县联考)如图， 在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无 底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现 在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 () A1 4 B. 12 C. 4 D1 12 答案A 解析鱼缸底面正方形的面积为 224， 圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥 外面的鱼吃到”的概率是 1 4，故选 A. 几何概型中的“测度” 典例 (1)在等腰 RtABC 中，C90，在直角边 BC 上任取一点 M，则CAM30
16、的概率 是_ (2)在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1 2的概率为( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.7 8 错解展示： (1)C90，CAM30，所求概率为30 90 1 3. (2)当两点之间线段长为1 2时，占长为 1 的线段的一半，故所求概率为 1 2. 错误答案(1)1 3 (2)B 现场纠错 解析(1)点 M 在直角边 BC 上是等可能出现的， “测度”是长度设直角边长为 a， 则所求概率为 3 3 a a 3 3 . (2)设任取两点所表示的数分别为 x，y， 则 0 x1，且 0y1. 由题意知|xy|1 2，所以所求概率为 P 121 2 1
17、2 1 2 1 3 4. 答案(1) 3 3 (2)C 纠错心得(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分 布等可能 (2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积 1.如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落 在阴影区域内的概率是1 3，则阴影部分的面积是( ) A. 3 B C2D3 答案D 解析设阴影部分的面积为 S，且圆的面积 S329.由几何概型的概率，得 S S 1 3，则 S3. 2设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为() A.3 4 1 2 B.1 4 1 2 C.1
18、2 1 D.1 2 1 答案B 解析由|z|1 可得(x1)2y21，表示以(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，满足 yx 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为 P 1 41 21 21 2 12 4 1 2 1 4 1 2. 3(2018石家庄模拟)已知 P 是ABC 所在平面内一点，PB PC 2PA 0，现将一粒黄豆随 机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是() A.1 4 B.1 3 C.2 3 D.1 2 答案D 解析以 PB，PC 为邻边作平行四边形 PBDC， 则PB PCPD ，因为PB PC2PA0， 所以PB PC2PA，得PD 2PA
19、， 由此可得，P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 距离的1 2， 所以 SPBC1 2S ABC， 所以将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为S PBC SABC 1 2，故选 D. 4.已知函数 f(x)的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出 100 粒豆子，记下落入阴 影区域的豆子数通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 39，由此 可估计10f(x)dx 的值约为() A. 61 100 B. 39 100 C. 10 100 D.117 100 答案D 解析10f(x)dx 表示阴影
20、部分的面积 S. 因为S 3 39 100，所以 S 117 100. 5在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1 1 2 1 log () 2 x 1”发生的概率为() A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 答案A 解析由1 1 2 1 log () 2 x 1，得1 2x 1 22， 得 0 x3 2. 由几何概型的概率计算公式，得所求概率 P 3 20 20 3 4. 6(2017武昌质检)如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(，1)，C(， 1)，D(0，1)，正弦曲线 f(x)sin x 和余弦曲线 g(x)cos x 在矩形 ABCD 内交于
21、点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是() A.1 2 B.1 2 2 C.1 D. 1 2 答案B 解析根据题意，可得曲线 ysin x 与 ycos x 围成的区域的面积为 4 (sincos )dxxx 4 (cossin )|xx 1 2 2 2 2 1 2.又矩形 ABCD 的面积为 2，由几何概型概率公 式得该点落在阴影区域内的概率是1 2 2 .故选 B. 7 (2017江苏)记函数 f(x) 6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x， 则 xD 的概率是_ 答案 5 9 解析设事件“在区间4,5上随机取一个数 x，则 xD”为事
22、件 A，由 6xx20，解得 2x3， D2,3 如图，区间4,5的长度为 9，定义域 D 的长度为 5， P(A)5 9. 8.如图，在面积为 S 的矩形 ABCD 内任取一点 P，则PBC 的面积小于S 4的概率为_ 答案 1 2 解析如图，设PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于点 E，当PBC 的面积等于S 4时， 1 2BCPF 1 4BCEF，所以 PF 1 2EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于点 G， 交 CD 于点 H，则满足条件“PBC 的面积小于S 4”的点 P 落在矩形区域 GBCH 内 设“PBC 的面积小于S 4”为事
23、件 A，则构成事件 A 的区域的面积为 S 2，而试验的全部结果所 构成的区域面积为 S，所以由几何概型概率的计算公式得 P(A) S 2 S 1 2. 所以PBC 的面积小于S 4的概率是 1 2. 9.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱 锥 AA1BD 内的概率为_ 答案 1 6 解析因为 1 AA BD V 1 AABD V 1 3AA 1SABD 1 6AA 1S矩形ABCD1 6V 长方体， 故所求概率为 1 AA BD V V长方体 1 6. 10.正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分别在抛
24、物线 yx2和 y x2上，如图所示若将一个质点随机投入到正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的 概率是_ 答案 2 3 解析正方形内空白部分面积为1 1x2(x2)dx 1 12x2dx2 3x 3|1 12 3 2 3 4 3， 阴影部分面积为 224 3 8 3， 所以所求概率为 8 3 4 2 3. 11在区间，内随机取出两个数分别记为 a，b，求函数 f(x)x22axb22有零点 的概率 解由函数 f(x)x22axb22有零点， 可得(2a)24(b22)0， 整理得 a2b22， 如图所示， (a， b)可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为(a， b)|a
25、， b，其面积 S(2)242. 事件 A 表示函数 f(x)有零点，所构成的区域为 M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其 面积为 SM423， 故 P(A)SM S 423 42 1 4. 12已知向量 a(2,1)，b(x，y) (1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷 两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率； (2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，求满足 ab0 的概率 解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6636， 由 ab1，得2xy1， 所以满足 ab1
26、 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 个 故满足 ab1 的概率为 3 36 1 12. (2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6 满足 ab0 的基本事件的结果为 A(x，y)|1x6,1y6 且2xy0 画出图象如图所示，矩形的面积为 S矩形25， 阴影部分的面积为 S阴影251 22421， 故满足 ab0， y0 内的一点， 求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率 解函数 f(x)ax24bx1 的图象的对称轴为直线 x2b a ， 要使 f(x)ax24bx1 在区间1，)上为增函数， 当且仅当 a0 且2
27、b a 1， 即 2ba. 如图所示，事件的全部结果所构成的区域为 a，b| ab80， a0， b0 ，构成所求事件 的区域为三角形部分(阴影部分) 由 ab80， ba 2， 得交点坐标为 16 3 ，8 3 ， 故所求事件的概率为 P 1 28 8 3 1 288 1 3. 15 在区间0,1上随机取两个数 x， y， 记 p1为事件“xy1 2”的概率， p 2为事件“|xy|1 2” 的概率，p3为事件“xy1 2”的概率，则( ) Ap1p2p3Bp2p3p1 Cp3p1p2Dp3p2p1 答案B 解析因为 x，y0,1，所以事件“xy1 2”表示的平面区域如图(1)阴影部分 S
28、1，事件“|x y|1 2”表示的平面区域如图(2)阴影部分 S 2，事件“xy1 2”表示的平面区域如图(3)阴影部 分 S3，由图知，阴影部分的面积满足 S2S3S1，正方形的面积为 111，根据几何概型公 式可得 p2p3p1. 16甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率 解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空 出”，则 0 x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上， 即 yx1 或 xy2.故所求事件构成集合 A(x， y)|yx1 或 xy2，x0,24，y0,24 A 为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是 24 的正方形及其内部 所求概率为 P(A)A 的面积 的面积 24121 2242 21 2 242 506.5 576 1 013 1 152.
