1、第第 2 讲讲参数方程参数方程 1.(2017合肥调研)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： x 2cos 1， y 2sin1 (为参数)， 在以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l：sincos m. (1)若 m0 时，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； (2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 2 2 ，求实数 m 的取值范围. 解(1)曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，是一个圆； 直线 l 的直角坐标方程为 xy0， 圆心 C 到直线 l 的距离为 d |11| 1212 2r， 所以直线 l 与圆 C 相切. (2)由已知可得，
2、 圆心 C 到直线 l 的距离为 d|11m| 1212 3 2 2， 解得1m5. 所以实数 m 的取值范围为1，5. 2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x4cos， y4sin (为参数)，直线 l 经过点 P(1，2)，倾斜角 6 . (1)写出圆 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值. 解(1)由 x4cos， y4sin， 消去， 得圆 C 的普通方程为 x2y216. 又直线 l 过点 P(1，2)，且倾斜角 6 . 所以 l 的参数方程为 x1tcos 6 ， y2tsin 6 . 即
3、 x1 3 2 t， y21 2t (t 为参数). (2)把直线 l 的参数方程 x1 3 2 t， y21 2t 代入 x2y216， 得 1 3 2 t 2 21 2t 2 16，t2( 32)t110， 所以 t1t211. 由参数方程的几何意义，|PA|PB|t1t2|11. 3.(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 xtcos， ytsin (t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 10，求 l 的斜率. 解(1)
4、由 xcos，ysin可得圆 C 的极坐标方程为212cos 110. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R). 设 A，B 所对应的极径分别为1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程 得212cos110. 于是1212cos，1211. |AB|12| （12）2412 144cos244. 由|AB| 10得 cos23 8，tan 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 4.以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等 的长度单位.已知直线 l 的参数方程为 x1tcos， ytsin (t 为参数，
5、0)， 曲线 C 的极坐标方程为sin24cos. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当变化时，求|AB|的最小值. 解(1)由sin24cos得(sin)24cos， 曲线 C 的直角坐标方程为 y24x. (2)将直线 l 的参数方程代入 y24x 得到 t2sin24tcos40. 设 A，B 两点对应的参数分别是 t1，t2， 则 t1t2 4cos sin2，t 1t2 4 sin2. |AB|t1t2| （t1t2）24t1t2 4 sin24，当 2 时取到等号. |AB|min4，即|AB|的最小值为 4. 5.(2014全
6、国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为 极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos， 0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得 到的参数方程，确定 D 的坐标. 解(1)C 的普通方程为(x1)2y21(0y1). 可得 C 的参数方程为 x1cos t， ysin t (t 为参数，0t). (2)设 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 C(1，0)为圆心， 1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直， 所以直线 CD 与 l
7、 的斜率相同，tan t 3，t 3 .故 D 的直角坐标为 1cos 3 ，sin 3 ，即 3 2， 3 2 . 6.(2017长沙模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos， ysin (为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为sin 4 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角； (2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值. 解(1)由 x3cos， ysin 消去参数，得x 2 9 y21， 即 C 的普通方程为x 2 9 y21. 由sin 4 2，得sincos2，(*) 将 xcos， ysin 代入(*)，化简得 yx2， 所以直线 l 的倾斜角为 4 . (2)由(1)知，点 P(0，2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 xtcos 4 ， y2tsin 4 (t 为参数)， 即 x 2 2 t， y2 2 2 t (t 为参数)， 代入x 2 9 y21 并化简，得 5t218 2t270， (18 2)245271080， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t218 2 5 0，t1t227 5 0，所以 t10，t20， 所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2)18 2 5 .
