1、第第 3 讲讲变量间的相关关系与统计案例变量间的相关关系与统计案例 一、选择题 1.两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A.模型 1 的相关指数 R2为 0.98 B.模型 2 的相关指数 R2为 0.80 C.模型 3 的相关指数 R2为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2为 0.25 解析相关指数 R2越大，拟合效果越好，因此模型 1 拟合效果最好. 答案A 2.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x3，y3.5，则由 该观测数据算得的线性回归方程可能是() A.y 0.4x2.3
2、 B.y 2x2.4 C.y 2x9.5 D.y 0.3x4.4 解析因为变量 x 和 y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项 C 和 D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A 满足. 答案A 3.设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据 一组样本数据(xi， yi)(i1， 2， ， n)， 用最小二乘法建立的回归方程为y 0.85x 85.71，则下列结论中不正确的是() A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x，y) C.若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85
3、 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 解析0.850，y 与 x 正相关，A 正确； 回归直线经过样本点的中心(x，y)，B 正确； y0.85(x1)85.71(0.85x85.71)0.85， C 正确. 答案D 4.通过随机询问 110 名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由 K2 n（adbc）2 （ab） （cd） （ac） （bd）算得， K2110（40302020） 2 60506050 7.8. 附表： P(K2k0)0.0500.0100.0
4、01 k03.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是() A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析根据独立性检验的定义，由 K27.86.635，可知我们在犯错误的概率不 超过 0.01 的前提下，即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案A 5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家 庭，得到如下统计
5、数据表： 收入 x(万元)8.28.610.011.311.9 支出 y(万元)6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程y bxa，其中b0.76，a yb x，据此估计， 该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为() A.11.4 万元B.11.8 万元 C.12.0 万元D.12.2 万元 解析由题意知，x8.28.610.011.311.9 5 10， y6.27.58.08.59.8 5 8， a 80.76100.4， 当 x15 时，y 0.76150.411.8(万元). 答案B 二、填空题 6.若 8 名学生的身高和体重数据如下表： 编号12345678 身
6、高/cm165165157170175165155170 体重/kg485754646143 59 第 3 名学生的体重漏填，但线性回归方程是y 0.849x85.712，则第 3 名学 生的体重估计为_. 解析设第 3 名学生的体重为 a，则 1 8(4857a5464614359)0.849 1 8(165165157170175 165155170)85.712.解之得 a50. 答案50 7.(2017广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关， 现随机 抽取 50 名学生，得到 22 列联表如下： 理科文科总计 男131023 女72027 总计203050 已知 P(
7、K23.841)0.05，P(K25.024)0.025. 根据表中数据，得到 K250（1320107） 2 23272030 4.844，则认为选修文理科 与性别有关系出错的可能性约为_. 解析由 K24.8443.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%. 答案5% 8.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x()之间的关系，随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温，并制作了对照表： 气温()1813101 用电量(度)24343864 由表中数据得回归直线方程y bxa中的b2，预测当气温为4 时，用 电量约为_度. 解析根据题意知 x181310（1） 4 10，y
8、24343864 4 40，因 为回归直线过样本点的中心，所以a 40(2)1060，所以当 x4 时，y (2)(4)6068，所以用电量约为 68 度. 答案68 三、解答题 9.(2017郑州调研)某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位： 千 元)的数据如下表： 年份2009201020112012201320142015 年份代号 t1234567 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况，并预
9、测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b n i1 （ti t ） （yi y ） n i1 （ti t ）2 ，a yb t . 解(1)由所给数据计算得 t 1 7(1234567)4， y 1 7(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， 7 i1 (tit)2941014928， 7 i1 (tit)(yiy)(3)(1.4)(2)(1) (1)(0.7)00.110.520.931.614， b 7 i1 （ti t ） （yi y ） 7 i1 （ti t ）2 14 280.5， a yb t 4.30.5
10、42.3，所求回归方程为y 0.5t2.3. (2)由(1)知，b 0.50，故 2009 至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐 年增加，平均每年约增加 0.5 千元. 将 2017 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程， 得y 0.592.36.8，故 预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 10.(2017西安质检)某省会城市地铁将于 2017 年 6 月开始运营， 为此召开了一个 价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了 50 人，他们的收入 与态度如下： 月收入(单位： 百元) 15，25)25，35)35，45)45，55)55，6
11、5)65， 75 赞成定价 者人数 123534 认为价格偏 高者人数 4812521 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成 定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留 2位小 数)； (2)由以上统计数据填下面 22 列联表分析是否有 99%的把握认为“月收入 以 55 百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 总计 认为价格偏高者 赞成定价者 总计 附：K2 n（adbc）2 （ab） （cd） （ac） （bd） P(K2k0)0.050.01 k03.8416.635 解(
12、1)“赞成定价者”的月平均收入为 x1201302403505603704 123534 50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为 x22043084012505602701 4812521 38.75， “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是 x1x2 50.5638.7511.81(百元). (2)根据条件可得 22 列联表如下： 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 总计 认为价格偏高者32932 赞成定价者71118 总计104050 K250（311729） 2 10401832 6.270，b0 B.a 0，b0 C.a 0 D.a 0
13、，b0 解析作出散点图如下： 观察图象可知，回归直线y bxa的斜率b0.故a0，b5.024. 推断犯错误的概率不超过 0.025. 答案0.025 14.(2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣 传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对 近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到 下面的散点图及一些统计量的值. 表中 wi xi，w1 8 8 i1wi. (1)根据散点图判断，yabx 与 ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可，不必
14、说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下 列问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 vu 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： n i1 （ui u ） （vi v ） n i1 （ui u ）2 ，v u 解(1)由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型. (2)令 w x
15、，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 d 8 i1 （wi w ）（yi y ） 8 i1 （wi w ）2 108.8 1.6 68， c yd w563686.8100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y 100.668w， 因此 y 关于 x 的回归方程为y 100.668 x. (3)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值 y 100.668 49576.6， 年利润 z 的预报值z 576.60.24966.32. 根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z 0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以当 x13.6 2 6.8，即 x46.24 时，z 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.
