1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 1 页 共 95 页 【挑战满分】压轴小题【挑战满分】压轴小题 5：立体几何：立体几何 一、单选题一、单选题 1 在棱长为2的正四面体ABCD中， 点P为ABC所在平面内一动点， 且满足 4 3 3 PAPB ， 则PD 的最大值为（） A3B 2 10
2、 3 C 39 3 D2 2如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知ABC是边长为 1 的等边三角形， 1 2AA ，E，F分别 在侧面 11 AAB B和侧面 11 AAC C内运动（含边界） ，且满足直线 1 AA与平面AEF所成的角为 30，点 1 A在 平面AEF上的射影H在AEF内（含边界） 令直线BH与平面ABC所成的角为，则tan的最大值 为（） A 3 23B 3 3 C 3 D 3 23 3已知直三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为2，ABBC，2ABBC.过AB、 1 BB的中点E、F作 平面与平面 11 AAC C垂直，则所得截面周长为（） A2 2 6 B 22
3、 6 C3 2 6 D3 2 2 6 4已知正方体ABCDABC D 的棱长为 1，点M，N分别为线段 AB ，AC上的动点，点T在平面 BCC B 内，则MT NT 的最小值是（） A 2 B 2 3 3 C 6 2 D1 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 2 页 共 95 页 5 九
4、章算术卷五商功)中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 PABCD(如图)，PA 平面ABCD.1PAAB，3AD ，点E，F分别在AB，BC上，当空间 四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为（） A 3 5 5 B 5 5 C 3 3 2 D2 3 6如图，已知在ABC中，90 ,1,2,BACABBCD为线段BC上一点，沿AD将ABD翻转 至AB DV，若点 B 在平面ADC内的射影H恰好落在线段AC上，则二面角B DCA 的正切的最大 值为（） A 3 3 B1C 2 D 3 7等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱
5、，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过 程中，则下列说法错误的是（） 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 3 页 共 95 页 A四面体EBCD的体积有最大值和最小值； B存在某个位置，使得AEBD； C设二面角DABE的平面角为，则DAE； DAE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD
6、于点P，则点P的轨迹为椭圆. 8 九章算术卷五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 PABCD(如图)，PA 平面ABCD.1PAAB，3AD ，点E，F分别在AB，BC上，当空间 四边形PEFD的周长最小时，三棱锥PADF外接球的表面积为（） A9B11C12D16 9如图，在棱长为3 3的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是平面 11 A BC内一个动点，且满足 1 52 13DPPB，则直线 1 B P与直线 1 AD所成角的取值范围为（）(参考数据： 43 sin53,sin37 55 ) A37 ,143 B37 ,90 C53 ,14
7、3 D37 ,127 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 4 页 共 95 页 10 已知直四棱柱 1111 ABCDABC D， 其底面ABCD是平行四边形， 外接球体积为36， 若 1 ACBD， 则其外接球被平面 11 AB D截得图形面积的最小值为（） A8B 243 10 C 8
8、1 10 D6 11如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，,E F分别是棱 1 AA， 1 CC的中点，过点,E F的平面分 别与棱 1 BB， 1 DD交于点 G，H，给出以下四个命题： 平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为 45； 四边形EGFH的面积的最小值为1； 四棱锥 1 CEGFH的体积为定值 1 6 ； 点 1 B到平面EGFH的距离的最大值为 6 3 . 其中正确命题的序号为（） ABCD 12如图，三棱锥ABCD的底面BCD在平面内，所有棱均相等，E是棱AC的中点，若三棱锥 ABCD绕棱CD旋转，设直线BE与平面所成的角为，则cos的取值范围为（） A
9、3 ,1 6 B 5 ,1 6 C 11 0, 6 D 33 0, 6 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 5 页 共 95 页 13已知三棱锥PABC的底面是正三角形，PAa，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心， 当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的表面积为（）
10、A 3 4 3a B 2 3 a C 3 3 2 a D 2 12a 14如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，6AB ，点 P 在平面 11 AB D内， 1 3 2AP ，则点 P 到 1 BC 距离的最小值为（） A3 2B2 3 C 6 D3 15如图所示，在圆锥内放入两个球 1 O， 2 O，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切） ，切点圆 （图中粗线所示） 分别为 1 C， 2 C.这两个球都与平面相切， 切点分别为 1 F， 2 F， 丹德林 （GDandelin） 利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆， 1 F， 2 F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为
11、Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为30， 1 C， 2 C的半径分别为 1，4，点M为 2 C上的 一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小 值是（） A6B8C3 3D4 3 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 6
12、 页 共 95 页 16如图，在三棱锥DABC中，ABBCCDDA，90 ,ABCE F O 分别为棱,BC DA AC 的中点，记直线EF与平面BOD所成角为，则的取值范围是（） A0, 4 B, 4 3 C, 4 2 D, 6 2 17如图，在四棱锥PABCD中，APBBPCCPDDPA ，平面ADP 平面DCP，若 APC，BPD，AP与平面DCP所成的角为，则以下结论正确的是（） AB CD 18在长方体 1111 ABCDABC D中， 1AB ， 1 2 2BCCC，E，F，G分别为AD，AB， 11 C D 上的点，AEED，AFFB， 11( 4)DGGC ，分别记二面角 1
13、GEFD，GEFC， GFBC的平面角为，则（） A B C D与有关 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 7 页 共 95 页 19M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点， 将菱形沿对角线AC折起， 使点D不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列选项错误的个数是（） 异面直线AC与
14、MN所成的角为定值； /MN平面ABD； 若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则ABC的取值范围是0, 2 ； A0B1C2D3 20已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3，M，N为体对角线 1 BD的三等分点，动点P在三角 形 1 ACB内，且三角形PMN的面积 2 6 3 PMN S ，则点P的轨迹长度为（） A 2 6 9 B 4 6 9 C 2 6 3 D 4 6 3 21设 1 l， 2 l是平面内所成角为 6 的两条直线，过 1 l， 2 l分别作平面，且锐二面角 1 l的 大小为 4 ， 锐二面角 2 l的大小为 3 ， 则平面，所成的锐二面角的平面角的余
15、弦值可能是 （） A 3 6 B 2 8 C 1 4 D 1 3 22在空间中，记点 A 在平面上的射影 BfA .设, 是两个不同的平面，对空间任意一点 M， 1 NffM ， 2 NffM ，且 12 MNMN，则平面, 所成二面角为（） A 6 B 4 C 3 D 2 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：60839691660839691
16、6 下载！下载！ 第 8 页 共 95 页 23 如图， ABCDA1B1C1D1为正方体， 则以下结论： BD平面 CB1D1； AC1BD； AC1平面 CB1D1 其中正确结论的个数是（） A0B1C2D3 24已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，若 P 点在正方体的内部，且满足 1 111 432 APABADAA ，则平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为() A 13 4 B 2 13 13 C 7 3 D 3 3 25如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF 1 2 ADa， G 是 EF
17、的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( ) A 6 6 B 3 3 C 6 3 D 2 3 26如图，矩形 ABCD 中， 22 2ABAD ，E 为边 AB 的中点，将ADE沿直线 DE 翻折成 1 ADE. 在翻折过程中，直线 1 AC与平面 ABCD 所成角的正弦值最大为（） A 102 4 B 6 6 C 51 4 D 5 5 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！Word
18、Word 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 9 页 共 95 页 27如图，在棱长为3的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是平面 11 A BC内一个动点，且满足 1 213DPPB，则直线 1 B P与直线 1 AD所成角的余弦值的取值范围为（） A 1 0, 2 B 1 0, 3 C 12 , 22 D 13 , 22 28空间中 13 个不同的点构成的集合0,1,2,12 i PA i，满足当0,1,2,3k 时， 3313233kkkk A AAA 都是正四面体.对于任意平面，P的最大值是（） A9B10C11D12 29
19、已知PABC是正四面体，E是棱PA上的中点，F是线段BC的动点，EF与直线AB所成的最小 角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角EBCA的平面角为，则（） A， B ， C， D， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 10 页 共 95 页 30如图，在长方体 1111 ABCDABC
20、D中，5AB ，6BC ， 1 7AA ，EF是棱AB上的一条线段， 且3EF ，Q是 11 AD的中点，P是棱 11 C D上的动点，则 四面体PQEF的体积为定值 直线 11 AB到平面PEF的距离为定值 点P到直线EF的距离为定值 直线PQ与平面QEF所成的角为定值 其中正确结论的编号是（） ABCD 二、多选题二、多选题 31已知矩形ABCD，2AB ，1BC ，将ABC沿矩形的对角线AC所在的直线进行翻折，翻折过 程中（） A存在某个位置，使得 0AD BC B存在某个位置，使得 0AB CD C存在某个位置，使得 0AC BD D存在某个位置，使得AD BC ，AB CD 、AC
21、BD uuu r uuu r 均不等于零 32如图，在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 DD上一点，且2,DEF为棱 11 C D的中 点，点G是线段 1 BC上的动点，则（） A无论点G在线段 1 BC上如何移动，都有 11 AGB D B四面体ABEF的体积为 24 C直线AE与BF所成角的余弦值为 2 10 15 D直线 1 AG与平面 1 BDC所成最大角的余弦值为 1 3 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关
22、注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 11 页 共 95 页 33在菱形ABCD中， 2 3AB ， 60ABC ，将菱形 ABCD沿对角线AC折成大小为 0180 的二面角BACD，若折成的四面体ABCD内接于球O，则下列说法正确的是 （） A四面体ABCD的体积的最大值是3 3 BBD的取值范围是 3 2,6 C四面体ABCD的表面积的最大值是12 6 3 D当 60 时，球O的体积为52 39 27 34 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 点
23、E，F分别是棱AB， 11 AB的中点， 点P在四边形ABCD 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（） A若P是线段BC的中点，则平面 1 AB P 平面DEF B若P在线段AC上，则 1 D P与 11 AC所成角的取值范围为, 4 2 C若 1/ PD平面 11 AC E，则点P的轨迹的长度为 2 D若/PF平面 11 BCD，则线段PF长度的最小值为 6 2 35如图，在棱长为 2 的正方体ABCDABC D 中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（） AAM与D B 所成角的余弦值为 10 10 B过三点A、M、D的正方体ABCDABC D 的截面面积为 9 2 C四面体A C B
24、D 的内切球的表面积为 3 D 正方体ABCDABC D 中， 点P在底面A B C D （所在的平面） 上运动并且使MACPAC ， 那么点P的轨迹是椭圆 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 12 页 共 95 页 36 已知图 1 中，A、B、C、D是正方形EFGH各边的中点， 分别沿
25、着AB、BC、CD、DA把ABF、 BCG、CDH、DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接 EFGH，得到一个如图 2 所示的多面体，则（） AAEF是正三角形 B平面AEF 平面CGH C直线CG与平面AEF所成角的正切值为 2 D当2AB 时，多面体ABCDEFGH的体积为 8 3 37已知三棱锥ABCD的三条侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，其长度分别为 a，b，c点 A 在底面 BCD 内的射影为 O，点 A，B，C，D 所对面的面积分别为 A S， B S， C S， D S在下列所给的命题中，正确的 有（） A 2 ABCOD SSS ； B 33
26、33 ABCD SSSS； C若三条侧棱与底面所成的角分别为 1 ， 1 ， 1 ，则 222 111 sinsinsin1； D若点 M 是面 BCD 内一个动点，且 AM 与三条侧棱所成的角分别为 2 ， 2 ， 2 ，则 2 2 cos 22 22 coscos1 38已知棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D的所有顶点均在体积为32 3的球O上，动点P在正方形 1111 DCBA内运动（包含边界） ，若直线 1 CC与直线AP所成角的正弦值为 1 3 ，则（） A2a B点P运动轨迹的长度为 2 2 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 6083969166083969
27、16高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 13 页 共 95 页 C三棱锥 11 PAC D体积的取值范围为 328 2 32 , 33 D线段OP长度的最小值为 5 39如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将ABD沿对角线BD翻折，使顶点A 到点P的位置，在翻折的过程中，下列结论正确的是（） ABD平面POC BDP与BC不可能垂直 C直线DP与平面B
28、CD所成角的最大值是 45 D四面体PBCD的体积越大，其外接球的体积也越大 40一副三角板由一块有一个内角为 60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， 0 90BF ， 00 60 ,45 ,ADBCDE， 现将两块三角形板拼接在一起， 得三棱锥FCAB， 取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是（） ABCFM BAC与平面MOF所成的角的余弦值为 3 2 C平面MOF与平面AFB所成的二面角的平面角为 45 D设平面ABF 平面MOFl，则有/ /lAB 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享
29、QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 14 页 共 95 页 41如图，矩形 ABCD 的边2BC ，设ABx，0 x ，三角形BCM为等边三角形，沿BC将三角 形BCM折起，构成四棱锥MABCD如图，则下列说法正确的有（ ） A若T为BC中点，则在线段MC上存在点P，使得/PD平面MAT B当 3,2x时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD 平面ABCD C若使点M在平面ABCD内的射影落在线
30、段AD上，则此时该四棱锥的体积最大值为 1 D若1x ，且当点M在平面ABCD内的射影点H落在线段AD上时，三棱锥MHAB的外接球半径 与内切球半径的比值为 63 22 2 42在长方体 1111 ABCDABC D中，4ABBC， 1 8AA ，点P在线段 11 AC上，M为AB的中点， 则（） ABD 平面PAC B当P为 11 AC的中点时，四棱锥PABCD外接球半径为 7 2 C三棱锥APCD体积为定值 D过点M作长方体 1111 ABCDABC D的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4 三、填空题三、填空题 43已知正ABC的顶点A在平面上，顶点B、C在平面的同一侧，D为BC的中
31、点，若ABC 在平面上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面所成角的正弦值的最小值为_. 44如图，在ABC中， 1 2 BMMC ，1ABAC， 2 3 BM ，点 D 在线段BM上运动，沿AD 将ADB折到ADB， 使二面角B ADC 的度数为60， 若点 B 在平面ABC内的射影为 O， 则OC 的最小值为_ 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进
32、QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 15 页 共 95 页 45已知三棱锥PABC的各棱长均相等，点 E 在棱BC上，且2CEEB，动点 Q 在棱BP上，设直 线EQ与平面ABC所成角为，则sin的最大值是_ 46如图，在ABC中， 10AB = ，4AC ， 3 2BC ，过AC中点M的动直线l与线段AB交于 点N，将AMN沿直线l向上翻折至AMN，使点 A 在平面BCMN内的射影H落在线段BC上，则 直线l运动时，点 A 的轨迹长度是_ 47三角形ABC的AB边在平面内，C在平面外，AC和BC分别与面成30和45的角，且平 面ABC与平面成60的二面角
33、，那么ACB的大小为_ 48如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 6ABBC ， 1 3AA ，P是 11 AC与 11 B D的交点，M、 N分别为下底面ABCD、上底面 1111 DCBA上的点，且2MN .现给出下列结论： 直线MN与底面ABCD所成的角为60； 异面直线PA与MN所成角的最大值为90； 异面直线PA与MN所成角的最小值为15； 三棱锥PABC的外接球的体积为32 3. 其中正确结论的序号是_. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：6083969166083969
34、16 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 第 16 页 共 95 页 49如图，DE是边长为 6 的正三角形ABC的一条中位线，将ADE沿直线DE翻折至 1 ADE，当三 棱锥 1 ACED的体积最大时， 四棱锥 1 ABCDE外接球O的表面积为_； 过EC的中点M作球O的 截面，则所得截面圆面积的最小值是_. 50鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具 内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比
35、较多，形状和内部的构造各不相同，一般 都是易拆难装.如图所示，图是一种常见的鲁班锁类玩具，图是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁 玩具有_条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为_. 关注公众号“数研帮” ，加 QQ 群：1129889937，获取更多干货 第 1 页 共 95 页 【挑战满分】压轴小题【挑战满分】压轴小题 5：立体几何：立体几何 答案解析答案解析 1B 【分析】 由题意可知，点P在ABC所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A、B，长轴长 为 4 3 3 ，然后以线段AB的中点O为坐标原点，直线AB所在直线为x轴，以CO所在直 线为y轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二
36、次函数的基本性质可求得PD的最 大值. 【详解】 如图所示，在平面ABC内， 4 3 2 3 PAPB ， 所以点P在平面ABC内的轨迹为椭圆， 取AB的中点为点O， 连接CO， 以直线AB为x轴， 直线OC为y建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则椭圆的半焦距1c ，长半轴 2 3 3 a ，该椭圆的短半轴为 22 3 3 bac ， 所以，椭圆方程为 22 3 310 4 xyz. 点D在底面的投影设为点E，则点E为ABC的中心， 113 3 333 OEOC ， 故点E正好为椭圆短轴的一个端点， 22 3 33 CEOC ，则 22 2 6 3 DECDCE ， 关注品数学 第 2
37、 页 共 95 页 因为 222 PDDEEP ，故只需计算EP的最大值. 设, ,0P x y，则 3 0,0 3 E ， 则 2 22222 342 312 35 43 333333 EPxyyyyyy ， 当 333 , 933 y 时， 2 EP取最大值， 即 2 2 max 32 33516 3 93939 EP ， 因此可得 2 241640 999 PD ，故PD的最大值为 2 10 3 . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P的轨迹是椭圆，并结 合二次函数的基本性质求解EP的最大值是解题的关键， 在求解时也要注意椭圆有界性的应 用
38、. 2A 【分析】 点H为 1 A在平面AEF上的射影， 得 1 AHAH， 首先得H在以 1 AA为直径的球面上 1 AA 与平面AEF所成的角为 30，所以 1 30HAA，过H作 11 HOAA于点 1 O，计算得 111 ,HA HA HO AO， 知H在圆锥 1 AO的底面圆周上， 再由H在 AEF内 （含边界） ， 得H 在三棱柱 111 ABCABC及其内部， 其轨迹是以 1 O为圆心， 1 O H为半径的圆中圆心角为 60 的圆弧，且H在底面ABC上的射影 H 的轨迹（以A为圆心， 3 2 为半径的一段圆弧） ， HBH，求出tan HH BH 得 BH 最小时，tan最大，由
39、点与圆的位置关系可得结 论 【详解】 因为点H为 1 A在平面AEF上的射影， 所以 1 AH 平面AEF， 连接AH， 则 1 AHAH， 关注公众号“数研帮” ，加 QQ 群：1129889937，获取更多干货 第 3 页 共 95 页 故H在以 1 AA为直径的球面上又 1 AA与平面AEF所成的角为 30，所以 1 30HAA， 过H作 11 HOAA于点 1 O， 如图 1 所示， 则易得 1 1HA ， 3HA ， 1 3 2 HO ， 1 3 2 AO ， 所以H在如图 2 所示的圆锥 1 AO的底面圆周上，又H在 AEF内（含边界） ，故H在三棱 柱 111 ABCABC及其内
40、部， 其轨迹是以 1 O为圆心， 1 O H为半径的圆中圆心角为 60的圆弧， 且H在底面ABC上的射影 H 的轨迹（以A为圆心， 3 2 为半径的一段圆弧）如图 3 所示， 连接 BH ，易知直线BH与平面ABC所成的角HBH，且 1 3 tan 2 O AHH BHBHBH ，故当 BH 最小时，tan最大，A是圆弧圆心，则当 H 在 AB上时， BH 最小，最小值为 323 1 22 ，所以 max 32 tan3 23 223 故选：A 【点睛】 关键点点睛： 本题考查直线与平面所成的角， 解题关键是确定动点的轨迹， 利用球面的性质， 圆锥的性质，可得轨迹是圆弧，并得出其在底面上的射影
41、，由射影的定义得出线面角，并求 出其正切值，分析后可得最值 3C 【分析】 确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长. 【详解】 关注品数学 第 4 页 共 95 页 如下图所示，取AC的中点J，连接BJ，取AJ的D，连接DE，取 11 AC的中点K，连 接KJ、 1 B K， ABBC，J为AC的中点，则BJAC， 1 AA 平面ABC，BJ 平面ABC， 1 BJAA， 1 ACAAA，BJ平面 11 AAC C， DQ、E分别为AJ、AB的中点，则/DE BJ且 1 2 DEBJ，DE平面 11 AAC C， DE 平面DEF，所以，平面DEF 平面 11 A
42、AC C， 所以，平面即为平面DEF，设平面交 11 BC于点I， 在直棱柱 111 ABCABC中， 11 /AA CC且 11 AACC， 所以，四边形 11 AAC C为平行四边形， 11 /AC AC且 11 ACAC， J、K分别为AC、 11 AC的中点， 1 /AJ AK且 1 AJAK， 所以，四边形 1 AAKJ为平行四边形， 1 /KJ AA且 1 KJAA， 11 /BBAA且 11 BBAA， 1 /KJ BB且 1 KJBB，所以，四边形 1 BB KJ为平行四边形， /DE BJ，DE 平面 1 BB KJ，BJ 平面 1 BB KJ，/DE平面 1 BB KJ，
43、设平面平面 1 BB KJFG， DE 平面，所以，/DE FG，/FG BJ， /BF GJ，所以，四边形BFGJ为平行四边形，可得 1 11 22 GJBFBBKJ， 关注公众号“数研帮” ，加 QQ 群：1129889937，获取更多干货 第 5 页 共 95 页 所以，G为KJ的中点， 延长DG交 11 AC于点H，/DJ KH，所以，DJGHKG ，JDGKHG ， 又JGKG，所以，DJGHKG， 1 11 22 HKDJAJKC，H为 1 KC的 中点， 因为平面/ABC平面 111 ABC，平面平面ABCDE，平面平面 111 ABCIH， /DE IH， /DE BJ， 1
44、/BJ B K，/DE IH， 1 /IH B K， I为 11 BC的中点， ABBC，2ABBC，则 22 2 2ACABBC ， J为AC的中点， 1 2 2 BJAC，则 12 22 DEBJ ，同理 2 2 IH ， 因为直棱柱 111 ABCABC的棱长为2，F为 1 BB的中点， 1 1 1 2 BFBB， 由勾股定理可得 22 2EFBFBE ，同理可得 2IF ， 1 /KJ BB且 1 2KJBB， 1 BB 平面ABC，KJ平面ABC， AC 平面ABC，KJAC， G、D分别为KJ、AJ的中点，则 1 1 2 GJKJ， 12 22 DJAJ ， 由勾股定理可得 22
45、6 2 DGDJGJ ，同理 6 2 GH . 因此，截面的周长为 2 22263 26 2 DEIHEFIFDH . 故选：C. 【点睛】 思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几 何体各面的交线， 此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面 平行等条件，可以更快地确定交线的位置 4B 【分析】 关注品数学 第 6 页 共 95 页 设A点关于BC的对称点为E，M关于 BB 的对称点为 M ，则最小值为直线 EB 与AC 之间的距离，利用等积法可求此最小距离. 【详解】 解：A点关于BC的对称点为E，M关于 BB 的对称点为 M
46、， 记d为直线 EB 与AC之间的距离，则MT NTMTNTMNd， 由/B E D C，d为E到平面ACD的距离， 因为 111 11 1 333 DACEACE VS ， 而 2 133 2 346 DACEE ACD VVdd ，故 2 3 3 d ， 故选：B. 【点睛】 方法点睛： 空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对 称性来处理于转化，另外异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理. 5A 【分析】 把平面PAB展开到与平面ABCD共面的P AB的位置，根据图象可得当 P ，E，F，D 四点共线时，空间四边形PEFD的周长最小，进而可求得
47、各个边长，过点A作AGFD， 垂足为G，连接PG，可证FD 平面PAG，所以平面PAG 平面PFD，所以APG 即为直线PA与平面PFD所成的角，再求得各个边长，代入公式，即可求得答案. 【详解】 把平面PAB展开到与平面ABCD共面的P AB的位置(如下图)， 关注公众号“数研帮” ，加 QQ 群：1129889937，获取更多干货 第 7 页 共 95 页 延长DC到D，使得1CD，则DFD F， 因为PD的长度为定值， 故只需PEEFFDPEEFFD最小， 只需 P ，E，F， D四点共线， 因为4P D，2DD ， CFCD P DDD ，所以2CF . 过点A作AGFD，垂足为G，连
48、接PG， 因为PA 平面ABCD，FD 平面ABCD， 所以PAFD， 则FD 平面PAG， 所以平面PAG 平面PFD，过A作AHPG，垂足为H，则AH 平面PFD， 所以APG即为直线PA与平面PFD所成的角. 因为AFDV的面积为 3 2 ， 5FD ，所以 13 5 22 AG，所以 33 5 55 AG ，所 以 3 5 tan 5 AG APG AP . 故选：A 关注品数学 第 8 页 共 95 页 【点睛】 难点在于，需将平面PAB展开到与平面ABCD共面的位置，当 P ，E，F，D四点共 线时，空间四边形PEFD的周长最小，求得各个边长，再根据面面垂直的判定定理及线面 角的定
49、义求解即可，考查数形结合，推理证明的能力，属中档题. 6C 【分析】 过 B 作B EBC 交 BC 于 E，连接 EH，结合已知条件有二面角B DCA 的平面角为 BEH， 而tan B H B EHm EH ， 设AHx且01x， 则 3HCx ， 即可求B H， 2 HC EH ，应用函数与方程思想，构造( )g x且在01x上有解求参数 m 的范围，即可 得二面角B DCA 正切的最大值. 【详解】 过 B 作B EBC 交 BC 于 E，连接 EH， B 在平面ADC内的射影H恰好落在线段AC上，即B H面ABC， B HBC且B EBC ，B EB HB,即BC面B HE， EH
50、面B HE，则BCEH, 二面角B DCA 的平面角为BEH， 在Rt B HE中，tan B H B EH EH ，若令AHx，则 3HCx ，又1ABAB ， 2 1B Hx ， 3 22 HCx EH 且01x， 故 2 2 1 tan 3 x B EHm x ，则 2222 ( )(4)2 3340g xmxm xm，即方程在 01x上有解时，m 的最大值即为所求， 关注公众号“数研帮” ，加 QQ 群：1129889937，获取更多干货 第 9 页 共 95 页 而( )g x开口向上且 2 1680m ，即 2 02m ，对称轴 2 33 (0, 4 3 1 x m . 当 2 2
