1、4.3.2对数的运算对数的运算 第第 1 课时课时对数的运算对数的运算 学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用 对数的运算性质进行化简求值 导语 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐 积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、 数字及计数用具，如算盘、计算器等从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大 了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星 轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发
2、展起了重要作用 一、对数的运算性质 问题 1将指数式 Map，Naq化为对数式，结合指数运算性质 MNapaqap q能否将其 化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示由 Map，Naq得 plogaM，qlogaN. 由 MNap q得 pqloga(MN) 从而得出 loga(MN)logaMlogaN(a0，且 a1，M0，N0) 问题 2结合问题 1，若M N ap aqa pq，又能得到什么结论？ 提示将指数式M Na pq化为对数式，得 logaM Npqlog aMlogaN(a0，且 a1，M0，N0) 问题 3结合问题 1，若 Mn(ap)nanp(nR)，又能
3、有何结果？ 提示由 Mnanp，得 logaMnnpnlogaM(nR) 知识梳理 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么 (1)loga(MN)logaMlogaN. (2)logaM Nlog aMlogaN. (3)logaMnnlogaM(nR) 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是 M0， N0， 而不是 MN0， 比如式子 log2(2)(3)有意义， 而 log2( 2)与 log2(3)都没有意义； (3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk，其中 Nk0，kN*. 例 1求下列各式的值 (1)ln e2；
4、(2)log3elog33 e；(3)lg 50lg 5. 解(1)ln e22ln e2. (2)log3elog33 elog 3 e3 e log331. (3)lg 50lg 5lg 50 5 lg 101. 反思感悟对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取 决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行 跟踪训练 1求下列各式的值： (1)log3(2792)；(2)lg 5lg 2；(3)ln 3ln 1 3； (4)log35log315. 解(1)方法一log3(2792)log327log392log333log3343log334log33
5、347. 方法二log3(2792)log3(3334)log3377log337. (2)lg 5lg 2lg(52)lg 101. (3)ln 3ln 1 3ln 31 3 ln 10. (4)log35log315log3 5 15log 31 3log 33 11. 二、对数运算性质的运用 例 2已知 lg 2a，lg 3b，则 lg 12 5 _. 答案b3a1 解析lg 12 5 lg 12lg 5lg(322)(1lg 2) lg 3lg 221lg 2 lg 33lg 21b3a1. 跟踪训练 2用 lg x，lg y，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg
6、xy 2 z ；(3)lgxy 3 z；(4)lg x y2z. 解(1)lg(xyz)lg xlg ylg z. (2)lgxy 2 z lg(xy2)lg zlg xlg y2lg zlg x2lg ylg z. (3)lg xy3 zlg(xy 3)lg zlg xlg y3 1 2 lg z lg x3lg y1 2lg z. (4)lg x y2zlg xlg(y2z) 1 2 lg x(lg y2lg z) 1 2lg x2lg ylg z. 三、利用对数的运算性质化简、求值 例 3计算下列各式的值： (1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2； (2) lg 32 5lg 9
7、3 5lg 27lg 3 lg 81lg 27 ； (3)log5352log57 3log 57log51.8. 解(1)原式(lg 5)2(2lg 2)lg 2 (lg 5)2(1lg 5)lg 2 (lg 5)2lg 2lg 5lg 2 (lg 5lg 2)lg 5lg 2 lg 5lg 21. (2)原式 lg 34 5lg 3 9 10lg 3 1 2lg 3 4lg 33lg 3 14 5 9 10 1 2 lg 3 43lg 3 11 5 . (3)原式log5(57)2(log57log53)log57log59 5 log55log572log572log53log572lo
8、g53log55 2log552. 反思感悟利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用 lg 2lg 51，进行计算或化简 跟踪训练 3计算下列各式的值： (1)1 2lg 32 49 4 3lg 8lg 245； (2)lg 252 3lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2. 解(1)方法一原式1 2(5lg 22lg 7) 4 3 3 2lg 2 1 2(2lg 7lg 5) 5 2lg 2lg 72lg
9、2lg 7 1 2lg 5 1 2lg 2 1 2lg 5 1 2(lg 2lg 5) 1 2lg 10 1 2. 方法二原式lg4 2 7 lg 4lg 7 5 lg4 27 5 74 lg( 2 5)lg101 2. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213. 1知识清单： (1)对数的运算性质 (2)对数运算性质的运用 (3)利用对数的运算性质化简、求值 2方法归纳：转化法 3常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则 1若 a0，且 a1，x0，nN*，则下列各式：
10、(logax)nnlogax； (logax)nlogaxn； logaxloga1 x； n logax1 nlog ax； logax n loga n x. 其中正确的有() A2 个B3 个 C4 个D5 个 答案A 解析根据对数的运算性质 logaMnnlogaM(M0，a0，且 a1)知与正确 22log510log50.25 等于() A0B1C2D4 答案C 解析原式log5100log50.25log5252. 3已知 lg 3a，lg 7b，则 lg 3 49的值为( ) Aab2Ba2b C.b 2 a D. a b2 答案B 解析lg 3a，lg 7b， lg 3 49
11、lg 3lg 49lg 32lg 7a2b. 4. 2lg 4lg 9 11 2lg 0.36 1 3lg 8 _. 答案2 解析原式 2lg 12 1lg 0.6lg 2 2lg 12 lg 12 2. 课时对点练课时对点练 1log242log243log244 等于() A1B2C24D.1 2 答案A 解析原式log24(234)log24241. 2已知 3a2，那么 log382log36 用 a 表示是() Aa2B5a2 C3a(1a)2D3aa2 答案A 解析因为 3a2，所以 alog32， 所以 log382log36log3232(log321)log322a2. 3计
12、算 lg 2lg1 5e ln 2等于( ) A1B.1 2 C3D5 答案A 解析原式lg 21 5 21. 4下列计算正确的是() A(a3)2a9Blog26log231 C 11 22 aa 0Dlog3(4)22log3(4) 答案B 解析由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2a6， 11 22 aa a01，所以 A，C 不正确； 由对数的运算性质，可得 log26log23log26 3log 221，所以 B 正确； 根据对数的化简，可得 log3(4)22log3(4)，而 log3(4)无意义，所以 D 不正确 5若 lg a，lg b 是方程 2x24x10 的两个
13、实根，则 ab 的值等于() A2B.1 2 C100D. 10 答案C 解析lg a，lg b 是方程 2x24x10 的两个实根， 由根与系数的关系得 lg alg b2， lg(ab)2， ab100. 6(多选)已知 f(x)log5x，则对任意的 a，b(0，)，下列关系成立的是() Af(ab)f(a)f(b) Bf(ab)f(a)f(b) Cf a b f(a)f(b) Df a b f(a)f(b) 答案AD 解析f(x)log5x，a，b(0，)， f(ab)log5(ab)log5alog5bf(a)f(b)， f a b log5a blog 5alog5bf(a)f(b
14、) 7lg5lg20的值是_ 答案1 解析原式lg 100lg 101. 8若 lg xlg y2lg(x2y)，则x y_. 答案4 解析因为 lg xlg y2lg(x2y)， 所以 x0，y0， x2y0， xyx2y2. 由 xy(x2y)2，知 x25xy4y20， 所以 xy 或 x4y. 又 x0，y0 且 x2y0， 所以舍去 xy，故 x4y，则x y4. 9已知 lg 2m，lg 3n，试用 m，n 表示lg 12 lg 15. 解lg 2m，lg 3n，lg 12 lg 15 2lg 2lg 3 lg 3lg 5 2mn n1lg 2 2mn n1m. 10计算下列各式的
15、值： (1)log3 4 27 3 lg 25lg 4 7 log 2 7； (2)2log32log332 9 log38 5 2log 3 5. 解(1)原式 3 4 3 3 log 3 lg(254)2 1 4 3 log 3 lg 10221 422 15 4 . (2)原式2log32(log325log39)3log32 2 5 log 3 5 2log325log322log333log329297. 11已知 logax2，logbx1，logcx4(a，b，c，x0 且 a，b，c，x1)，则 logx(abc)等于 () A.4 7 B.2 7 C.7 2 D.7 4 答案
16、D 解析xa2bc4，所以(abc)4x7， 所以 abc 7 4 x，即 logx(abc)7 4. 12已知 xlog321，则 2x2 x的值是( ) A1B3C.8 3 D.10 3 答案D 解析由 xlog321，可知 log32x1，即 2x3，故 2x2 x31 3 10 3 . 13已知函数 f(x)的定义域为 R 且满足 f(x)f(x)，f(x)f(4x)，若 f(1)6，则 f(log2128) f(log216)等于() A6B0C6D12 答案C 解析因为函数 f(x)的定义域为 R 且满足 f(x)f(x)，所以 f(0)0，f(1)f(1)6， 故 f(7)f(4
17、3)f(3)f(14)f(1)f(1)6，f(4)f(0)0， 所以 f(log2128)f(log216)f(log227)f(log224)f(7)f(4)606. 14已知函数 f(x)alog2xblog3x2，且 f 1 2 022 4，则 f(2 022)_. 答案0 解析由 f 1 2 022 alog2 1 2 022blog 3 1 2 02224，得alog 22 022blog32 0222. alog22 022blog32 0222， f(2 022)alog22 022blog32 0222220. 15设 a，b，c 为ABC 的三边的长，且关于 x 的方程 x2
18、2xlog2(c2b2)2log2a10 有两个相等的实根，那么这个三角形的形状是_ 答案直角三角形 解析由题意得44log2(c2b2)8log2a40， 2log2alog2(c2b2) a2c2b2，故有 a2b2c2. ABC 为直角三角形 16已知 lg 2a，lg 3b. (1)求 lg 72，lg 4.5； (2)若 lg xab2，求 x 的值 解(1)lg 72lg(2332)3lg 22lg 33a2b； lg 4.5lg 9 22lg 3lg 22ba. (2)lg xab2lg 2lg 32 lg 2lg 3lg 1 100lg 6 100， 所以 x 6 1000.06.
