1、第第 2 课时课时单调性与最值单调性与最值 学习目标1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的 单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及 求函数的最值、值域等问题 导语 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函 数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲 线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究 的问题 一、正弦函数、余弦函数的单调性 问题你能作出正弦函数 ysin x，x 2， 3 2 的函数图象吗？
2、提示 由上图我们发现，区间 2， 3 2 正好是函数的一个周期，其中在区间 2， 2 上单调递增， 在区间 2， 3 2 上单调递减类似地，我们通过观察余弦函数在一个周期，上的函数值 的变化规律，可知 ycos x 在区间，0上单调递增，在区间0，上单调递减 知识梳理 1正弦函数的单调性 在每一个闭区间 2k 2，2k 2 (kZ)上都单调递增，其值从1 增大到 1；在每一个闭区 间 2k 2，2k 3 2 (kZ)上都单调递减，其值从 1 减小到1. 2余弦函数的单调性 在每一个闭区间2k， 2k(kZ)上都单调递增， 其值从1增大到1； 在每一个闭区间2k， 2k (kZ)上都单调递减，其
3、值从 1 减小到1. 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函 数，但它们都有无数个单调区间；(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函 数值的大小 二、利用单调性比较大小 例 1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)cos 15 8 ，cos 14 9 ； (2)cos 1，sin 1； (3)sin 164与 cos 110. 解(1)cos 15 8 cos 8，cos 14 9 cos 4 9 ， 因为 0 8 4 9 cos 4 9 ，即 cos 15 8 cos 14 9 . (2)因为 cos 1s
4、in 21，又 0 211 2，且 ysin x 在 0， 2 上单调递增， 所以 sin 21sin 1，即 cos 1sin 1. (3)sin 164sin(18016)sin 16， cos 110cos(9020)sin 20. 因为 ysin x 在 2， 2 上单调递增， 所以sin 20sin 16， 即 cos 110sin 164. 反思感悟比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数 (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上 (3)利用函数的单调性比较大小 跟踪训练 1(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是() Asin sin Bcos s
5、in Ccos cos 答案B 解析因为，是锐角三角形的两个内角，故有 2，所以 0 2 2，所以 cos cos 2sin . (2)下列关系式中正确的是() Asin 11sin 168cos 10 Bsin 168sin 11cos 10 Csin 11cos 10sin 168 Dsin 168cos 10sin 11 答案A 解析因为 sin 168sin 12，cos 10sin 80，所以只需比较 sin 11，sin 12，sin 80的大 小因为 ysin x 在 0， 2 上单调递增，所以 sin 11sin 12sin 80， 即 sin 11sin 1680)的函数的单
6、调区间时，应 采用“换元法”整体代换， 将“x”看作一个整体“z”， 即通过求 yAsin z 的单调区间 而求出原函数的单调区间求形如 yAcos(x)(其中 A，为常数，且 A0，0)的 函数的单调区间同上 跟踪训练 2(1)函数 ysin 6x，x0,2的单调递减区间为_ 答案 0，2 3 ， 5 3 ，2 解析ysin 6xsin x 6 ， 令 22kx 6 22k，kZ， 解得 32kx 2 3 2k，kZ， 又 x0,2，0 x2 3 或5 3 x2， 原函数的单调递减区间为 0，2 3 ， 5 3 ，2 . (2)求函数 y2cos 2x 6 的单调区间 解令 2k2x 62k
7、(kZ)， 即 2k5 6 2x2k 6(kZ)， k5 12xk 12(kZ) 单调递增区间为 k5 12，k 12 (kZ) 令 2k2x 62k(kZ)， 即 2k 62x2k 7 6 (kZ)， k 12xk 7 12(kZ)， 单调递减区间为 k 12，k 7 12 (kZ) 函数 y2cos 2x 6 的单调递增区间为 k5 12，k 12 (kZ)， 单调递减区间为 k 12，k 7 12 (kZ) 四、正弦函数、余弦函数的最值(值域) 我们在研究函数的单调性时，发现不管是正弦函数，还是余弦函数，它们的函数值的变化要 么是从1 变化到 1，要么是从 1 变化到1，于是我们得到了正
8、弦函数和余弦函数的最大值 和最小值 知识梳理 1正弦函数：当且仅当 x 22k(kZ)时取得最大值 1；当且仅当 x 22k(kZ)时取 得最小值1. 2余弦函数：当且仅当 x2k(kZ)时取得最大值 1；当且仅当 x2k(kZ)时取得最 小值1. 例 3已知函数 f(x)asin 2x 3 b(a0)当 x 0， 2 时，f(x)的最大值为 3，最小值是 2，求 a 和 b 的值 解因为 0 x 2，所以 32x 3 2 3 ， 所以 3 2 sin 2x 3 1， 因为 a0，所以 f(x)maxab 3， f(x)min 3 2 ab2. 由 ab 3， 3 2 ab2， 得 a2， b
9、2 3. 反思感悟三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如 yAsin x(或 yAcos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 A 正、负的 讨论 (2)形如 yAsin(x)b(或 yAcos(x)b)型，可先由定义域求得x的范围，然后 求得 sin(x)(或 cos(x)的范围，最后求得值域(最值) (3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设 tx，转换成 yAsin x(或 y Acos x)型的函数求值 跟踪训练 3求函数 ycos x 6 ，x 0， 2 的值域 解由 ycos x 6 ，x 0， 2 ， 可得 x 6 6， 2 3 ， 因为函数
10、ycos x 在区间 6， 2 3 上单调递减， 所以函数的值域为 1 2， 3 2 . 1知识清单： (1)正弦、余弦函数的单调区间 (2)比较三角函数值的大小 (3)正弦、余弦函数的最值(值域) 2方法归纳：整体代换、换元法 3常见误区：单调区间漏写 kZ；求值域时忽视 sin x，cos x 本身具有的范围 1函数 ycos x 在区间 2， 2 上() A单调递增B单调递减 C先减后增D先增后减 答案C 解析因为 ycos x 在区间 2， 2 上先增后减， 所以 ycos x 在区间 2， 2 上先减后增 2函数 y2sin x 的最大值及取最大值时 x 的值为() Aymax3，x
11、 2 Bymax1，x 22k(kZ) Cymax3，x 22k(kZ) Dymax3，x 22k(kZ) 答案C 解析y2sin x，当 sin x1 时，ymax3，此时 x 22k(kZ) 3函数 f(x)2sin x 6 在区间 3， 2 上的最大值为() A2B1C. 3D2 答案C 解析当 x 3， 2 时，x 6 6， 3 ， 1 2sin x 6 3 2 ，所以 12sin x 6 3， 所以函数 f(x)2sin x 6 在区间 3， 2 上的最大值为 3. 4函数 f(x) 2cos 2x 4 的单调递减区间是_ 答案 8k， 5 8 k (kZ) 解析令 2k2x 42k
12、(kZ)， 得 8kx 5 8 k(kZ)， 即 f(x) 2cos 2x 4 的单调递减区间是 8k， 5 8 k (kZ) 课时对点练课时对点练 1下列命题中正确的是() Aycos x 在第一象限和第四象限内单调递减 Bysin x 在第一象限和第三象限内单调递增 Cycos x 在 2， 2 上单调递减 Dysin x 在 2， 2 上单调递增 答案D 解析对于 ycos x，该函数的单调递减区间为2k，2k，kZ，故 A 错误，C 错误； 对于 ysin x，该函数的单调递增区间为 22k， 22k，kZ，故 B 错误，D 正确 2y2sin 3x 3 的值域是() A2,2B0,2
13、 C2,0D1,1 答案A 解析因为 sin 3x 3 1,1， 所以 y2,2 3若，都是第一象限内的角，且sin Bsin sin Csin sin Dsin 与 sin 的大小不确定 答案D 解析根据终边相同的角可以相差 2的整数倍，可得 sin ，sin 的大小不确定 4已知函数 ysin x 与 ycos x，在下列区间内同为单调递增的是() A. 0， 2B. 2， C. ，3 2D. 3 2，2 答案D 解析ysin x 的单调递增区间为 22k， 22k，kZ， ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ， 结合选项，可知当 k1 时， 3 2 ，2 为正弦函数与余弦函数的
14、单调递增区间的交集， 即能使函数 ysin x 与函数 ycos x 同时单调递增的是 3 2 ，2 (闭区间或开区间均可). 5已知函数 f(x)sin x 6 在 x0处取得最大值，则 x0可能是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案C 解析当 x 6 22k，kZ，即 x 32k，kZ 时，f(x)最大 6(多选)下列不等式中成立的是() Asin 8 sin 10Bcos 400cos(50) Csin 3sin 2Dsin 8 7 cos 7 8 答案BD 解析ysin x 在 2，0上单调递增，又 8 10， sin 8 cos 50cos(50)，故 B 成立； y
15、sin x 在 2，上单调递减， 又 223sin 3，故 C 不成立； sin 8 7 sin 7， cos 7 8 cos 8sin 2 8 sin 3 8 . 0 7 3 8 2，且 ysin x 在 0， 2 上单调递增 sin 7cos 7 8 ，故 D 成立 7函数 ycos x 在区间，a上单调递增，则 a 的取值范围是_ 答案(，0 解析因为 ycos x 在，0上单调递增，在0，上单调递减，所以只有a0 时满 足条件，故 a(，0 8sin 1，sin 2，sin 3 按从小到大排列的顺序为_ 答案sin 3sin 1sin 2 解析1 223， sin(2)sin 2，si
16、n(3)sin 3. ysin x 在区间 0， 2 上单调递增， 且 0312 2， sin(3)sin 1sin(2)， 即 sin 3sin 1sin 2. 9已知函数 f(x)2cos 3x 4 . (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 值 解(1)令 2k3x 42k(kZ)， 解得2k 3 5 12x 2k 3 12(kZ) f(x)的单调递增区间为 2k 3 5 12， 2k 3 12 (kZ) (2)当 3x 42k(kZ)， 即 x2k 3 5 12(kZ)时，f(x)取得最小值2. 10设函数 f(x) 2sin 2x 4
17、，xR. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间 8， 3 4 上的最小值和最大值，并求出取最值时 x 的值 解(1)最小正周期T2 2 ， 由2k 22x 42k 2(kZ)， 得k 8xk 3 8 (kZ)， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 k 8，k 3 8 (kZ) (2)令 t2x 4，则由 8x 3 4 可得 0t5 4 ， 所以当 t5 4 ，即 x3 4 时，ymin 2 2 2 1， 当 t 2，即 x 3 8 时，ymax 21 2. 11使 cos x1m 有意义的 m 的取值范围为() Am0 B0m2 C1m1 Dm1 答
18、案B 解析因为1cos x1，所以11m1， 所以 0m2. 12f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增，在 3， 2 上单调递减，则的值为() A2B.2 3 C.4 3 D.3 2 答案D 解析由 ysin x(0)的图象(图略)知T 4 3，即 T 4 3 ，2 | 4 3 ，且0，3 2. 13在ABC 中，角 A，B 均为锐角，且 cos Asin B，则() Acos C0Bcos C0 Ccos C0Dcos C0 答案B 解析因为角 A，B 均为锐角， 所以 0A 2，0 2Bsin Bcos Acos 2BA 2BAB 2C 2， 而 C 为三角形的内角，所以
19、2C，因此 cos C0)在区间 6， 3 上单调递增，则的取值范围是 _. 答案 0，1 2 解析函数 f(x)sin x 3 (0)在区间 6， 3 上单调递增， 当 6x 3时， 6 3x 30)在区间 6， 3 上单调递增， 6 3 2， 3 3 2， 解得1 2， 0，01 2， 因此，的取值范围是 0，1 2 . 15对于函数 f(x) sin x，sin xcos x， cos x，sin xcos x， 下列说法中正确的是() A该函数的值域是1,1 B当且仅当 x2k 2(kZ)时，函数取得最大值 1 C当且仅当 x2k 2(kZ)时，函数取得最小值1 D当且仅当 2kx2k
20、3 2 (kZ)时，f(x)0 答案D 解析画出函数 f(x)的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是 2 2 ，1 ；当且仅当 x2k 2，kZ 或 x2k，kZ 时，函数取得最大值 1；当且仅当 x 2k5 4 ，kZ 时，函数取得最小值 2 2 ；当且仅当 2kx2k3 2 ，kZ 时，f(x)f(cos ) 证明由 f(x1)f(x)， 得 f(x2)f(x1)f(x)， 所以函数 f(x)是周期函数，且 2 是它的一个周期 因为函数 f(x)是偶函数且在4，3上单调递增，所以函数 f(x)在0,1上单调递增 又，是锐角三角形的两个内角， 则有 2， 即 2 20， 因为 ysin x 在 0， 2 上单调递增， 所以 sin sin 2cos ， 且 sin (0,1)，cos (0,1)， 所以 f(sin )f(cos )
