1、第第 2 课时课时两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式 学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公 式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差 的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法 导语 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为 了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的 艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习 的两角差的余弦公式就是这样的“表演
2、者”之一， 利用它的变换可以解决许多三角变换问题， 但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、 余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”， 对公式进一步拓展 一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 问题 1请同学们写出两角差的余弦公式 提示cos()cos cos sin sin . 问题 2试比较 cos()和 cos()，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示我们注意到与有联系，()，于是我们可以根据已知的两角差的 余弦公式进行展开即 cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos s
3、in sin ，于是我们得到了两角和的余弦公式 同学们还记得诱导公式五和六吗？公式五：sin 2cos ，cos 2sin ；公式六： sin 2cos ，cos 2sin . 公式五或六实现了正弦、余弦的相互转化，你能想到如何表示两角和与差的正弦吗？sin( )cos 2cos 2 利用两角差的余弦公式展开即可，或者 sin() cos 2 利用两角和的余弦展开即可对于 sin()我们可利用已知的三种表示方 法得到 sin()sin()或 sin()cos 2cos 2 或 sin() cos 2cos 2 . 知识梳理 1两角和的余弦公式 cos()cos cos sin sin ，其中，
4、R，简记作 C() 2两角和与差的正弦公式 sin()sin cos cos sin ，其中，R，简记作 S()； sin()sin cos cos sin ，其中，R，简记作 S() 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和 与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”；(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序 和角的顺序 例 1(1)2sin 40sin 20 cos 20 的值是() A. 3B. 6 2 C1D.1 2 答案A 解析原式2sin6020sin 20 cos 20 2sin 60cos 202cos 60sin 20si
5、n 20 cos 20 2 3 2 cos 2021 2sin 20sin 20 cos 20 3cos 20sin 20sin 20 cos 20 3. (2)cos 70cos 50cos 200cos 40的值为() A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案B 解析方法一原式sin 20sin 40cos 20cos 40(cos 20cos 40sin 20sin 40) cos 601 2. 方法二原式cos 70sin 40cos 20cos 40 sin 40cos 70sin 70cos 40 sin(4070)sin(30)sin 301 2. 反思感悟探究解决给
6、角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符 合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形 (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分 子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式 跟踪训练 1 sin 47sin 17cos 30 cos 17 . 答案 1 2 解析 sin 47sin 17cos 30 cos 17 sin1730sin 17cos 30 cos 17 sin 17cos 30cos 17sin 30sin 17cos 30 cos 17 cos 17sin 30
7、 cos 17 sin 301 2. 二、给值求值 例 2(教材 218 页例 3 改编)已知 sin 3 5， cos 5 13， 且为第一象限角， 为第二象限角， 求 sin()的值 解因为为第一象限角，为第二象限角，sin 3 5，cos 5 13， 所以 cos 4 5，sin 12 13， 所以 sin()sin cos cos sin 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65. 延伸探究 1若本例条件不变，求 sin()的值 解因为为第一象限角，为第二象限角，sin 3 5，cos 5 13， 所以 cos 4 5，sin 12 13， 所以 sin()sin cos co
8、s sin 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65. 2若本例条件不变，求 cos()的值 解由以上可知 cos()cos cos sin sin 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 反思感悟给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时， 一定要注意已知角与所求角之间的关系， 恰当地运用拆角、 拼角技巧， 同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： 当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； 当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角 (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围 跟踪训
9、练 2已知 2 3 4 ，cos()12 13，sin() 3 5，求 cos 2与 cos 2的值 解因为 2 3 4 ， 所以 0 4， 3 2 . 又因为 cos()12 13，sin() 3 5， 所以 sin() 1cos2 1 12 13 25 13， cos() 1sin2 1 3 5 24 5. 所以 cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65， cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 4 5 12 13 3 5 5 13 63 65. 三、给值求角 例 3已知锐角，满足 si
10、n 2 5 5 ，cos 10 10 ，则. 答案 3 4 解析，为锐角，sin 2 5 5 ，cos 10 10 ， cos 5 5 ，sin 3 10 10 ， cos()cos cos sin sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 . 又0， 3 4 . 延伸探究若本例中 sin 5 5 ，其余条件不变，求的值 解因为，均为锐角，且 sin 5 5 ，cos 10 10 ， 所以 cos 2 5 5 ，sin 3 10 10 ， 所以 sin()sin cos cos sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 . 又因为，均为锐角， 所以
11、2 2，故 4. 反思感悟解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角 的范围来确定，当所求角范围是(0，)或(，2)时，选取求余弦值，当所求角范围是 2， 3 2 或 2， 2 时，选取求正弦值 跟踪训练 3已知 sin 5 5 ，sin 10 10 ，且和均为钝角，求的值 解因为和均为钝角， 所以 cos 1sin22 5 5 ， cos 1sin23 10 10 . 由和均为钝角，得0，所以 0 2. 所以 cos() 1sin23 10 10 . sin 1cos22 5 5 ， 所以 cos(2)cos()cos co
12、s()sin sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 10. (2)cos cos()cos cos()sin sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 ， 因为 0， 2 ，所以 4. 11在ABC 中，A 4，cos B 10 10 ，则 sin C 等于() A.2 5 5 B2 5 5 C. 5 5 D 5 5 答案A 解析因为 cos B 10 10 ，且 0B， 所以 sin B3 10 10 ，又 A 4，C(AB)， 所以 sin Csin(AB)sin 4cos Bcos 4sin B 2 2 10 10 2 2 3 10 1
13、0 2 5 5 . 12已知为钝角，且 sin 12 1 3，则 cos 5 12 等于() A.2 2 3 6 B.2 2 3 6 C2 2 3 6 D.2 2 3 6 答案C 解析为钝角，且 sin 12 1 3， cos 12 2 2 3 ， cos 5 12 cos 12 3 cos 12 cos 3sin 12 sin 3 2 2 3 1 2 1 3 3 2 2 2 3 6 . 13在ABC 中，sin Asin Bcos Acos B，则这个三角形的形状为() A锐角三角形B钝角三角形 C直角三角形D等腰三角形 答案B 解析在ABC 中，sin Asin B0，cos C0， 则
14、C 为钝角，故ABC 是钝角三角形 14若方程 sin x 3cos xm1 有解，则 m 的取值范围是 答案1,3 解析sin x 3cos xm1， 即 2 1 2sin x 3 2 cos x m1， 即 2sin x 3 m1， sin x 3 1,1 2m12，即1m3. 15“在ABC 中，cos Acos Bsin Asin B”，已知横线处是一个实数甲同学在横 线处填上一个实数 a，这时 C 是直角；乙同学在横线处填上一个实数 b，这时 C 是锐角；丙 同学在横线处填上一个实数 c，这时 C 是钝角，则实数 a，b，c 的大小关系是 答案bac 解析由题意，得横线处的实数等于
15、cos(AB)，即 cos(C)，故当 C 是直角时，acos(A B)cos 20；当 C 是锐角时，1bcos(AB)0；当 C 是钝角时，0ccos(AB)1， 故 bac. 16已知， 0， 2 ，cos 4 5，cos() 3 5. (1)求 sin 的值； (2)求 2的值 解(1)， 0， 2 ，(0，)， 又 cos 4 5，cos() 3 5， 则 sin 1cos23 5， sin() 1cos24 5， sin sin()sin()cos cos()sin 4 5 4 5 3 5 3 5 7 25. (2)cos(2)cos() cos()cos sin sin() 3 5 4 5 3 5 4 50. 由， 0， 2 ，得 2 0，3 2 ， 2的值为 2.
