1、习题课抛物线焦点弦的应用 第三章 圆锥曲线的方程 1.抛物线焦点弦的推导. 2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题. 学 习 目 标 在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质： 设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 导 语 (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； 随堂演练课时对点练 内容索引 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x. 反思感悟通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解， 较为迅速的得到结
2、果. 跟踪训练1过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 _.4 将直线AB的方程与抛物线的方程联立， 消去x得y22mpyp20， 由根与系数的关系得y1y2p2. 由于点A，B均在抛物线上， 例2抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135 的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 解依题意可设抛物线的方程为y22px(p0)， 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 故所求的抛物线方程为y24x. 当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x. 综上，抛物线方程为y2
3、4x. 跟踪训练2经过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，倾斜角为30的直 线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p_. 2 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB的中点M的横坐标为7，x1x214， 例3过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF| 2|BF|，则|AB|等于 反思感悟将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径 问题. 跟踪训练3如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A， B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4， 则线段AB的长为 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 例4抛
4、物线y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线上一点.若OFM的外 接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p等于 A.2 B.4 C.6 D.8 解析OFM的外接圆与抛物线的准线相切， OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 外接圆的面积为9， 外接圆的半径为3. 反思感悟把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相 切，进行问题的求解. 跟踪训练4已知抛物线x22py(p0)，直线l过它的焦点F，且与抛物线 交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.与p的取值有关 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用
5、. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 课堂小结 随堂演练 解析由题意可得抛物线的标准形式为x28y， 所以准线方程为y2， 1234 所以弦长|AB|549. 2.过抛物线C：y28x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|6， 则|BF|等于 A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 1234 解析方法一设点A为第一象限内的点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x10，y10， 则由题意可得F(2,0)，|AF|x126， 1234 将直线AB的方程代入y28x化简得x25x40， 所以x21，所以|BF|x223. 1234 3.过抛
6、物线y28x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点 的横坐标为3，则|AB|_. 1234 10 解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，p4， 设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x26，抛物线的焦点弦|AB|x1x2p10. 4.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若 x1x26，则PQ中点M到抛物线准线的距离为_. 4 1234 解析由抛物线的方程y24x，可得p2， 故它的焦点F(1,0)，准线方程为x1. 课时对点练 1.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(
7、x2，y2)， 则 的值一定等于 A.4 B.4 C.p2 D.p2 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦.若|AB|4，则AB中点的纵坐标是 解析如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作 准线l的垂线，垂足分别为A，Q，B， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知F为抛物线C：y26x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点， 且|AF|3|BF|，则|AB|等于 A.6 B.8 C.10 D.12
8、解析|AF|3|BF|，且p3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 |BF|2，|AF|6， |AB|AF|BF|8. 5.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两 点，若|AF|4，|BF|1，则p等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 由|AF|4，|BF|1， 6.(多选)已知抛物线y22px(p0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于 两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结 论正确的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由抛物线焦点弦
9、的性质知ABD正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦点，且与抛物线C 交于A，B两点，则|AB|_.8 12345678910 11 12 13 14 15 16 由题意知，直线l：yx1过点(1,0)， 9.已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解方法一因为直线l的倾斜角为60， 12345678910 11 12
10、 13 14 15 16 若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以|AB|538. 方法二因为抛物线y26x， 所以p3， 又直线l的倾斜角60， (2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知点P(1，m)是抛物线C：y22px(p0)上的点，F为抛物线的焦点， 且|PF|2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； 12345678910 1
11、1 12 13 14 15 16 抛物线方程为y24x. (2)若|AB|8，求直线l的斜率. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解方法一由(1)知焦点为F(1,0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|4，不合题意， 因此设直线l的方程为yk(x1)(k0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解得k1或k1. 方法二若直线l的斜率不存在，则|AB|4，不合题意， 设直线l的倾斜角为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即45或135，则ktan 1. 11.(多选)已知抛物线C
12、：y24x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛 物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正 确的是 A.若x1x26，则|PQ|8 B.以PQ为直径的圆与准线l相切 C.设M(0,1)，则|PM|PP1| D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析对于选项A，因为p2，所以x1x22|PQ|，则|PQ|8，故A 正确； 对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确； 对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF| ，故C 正确； 对
13、于选项D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点，设过M的 直线方程为ykx1(k0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知抛物线y22px(p0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为 抛物线的焦点，则下列说法正确的是 A.抛物线的准线方程为x1 12345678910 11 12 13 14 15 16 C.若A，F，C三点共线，则y1y21 D.若|AC|6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 解析 把点B(1,2)代入抛物线y22px，得p2，所以抛物线的准线方程 为x1，故A正确； 12345678910 11 12
14、 13 14 15 16 因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2p24，故 C不正确； 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|CF|AC|，|AF|CF|x11x212x02， 所以2x026，得x02， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A， B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.过抛物线y24x焦
15、点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C， 且A，C位于x轴同侧.若|AC|2|AF|，则|BF|等于 A.2 B.3 C.4 D.5 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线方程l：x1，设准线l与x轴交 于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作ADl，BEl，垂足分 别为D，E， 如图，由抛物线的定义可知|AF|AD|，|BF|BE|，又|AC|2|AF|， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知点F是抛物线y22px(
16、p0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦 且ABCD，AB的斜率为k，且k0，C，B两点在x轴上方，则下列结论中 正确的是 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示， 12345678910 11 12 13 14 15 16 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为(0)， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故其最小值为8p2，故错误； 16.已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2y22x0的圆心重合. (1)求抛物线C的标准方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由已知易得F(1,0)， 则所求抛物线C的标准方程为y24x. (2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|PF|的值最小，并求最小值 及点P的坐标； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设点P在抛物线C的准线上的射影为点B， 根据抛物线定义知|PF|PB|，要使|PA|PF|的值最小，必P，A，B三点 共线. 可得P(x1，2)，224x1x11，即P(1,2). 此时|PA|PF|224. 解因为MN 为焦点弦， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
