1、第2课时空间中直线、平面的平行 第一章 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 学 习 目 标 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士 所在的直线平行.旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向 向量有什么关系？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、直线和直线平行 二、直线和平面平行 三、平面和平面平行 内容索引 一、直线和直线平行 问题1由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么 关系？ 提示平行. 设u1，u2分别是直线l1，l2的
2、方向向量，则l1l2 R，使得 u1 . 注意点：注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况. (2)证明线线平行的两种思路： 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算， 利用向量共线的充要条件证明. 建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. u1u2 u2 知识梳理 例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点M在棱 BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1， BC的中点.求证：MNRS. 证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系， 所以MNRS. 又R MN， 所以MNRS. 反思感悟利用向量
3、证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1 和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系， 又F AE，F EC1， AEFC1，EC1AF， 四边形AEC1F是平行四边形. 二、直线和平面平行 问题2观察下图，直线l与平面平行，u是直线l的方向向量，n是平面 的法向量，u与n有什么关系？ 提示垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，l ，则lu n . 注意点：注意点： (1)证明线
4、面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. un0 知识梳理 例2在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底 面ABCD，PDDC，E是PC的中点.证明：PA平面EDB. 证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设 PDDCa. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 方法一设平面BDE的法向量为n(x，y，z)， 所以n . 又PA 平面EDB，所以PA平面EDB. 方法二因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 而EG平面EDB，且PA 平面EDB， 所以PA平面EDB. 所以PA平面EDB. 延伸探究如图，在四棱锥
5、PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为 直角梯形，ABCBAD90，PAABBC 问：在棱PD 上是否存在一点E，使得CE平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不 存在，请说明理由. 解分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间 直角坐标系，如图. 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 假设在棱PD上存在符合题意的点E， y2(z1)0. (1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0. E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE平面PAB. 反思感悟利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用
6、 平面内的一组基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利 用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量 与平面的法向量垂直. 跟踪训练2在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB， ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点， 求证：AB平面DEG. 证明EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB， EFAE，EFBE. 又AEEB， EB，EF，EA两两垂直. 以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系. 由已知得，A(0,0,
7、2)，B(2,0,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， 设平面DEG的法向量为n(x，y，z)， 令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)， AB 平面DEG， AB平面DEG. 三、平面和平面平行 问题3观察下图，平面，平行，n1，n2分别是平面，的法向量，n1 与n2具有什么关系？ 提示平行. 设n1，n2分别是平面，的法向量，则 R，使得 . n1n2 n1n2 知识梳理 例3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的 中点， 求证：平面ADE平面B1C1F. 证明建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2
8、)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 令z12，则y11， 所以可取n1(0，1,2). 同理，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量. 令z22，得y21， 所以n2(0，1,2). 因为n1n2，即n1n2， 所以平面ADE平面B1C1F. 反思感悟证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 跟踪训练3如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰 梯形，ABCD，AB4，BCCD2，A
9、A12，F是棱AB的中点. 求证：平面AA1D1D平面FCC1. 证明因为AB4，BCCD2，F是棱AB的中点， 所以BFBCCF， 所以BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形，AB4，BCCD2，所以BADABC60. 取AF的中点M，连接DM， 则DMAB，所以DMCD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系， 又DD1DAD，CC1CFC，DD1，DA平 面AA1D1D，CC1，CF平面FCC1， 所以平面AA1D1D平面FCC1. 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示. (2)线面平行的向量表示. (3)面面平行的向量表示. 2.方法归纳
10、：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不 在平面内. 课堂小结 随堂演练 1.已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若 l1l2 ，则 1234 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 A.a(1,0,0)，n(0，2,0) B.a(1,3,5)，n(1,0,1) C.a(0,2,1)，n(1,0，1) D.a(1，1,3)，n(0,3,1) 1234 解析若l，则an0. 而A中an0， B中an156， C中an1， D中an330. 3.设平面，的一个法向量分别为u(1,2，2)
11、，v(3，6,6)，则， 的位置关系为_. 1234 平行 解析v3(1,2，2)3u， . 4.已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a(2，m,1)，A(0,0,1)， B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是_.3 1234 解析l平面ABC， (2，m,1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)， 课时对点练 1.与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 A. B. C.与相交但不垂直 D.或与重合 解析因为n3m，所以mn， 所以或与重合. 12345678910 11 12 13 14
12、 15 16 3.已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)， 则l与的位置关系是 A.l B.l C.l与相交但不垂直 D.l或l 解析因为au3410， 所以au. 所以l或l. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.(多选)若直线l的一个方向向量为d(6,2,3)，平面的一个法向量为n (1,3,0)，则直线l与平面的位置关系是 A.垂直 B.平行 C.直线l在平面内 D.不能确定 解析dn62300， dn， 直线l与平面的位置关系是直线l在平面内或平行. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.已知平面的法
13、向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若 ，则的值是 解析， 的法向量与的法向量也互相平行. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则 MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意建系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， M(2,1,1)，N(1,1,2)， 12345678910 11 12 13 14 15
14、 16 又平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)， 又MN 平面BB1C1C， MN平面BB1C1C. 7.已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为 n(1，1，1)，且与不重合，则与的位置关系是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10(1)1(1)(1)0， 110(1)(1)0， n也为的一个法向量， 又与不重合，. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分 别为A1C1和BC的中点.求证：C1F平面ABE. 1
15、2345678910 11 12 13 14 15 16 证明如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在 直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设BCa，ABb，BB1c， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又C1F 平面ABE，所以C1F平面ABE. 10.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，PAAD，M，N， Q分别是PC，AB，CD的中点. (1)求证：MN平面PAD； 12345678910 11 12 13 14 1
16、5 16 证明如图所示，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系， 设B(b,0,0)，D(0，d,0).P(0,0，d).则C(b，d,0)，因为M，N，Q分别是PC， AB，CD的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求证：平面QMN平面PAD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 又QN不在平面PAD内， 所以QN平面PAD. 又因为MNQNN，MN，QN平面MNQ， 所以平面MNQ平面PAD. 11.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1 的关系是 A.异面
17、直线 B.平行直线 C.垂直不相交 D.垂直且相交 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后， 12345678910 11 12 13 14 15 16 PQBD1. 12.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF 1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为 12345678910 11 12 13 14 15 16 设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二如图，设AC与BD相交于O点，连接OE，由
18、AM平面BDE，且 AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE， 所以AMEO， 又O是正方形ABCD对角线交点， 所以M为线段EF的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为n1(2， 3,1)， A.平面平面ABC B.平面平面ABC C.平面、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以平面平面ABC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.(多选)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别 为棱
19、AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正 确的是 A.A1MD1P B. A1MB1Q C.A1M平面DCC1D1 D.A1M平面D1PQB1 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又B1Q与D1P不平行，故B不正确. 15.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正 方体表面上相异两点，满足BPA1E，BQA1E. (1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是_； 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 平
20、行 解析以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 12345678910 11 12 13 14 15 16 若P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b,1)，Q(m，n,1)， 因为BPA1E，BQA1E， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以PQ与BD的位置关系是平行. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 D1BQ平面PAO? 123
21、45678910 11 12 13 14 15 16 解如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间 直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 则Q(0,1，m). 于是OPBD1. 设平面PAO的法向量n1(x1，y1，z1)， 即APBQ，有平面PAO平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO. 12345678910 11 12 13 14 15 16 取x11，则n1(1,1,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面D1BQ的法向量为n2(x2，y2，z2)， 取z21，则n2(m,1m,1). 要使平面D1BQ平面PAO，需满足n1n2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO. 本课结束 更多精彩内容请登录：
