1、第2课时夹角问题 第一章 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 学 习 目 标 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”， 黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角) 为2326.黄道面与地球相交的大圆为“黄 道”.黄道及其附近的南北宽9以内的区域 称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的 位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座， 导 语 称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30便是一宫，并冠以 星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来. 随堂演练课时对点练 一、两异面直线所成的
2、角 二、直线和平面所成的角 三、两个平面的夹角 内容索引 一、两异面直线所成的角 设两异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v| . 知识梳理 例1如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a 的正方形，侧棱长为b，且A1ABA1AD120，求异面直线BD1和 AC所成角的余弦值. 0a2abcos 120abcos 120a20ab. 反思感悟求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中
3、，已知M，N分别 是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为 解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)， 二、直线和平面所成的角 注意点：注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的 夹角. (2)线面角的范围为 (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u， 平面的法向量为n，则sin . |cosu，n| 知识梳理 例2如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC， ABAC，PAAC
4、 N为AB上一点，AB4AN，M， S分别为PB，BC的中点. (1)证明：CMSN； 证明设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正 方向建立空间直角坐标系(如图). 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 设SN与平面CMN所成的角为， 反思感悟利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. 跟踪训练2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12， BAC90，E，F依次为C1
5、C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的 正弦值. 解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 设平面AEF的一个法向量为n(a，b，c)， 令a1可得n(1，1,2). 设A1B与平面AEF所成角为， 三、两个平面的夹角 问题1两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？ 提示平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我 们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面与平面的夹角. 问题2平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 设平
6、面，的法向量分别是n1，n2，平面与平面的夹角为，则cos |cosn1，n2| . 知识梳理 注意点：注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题. (2)两平面的夹角的范围是 (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念. 例3如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相 等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和 四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O平面ABCD； 证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1AC，DD1BD， 又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD， 因为ACBDO，AC，BD平面ABCD
7、， 所以O1O平面ABCD. (2)若CBA60，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值. 解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD， 又O1O平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直. 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间 直角坐标系. 设棱长为2，因为CBA60， 平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)， 设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)， 延伸探究本例不变，求平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值. 设平面BA1C的法向量为m(x1，y1，z1)， 反思感悟求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平
8、面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条 直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线 的方向向量的夹角，但要注意其异同. 跟踪训练3如图所示，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平 面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120，求平面SAD 与平面SAB夹角的余弦值. 解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. SDC120，SDE30，又SD2， 设平面SAD的法向量为m(x，y，z)， 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角. (3)平面与平面所成的角.
9、 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间 角的概念，把握空间角的范围. 课堂小结 随堂演练 1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成 的角为 1234 解析l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补， 2.直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的 中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 1234 解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1 为z轴建立空间直角坐标系， 1234 3.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz
10、的 三条坐标轴上， (0,0,2)，平面ABC的一个法向量为 n(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为，则cos _. 1234 解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图. 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1). 4.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_. 1234 课时对点练 1.两异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为，直 线l1，l2所成的角为，则 A. B. C.cos |cos | D.cos |cos | 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 因而co
11、s |cos |. 2.平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b (0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为 A.30 B.45 C.60 D.90 解析l与所成的角即为a与b所成的角(或其补角)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以a，b60. 3.设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n 则l与所成的角为 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面 PAB与平面PCD的夹角为 A.30 B.45 C.60 D.90 123
12、45678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示，建立空间直角坐标系， 设PAAB1，则A(0,0,0)， D(0,1,0)，P(0,0,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 平面PAB与平面PCD的夹角为45. 5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)， 1234
13、5678910 11 12 13 14 15 16 连接AC，易证AC平面BB1D1D， 6.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且 ACBD，AC与BD交于点O，PO底面ABCD，PO2，AB E，F 分别是AB，AP的中点.则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，OAOB2， 则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)， E(1，1,0)，F(0，1,1)， 123456789
14、10 11 12 13 14 15 16 设平面OEF的法向量为m(x，y，z)， 令x1，可得m(1,1,1)， 易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面FOE与平面OEA的夹角为， 7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所 成角的正弦值等于_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图. 设AA12AB2， 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)， 12345678910 11
15、 12 13 14 15 16 设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)， 令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1). 设直线CD与平面BDC1所成的角为， 8.在空间中，已知平面过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a0)， 如果平面与平面Oxy的夹角为45，则a_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析平面Oxy的一个法向量为n(0,0,1). 设平面的法向量为u(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又a0， 9.如图所示，在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD 求异面直线
16、AB与CD所成角的余弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直. 以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1,0,0)，D(1,0,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1， BC的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； 解如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O， O1， 连接OB
17、，OO1， 则OBOC，OO1OC，OO1OB. 以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为ABAA12， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为P为A1B1的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为Q为BC的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量， 设直线CC1与平面AQC1所成角为， 123
18、45678910 11 12 13 14 15 16 11.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面 角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 根据题意，|a|c|1，|b|，abbcca0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E，现将 ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的 射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的 大小为 A.45 B.90 C.135 D.150 12345
19、678910 11 12 13 14 15 16 解析建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知ABE为等腰直角三角 形，设CD1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD所成角的正弦值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角 坐标系Oxyz. 设BC1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ABD的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13
20、 14 15 16 14.如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2， VDC 则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析ACBC2，D是AB的中点， C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以AEED，即AE，DE，EF两两垂直， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设ABEF
21、CD2， 则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知几何体EFGABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF， ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求证：BMEF； 证明四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， GDDA，GDDC. 又DADCD，GD平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1). 点M在棱DG上，故可
22、设M(0,0，t)(0t1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45？若存在，确 定点M的位置；若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45. 设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 令z1，得xy1， n(1,1,1)为平面BEF的一个法向量， 直线MB与平面BEF所成的角为45， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
