1、题组层级快练题组层级快练(五十七五十七) 一、单项选择题 1(2021辽宁省实验中学期中)已知 F1，F2分别为椭圆x 2 25 y2 9 1 的左、右焦点，过点 F1的 直线交椭圆于 A，B 两点若|F2A|F2B|12，则|AB|() A6B7 C5D8 答案D 解析本题考查椭圆焦点三角形的周长由椭圆方程可知 a5，由题意可得|AF1|AF2| |BF1|BF2|2a，所以ABF2的周长为 4a20.若|F2A|F2B|12，则|AB|20128.故 选 D. 2已知椭圆 C：y 2 9 x21，过点 P 1 2， 1 2 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直
2、线 AB 的方程为() A9xy40B9xy50 C2xy20Dxy50 答案B 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y 2 9 x21 上，所以 y12 9 x121， y22 9 x221，两式相 减得y1 2y22 9 x12x220，得（y1y2） （y1y2） 9 (x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P 1 2， 1 2 平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得y1y2 9 x1x20，得y1y2 x1x2 9，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y1 29 x1 2 ，即 9xy50. 3(2021广州市高三调研)已知
3、椭圆 C：x 2 4 y21，A(2，0)，点 P 在椭圆 C 上，且 OPPA， 其中 O 为坐标原点，则点 P 的坐标为() A(2 3， 2 2 3 )B(2 5 3 ，2 3) C(2 3， 2 2 3 )D(2 5 3 ，2 3) 答案A 解析设 P(x，y)，由 OPPA，得OP PA，所以OPPA(x，y)(2x，y)x(2x) y20，与椭圆方程x 2 4 y21 联立，解得 x2 3，y 2 2 3 ，即点 P 的坐标为(2 3， 2 2 3 )，故 选 A. 4(2021河北冀州中学模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2.F
4、2 也是抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点 A 为 C 与 E 的一个交点，且直线 AF1的倾斜角为 45，则 C 的离心率为() A. 51 2 B. 21 C3 5D. 21 答案B 解析由题意可知，p 2c，则 p2c.所以 E：y 24cx.因为 F1(c，0)，直线 AF1的倾斜角为 45，所以直线 AF1的方程为：yxc.由 yxc， y24cx， 得 xc， y2c，所以 A(c，2c)因为 F 2(c， 0)，所以 AF2F1F2.在 RtAF2F1中，|AF2|2c，|AF1|2 2c.由椭圆的定义得：|AF1|AF2| 2a，即 2 2c2c2a，解得c a 21.故
5、选 B. 5椭圆x 2 16 y2 4 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是() A3B. 11 C2 2D. 10 答案D 解析设椭圆x 2 16 y2 4 1 上的点 P(4cos， 2sin)， 则点 P 到直线 x2y 20 的距离为 d |4cos4sin 2| 5 |4 2sin 4 2| 5 ， dmax|4 2 2| 5 10. 6.(2021成都七中期末)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)，焦点 F 1(2，0)， F2(2，0)过 F1(2，0)作倾斜角为 60的直线 l 交上半椭圆于点 A，以 F1A，F1O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形 O
6、F1AB，点 B 恰好也在椭 圆上，如图，则 b2() A. 3 B2 3 C4 3D12 答案B 解析依题意可知，c2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为四边形 OF1AB 为平行四边形，所以 y1y2， 又x1 2 a2 y2 2 b2 1，x2 2 a2 y2 2 b2 1，所以 x2x1， 又 F1AOB，且直线 F1A 的倾斜角为 60， 所以 y1 x12 y2 x2 3， 因为 y1y2，x2x1，所以 x11，x21，y1y2 3， 所以 A(1， 3)，将其代入x 2 a2 y2 b21，得 1 a2 3 b21，又 c2，所以 a 2b2c24， 联立解得 a2
7、42 3，b22 3.故选 B. 二、多项选择题 7(2021海南高三模拟)设椭圆x 2 9 y 2 3 1 的右焦点为 F，直线 ym(0mb0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，焦距为 2c.若直线 y 3(xc) 与椭圆的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案31 解析由直线 y 3(xc)知其倾斜角为 60， 由题意知MF1F260，则MF2F130，F1MF290. 故|MF1|c，|MF2| 3c. 又|MF1|MF2|2a，( 31)c2a. 即 e 2 31 31. 11(2018浙江)已知点 P(0，1)，椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点
8、A，B 满足AP 2PB，则当 m _时，点 B 横坐标的绝对值最大 答案5 解析方法一：由题意知 A，B，P 三点共线当 AB 所在直线斜率不存在时，点 B 的横 坐标为 0，显然此时点 B 的横坐标的绝对值不是最大值当 AB 所在直线斜率存在时，设 斜率为 k(k0)，则直线 AB 的方程 ykx1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 x2 4 y2m， ykx1， 消去 y，得(14k2)x28kx44m0， 则(8k)24(14k2)(44m)64mk216(m1)0. 由根与系数的关系，得 x1x2 8k 14k2，x 1x244m 14k2. 又AP 2PB，故 x 1
9、2x2. 将代入得，x2 8k 14k2，x 222m2 14k2， 两式相除，整理得 kx2m1 4 .由 x222m2 14k2得 2m2x 224(kx2)2x22（m1） 2 4 ，故 x222m2（m1） 2 4 1 4(m 210m9)1 4(m5) 24. 故当 m5 时，x22有最大值 4，此时点 B 横坐标的绝对值最大 方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP 2PB，得 x12x2， 1y12（y21） ，即 x 12x2，y13 2y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以 4x22 4 （32y2）2m， x22 4 y22m， 得 y21 4m 3 4，所以
10、x 22m(32y2)21 4m 25 2m 9 4 1 4(m5) 244， 所以当 m5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 12已知椭圆 C：x 2 2 y 2 4 1，过椭圆 C 上一点 P(1， 2)作倾斜角互补的两条直线 PA，PB， 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，求直线 AB 的斜率 答案2 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设 PA 的方程为 y 2k(x1)，代入椭圆方程化简得 (k22)x22k(k 2)xk22 2k20，显然 1 和 x1是这个方程的两解因此 x1 k22 2k2 k22 ，y1 2k 24k2 2 k22 ，由k 代替 x
11、1，y1中的 k，得 x2k 22 2k2 k22 ，y2 2k 24k2 2 k22 ，所以y2y1 x2x1 2，即直线 AB 的斜率为 2. 13(2021云南曲靖模拟)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1( 3，0)，F2( 3，0)，且椭圆 C 过点 P 1， 3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若与直线 OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆 C 于 A， B 两点， 当 OAOB 时， 求AOB 的面积 答案(1)x 2 4 y21(2) 91 10 解析(1)设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意可得 a2b23， 1 a2 3 4b2
12、1， 解得 a24， b21. 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y21. (2)直线 OP 的方程为 y 3 2 x，设直线 AB 的方程为 y 3 2 xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)将 直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 x2 3mxm210， 由3m24(m21)0， 得 m24， x1x2 3m， x1x2m21. 由 OAOB，得OA OB 0，即OA OB x1x2y1y2x1x2 3 2 x1m 3 2 x2m 7 4x 1x2 3 2 m(x1x2)m27 4(m 21) 3 2 m ( 3m)m25 4m 27 4 0，得 m27 5b0)的左、右焦点
13、分别为 F 1，F2，点 A，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线 AF1与椭圆 C 的另一个交点为 E，若F1AF260， 则直线 BE 的斜率为_ 答案 3 4 解析由F1AF260，可得 a2c，则 b a2c2 3c， 设 E(m，n)，即有m 2 a2 n 2 b21，则 n2b2 m2 b 2 a2， A(0，b)，B(0，b)， kEAkEBnb m nb m n 2b2 m2 b 2 a2 3 4， 又 kEAkAF1 3，kEB 3 4 . 15(2021西安八校高三联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 离心率为2 2 3 ，直
14、线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l 过椭圆 C 的右焦点，且与 x 轴垂 直时，|AB|2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在与 x 轴不垂直的直线 l，使弦 AB 的垂直平分线过椭圆 C 的右焦点？若存在，求 出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 答案(1)x 2 9 y21(2)不存在，理由略 解析(1)由题意：点 c，1 3 在椭圆上，故 c a 2 2 3 ， c2 a2 1 9b21， c2a2b2， a29，b21，椭圆 C 的标准 方程为x 2 9 y21. (2)(点差法)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 P(x0，y0)，椭圆 C 的右焦点为 F(2 2，0)， 直线 l 的斜率为 k， 直线 FP 的斜率为 k， 则 x129y129， x229y229，(x 1x2) (x1x2)9(y1y2)(y1 y2)0， ky1y2 x1x2 x1x2 9（y1y2） x0 9y0， k y0 x02 2， kk x0 9（x02 2） 1，即 x09 2 4 (3，3)，故不存在
