1、再练一课再练一课(范围：范围：3.13.2) 一、单项选择题 1若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为() A.1 5 B. 5 5 C.1 2 D. 2 2 答案D 解析依题意，2c2b， 所以 bc， 所以 a2b2c22c2， 所以 e21 2，又 0e1， 所以 e 2 2 . 2已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线 C 的实轴长为() A. 3B3C2 3D6 答案D 解析由题意，双曲线的一条渐近线为 yb ax，即 bxay0， 设双曲线的右焦点为 F(c,0)，c0， 则 c2a2b2， 所以焦点到渐近线
2、的距离 d |bc| a2b2 bc c b3， 又离心率 ec a 2， 所以 a3，所以双曲线 C 的实轴长为 2a6. 3若椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，线段 F1F2被点 b 2，0分成 53 的 两段，则此椭圆的离心率为() A.16 17 B.4 17 17 C.4 5 D.2 5 5 答案D 解析依题意得 cb 2 cb 2 5 3， 所以 c2b， 所以 a b2c2 5b， 所以 ec a 2b 5b 2 5 5 . 4已知双曲线 C：x 2 9 y 2 161 的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 为双曲线 C 的右支上一点，且
3、|PF2| 8 15|F 1F2|，则PF1F2的面积为() A.80 3 B.1 2 C2D4 答案A 解析在双曲线 C：x 2 9 y 2 161 中，a3，b4，c5， F1(5,0)，F2(5,0)，|F1F2|10. |PF2| 8 15|F 1F2|16 3 ， |PF1|2a|PF2|616 3 34 3 . 在PF1F2中，cosPF1F2 34 3 2102 16 3 2 234 3 10 15 17， sinPF1F2 8 17， PF1F2的面积为1 2 34 3 10 8 17 80 3 . 5若 ab0，则 axyb0 和 bx2ay2ab 所表示的曲线只可能是下图中
4、的() 答案C 解析原方程分别可化为 yaxb 和x 2 a y 2 b 1. 从 B，D 中的两椭圆看，a0，b0，但由 B 中的直线可得 a0，b0，矛盾，应排除； 由 D 中的直线可得 a0，矛盾，应排除； 由 A 中的双曲线可得 a0，但由直线可得 a0，b0，矛盾，应排除 由 C 中的双曲线可得 a0，b0，b0， b0)的一条渐近线与圆(x2) 2y26 相交于 A， B 两点， 且|AB| 4，则此双曲线的离心率为() A2B.5 3 3 C.3 5 5 D. 2 答案D 解析设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线为 bxay0， |AB|4，r 6， 圆心
5、(2,0)到渐近线的距离为 2， 即 2b b2a2 2， 解得 ba，c a2b2 2a， 此双曲线的离心率为 ec a 2. 二、多项选择题 7已知曲线 C：mx2ny21.() A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是两条直线 答案ACD 解析对于 A，当 mn0 时，有1 n 1 m0，方程化为 x2 1 m y 2 1 n 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确 对于 B，当 mn0 时，方程化为 x2y21 n，表示半径为 1 n的圆，故 B 错误 对于 C，当 m0，n0 时，方程化为x 2 1 m
6、 y2 1 n 1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a 1 m， b1 n，渐近线方程为 y m nx；当 m0 时，方程化为 y2 1 n x2 1 m 1，表示焦点 在 y 轴上的双曲线，其中 a 1 n，b 1 m，渐近线方程为 y m nx，故 C 正确 对于 D，当 m0，n0 时，方程化为 y 1 n，表示两条平行于 x 轴的直线，故 D 正确 8椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1和 F2，P 为椭圆 C 上的动点，则下列说 法正确的是() Aa 2b，满足F1PF290的点 P 有两个 Ba 2b，满足F1PF290的点 P 有四个 CP
7、F1F2的面积的最大值为a 2 2 DPF1F2的周长小于 4a 答案ACD 解析记椭圆 C 的上、下顶点分别为 B1，B2，易知F1PF2F1B1F2F1B2F2.选项 A 中， F1B1F2F1B2F290， 正确； 选项 B 中， F1B1F2F1B2F290， 不存在 90的F1PF2， 错误；选项 C 中，面积 1 2 PF F S1 22cbbc b2c2 2 a 2 2 ，正确；选项 D 中，周长 1 2 PF F C 2c2ab0)的离心率为 1 4，则双曲线 x2 a2 y2 b21 的渐近线方程为_ 答案y 15 4 x 解析因为 ec a 1 4， 不妨设 a4，c1，则
8、 b 15， 所以对应双曲线的渐近线方程为 yb ax 15 4 x. 10在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 10 5 ，则椭圆 C 的方程为_ 答案 x2 4 y21 解析由题意知 a2b2 a 3 2 ， 可得 a24b2. 椭圆 C 的方程可化简为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x 5a 5 ， 因此 22 5a 5 4 10 5 ，可得 a2. 因此 b1. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 11已知直线 l：xym0 与双曲线 x2y 2 2 1 交于不同的两点
9、 A，B，若线段 AB 的中点 在圆 x2y25 上，则 m 的值是_ 答案1 解析由 xym0， x2y 2 2 1， 消去 y 得 x22mxm220. 4m24m288m280. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则 x1x22m，y1y2x1x22m4m， 所以线段 AB 的中点坐标为(m,2m)， 又因为点(m,2m)在圆 x2y25 上， 所以 5m25，所以 m1. 12已知 F1，F2是双曲线x 2 16 y2 9 1 的左、右焦点，PQ 是过焦点 F1的弦，且 PQ 的倾斜角 为 60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_ 答案16 解析在双曲线x 2 16 y2 9
10、1 中，2a8， 由双曲线定义，得|PF2|PF1|8，|QF2|QF1|8， 所以|PF2|QF2|PQ|(|PF2|PF1|)(|QF2|QF1|)16. 四、解答题 13已知定点 A(a,0)，其中 0a3，它到椭圆x 2 9 y 2 4 1 上的点的距离的最小值为 1，求 a 的 值 解设椭圆上任一点为 P(x，y)(3x3)， 则|PA|2(xa)2y2(xa)21 9(364x 2) 5 9 x9 5a 244 5a 2， 当 0a5 3时，有 05 3(舍)； 当5 3a3 时，有 3 9 5ab0)的顶点到直线 l 1：yx 的距离分别为 2和 2 2 . (1)求椭圆 C 的
11、标准方程； (2)设平行于 l1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且|OA OB |AB |，求直线 l 的方程 解(1)由直线 l1： yx 可知其与两坐标轴的夹角均为 45， 故长轴端点到直线 l1的距离为 2 2 a， 短轴端点到直线 l1的距离为 2 2 b，所以 2 2 a 2， 2 2 b 2 2 ， 解得 a2，b1， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y21. (2)设直线 l：yxt(t0)， 联立 yxt， x2 4 y21， 整理得 5x28tx4t240， 则64t2165(t21)0， 解得 5t 5且 t0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x28t 5 ，x1x24t 24 5 ， 故 y1y2(x1t)(x2t)(x1x2)tx1x2t2t 24 5 ，因为|OA OB |AB |，所以 OAOB， 即OA OB x1x2y1y24t 24 5 t 24 5 0， 解得 t2 10 5 ，满足 5t 5且 t0， 所以直线 l 的方程为 yx2 10 5 或 yx2 10 5 .
