1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 25.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第第 1 课时课时直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判 断直线与圆的三种位置关系 导语 海上日出是非常壮丽的美景在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆 圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和 迷人的风采在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也 体现了直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系的判断 问题 1如何利用直线和
2、圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解 知识梳理 位置关系相交相切相离 公共点个数2 个1 个0 个 判 断 方 法 几何法：设圆心到直线的距离为 d |AaBbC| A2B2 dr 代数法：由 AxByC0， xa2yb2r2， 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式 000，即 m0 或 m4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当0，即 m0 或 m4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当0，即4 3m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 方法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24， 即圆心为 C(2,
3、1)，半径 r2. 圆心 C(2,1)到直线 mxym10 的距离 d|2m1m1| 1m2 |m2| 1m2 . 当 d0 或 m2，即4 3m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断 (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关 系但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 跟踪训练 1(1)已知圆 C: x2y24x0，l 是过点 P(3,0)的直线，则() Al 与 C 相交Bl
4、 与 C 相切 Cl 与 C 相离D以上三个选项均有可能 答案A 解析将点 P(3,0)代入圆的方程，得 3202439123 m， m0，0m2. 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法： 如图， 直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点， 设弦心距为 d， 圆的半径为 r， 弦长为|AB|， 则有 |AB| 2 2d2r2， 即|AB|2 r2d2. (2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则|AB| x1x22y1y22 1k2|x1x2|11 k2|y 1y2|(直线 l 的斜率 k
5、存在) 例 2求直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长 解方 法 一直 线 x 3 y 23 0 和 圆 x2 y2 4 的 公 共 点 坐 标 就 是 方 程 组 x 3y2 30， x2y24 的解 解这个方程组，得 x1 3， y11， x20， y22. 所以公共点的坐标为( 3，1)，(0,2)， 所以直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长为 3021222. 方法二如图，设直线 x 3y2 30 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M， 则 OMAB(O 为坐标原点)， 又|OM| |002 3| 12 32 3， 所以|AB|2|
6、AM|2 |OA|2|OM|2 2 22 322. 反思感悟(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式 (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 跟踪训练 2已知直线 l 经过直线 2xy30 和 4x3y50 的交点，且与直线 xy2 0 垂直 (1)求直线 l 的方程； (2)若圆 C 的圆心为点(3,0)，直线 l 被该圆所截得的弦长为 2 2 ，求圆 C 的标准方程 解(1)由已知得 2xy30， 4x3y50， 解得 x2， y1， 两直线交点为(2,1) 设直线 l 的斜率为 kl， 直线 l 与 xy20 垂直，kl1， 直线 l 过点(2,1
7、)， 直线 l 的方程为 y1x2，即 xy10. (2)设圆的半径为 r，依题意，得 圆心(3,0)到直线 xy10 的距离为|31| 2 2， 则由垂径定理得 r2( 2)2( 2)24，r2， 圆的标准方程为(x3)2y24. 三、求圆的切线方程 例 3(1)若圆 C：x2y22x4y30 关于直线 2axby60 对称，则由点(a，b)向圆所 作的切线长的最小值是() A2B3C4D6 答案C 解析由题意易知圆心 C(1,2)，半径长 r 2，点(a，b)在直线 yx3 上，所以点(a，b) 与圆心的距离的最小值即圆心到直线 yx3 的距离 d，易求 d|123| 2 3 2，所以切
8、线长的最小值为 d2r2 3 2224. (2)过点 A(1,4)作圆(x2)2(y3)21 的切线 l，则切线 l 的方程为_ 答案y4 或 3x4y130 解析(12)2(43)2101，点 A 在圆外 当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程是 x1，不满足题意 设直线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y4k(x1)， 即 kxy4k0. 圆心(2,3)到切线 l 的距离为|2k34k| k21 1， 解得 k0 或 k3 4， 因此，所求直线 l 的方程为 y4 或 3x4y130. 反思感悟求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上 先求切点与圆心连线的斜率 k，
9、再由垂直关系得切线的斜率为1 k， 由点斜式可得切线方程 如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 yy0或 xx0. (2)点(x0，y0) 在圆外 设切线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得 切线方程 当用此法只求出一个方程时， 另一个方程应为 xx0， 因为在上面解法中不包括斜率不存在 的情况 过圆外一点的切线有两条 跟踪训练 3(1)过圆 x2y22x4y0 上一点 P(3,3)的切线方程为() A2xy90B2xy90 C2xy90D2xy90 答案B 解析x2y22x4y0 的圆心为 C(1,2)， kPC1 2，切线的斜率 k2
10、， 切线方程为 y32(x3)，即 2xy90. (2)由直线 yx1 上任一点向圆(x3)2y21 引切线，则该切线长的最小值为() A1B2 2C. 7D3 答案C 解析圆心 C(3,0)到直线 yx1 的距离 d|301| 2 2 2. 所以切线长的最小值为 l 2 2212 7. 1知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系 (2)弦长公式 (3)圆的切线方程 2方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法 3常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况 1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是() A相切B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 答案B 解析圆心(0,0)到直线 yx1
11、 的距离 d|001| 2 2 2 1， 直线与圆 x2y21 相交， 又(0,0)不在 yx1 上，直线不过圆心 2圆 x2y24 在点 P( 3，1)处的切线方程为() A. 3xy20B. 3xy40 C. 3xy40D. 3xy20 答案C 解析( 3)2(1)24， 点 P 在圆上P 为切点 切点与圆心连线的斜率为 3 3 ， 切线的斜率为 3， 切线方程为 y1 3(x 3)，即3xy40. 3(多选)若直线 3x4yb 与圆 x2y22x2y10 相切，则 b 的值是() A2B12 C2D12 答案CD 解析圆的方程为 x2y22x2y10， 可化为(x1)2(y1)21， 由
12、圆心(1,1)到直线 3x4yb0 的距离为|7b| 5 1， 得 b2 或 12. 4过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24x0 所截得的弦长为_ 答案2 解析直线方程为 y 3x， 圆的方程为(x2)2y24， 圆心(2,0)到直线的距离 d 2 3 321 3，弦长 l2 r2d22 432. 课时课时对点对点练练 1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是() A过圆心B相切 C相离D相交但不过圆心 答案D 解析圆心(1，1)到直线 3x4y120 的距离 d|314112| 3242 11 5 ，0dr， 所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心 2已知点
13、M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是() A相切B相交 C相离D不确定 答案B 解析点 M(a，b)在圆 x2y21 外，a2b21. 圆心(0,0)到直线 axby1 的距离 d 1 a2b21r， 则直线与圆的位置关系是相交 3(多选)若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为() A0B4C2D. 3 答案AB 解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径 r2. 又直线被圆截得的弦长为 2 2， 所以圆心到直线的距离 d22 2 2 2 2 2. 又 d|a2| 2 ， 所以|a2|2， 解得 a4 或
14、 a0. 4已知圆 x2y29 的弦过点 P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为() Ay20Bx2y50 C2xy0Dx10 答案B 解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点 P(1,2)的直径垂直已知圆心 O(0,0)，所以过点 P(1,2)的直径所在直线的斜率 k20 102，故所求直线的斜率为 1 2，所以所求直线方程为 y 21 2(x1)，即 x2y50. 5直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2 3，则直线的斜率为() A. 3B 3C. 3 3 D 3 3 答案D 解析因为直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2 3， 所以圆心
15、C(2,3)到直线的距离 d 4 321， 所以|2k33| k21 |2k| k211， 解得 k 3 3 . 6一条光线从点(2,3)射出，经 x 轴反射后与圆 x2y26x4y120 相切，则反射光线 所在直线的斜率为() A.6 5或 5 6 B.4 5或 5 4 C.4 3或 3 4 D.3 2或 2 3 答案C 解析点(2,3)关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为(2，3)， 圆 x2y26x4y120 的圆心为(3,2)，半径 r1. 设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为 k， 则切线方程为 yk(x2)3，即 kxy2k30， 所以圆心(3,2)到切线的距离 d|5k5|
16、 1k2r1， 解得 k4 3或 k 3 4. 7直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a0)， 由题意，得 a12012|a4| 2 ， 解得 a6(舍)或 a2， 所以圆的半径为 r|24| 2 2， 则圆 C 的标准方程为(x2)2y22. (2)若斜率不存在，则直线方程为 x1，弦心距 d1，半径为 2， 则|AB|2 r2d22，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为 y3k(x1)， 即 kxyk30. 弦心距 d |k3| 1k2，得|AB|2 2k3 2 1k2 2， 解得 k4 3，直线方程为 y 4 3x 13 3 . 综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 y4 3x 13
17、 3 . 11已知圆 C 与直线 xy30 相切，直线 mxy10 始终平分圆 C 的面积，则圆 C 的 方程为() Ax2y22y2Bx2y22y2 Cx2y22y1Dx2y22y1 答案D 解析在直线 mxy10 的方程中， 令 x0，则 y1， 则直线 mxy10 过定点(0，1) 由于直线 mxy10 始终平分圆 C 的面积， 则点(0，1)是圆 C 的圆心， 又圆 C 与直线 xy30 相切， 则圆 C 的半径 r|13| 2 2. 因此，圆 C 的方程为 x2(y1)22，即 x2y22y1. 12(多选)直线 l 过点 P(1,3)且与圆(x2)2y24 交于 A，B 两点，若|
18、AB|2 3，则直线 l 的方程为() A4x3y130B3x4y150 C3x4y150Dx1 答案AD 解析由题意知圆心 C 的坐标为(2,0)，半径为 r2， 当直线 l 的斜率不存在时，即 x1，代入圆的方程可得 y23，解得 y 3， 所以弦长|AB|2 3，符合条件 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y3k(x1)， 即 kxyk30， 所以圆心到直线的距离 d|2kk3| 1k2 |k3| 1k2， 所以由题意，可知 2 32 r2d224 k3 1k2 2， 解得 k4 3， 所以这时直线方程为 y34 3(x1)， 即 4x3y130. 13若直线 2mxny
19、2(m0，n0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则4 m 1 n的 最小值是() A9B4C.1 2 D.1 4 答案A 解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为 C(1,2)，半径为 r2，直线被圆截得的 弦长为 4，则圆心在直线上，所以2m2n2，mn1.又 m0，n0，所以4 m 1 n(m n) 4 m 1 n 54n m m n52 4n m m n9，当且仅当 4n m m n，即 m 2 3，n 1 3时等号成立，所 以4 m 1 n的最小值是 9. 14在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABC
20、D 的面积为_ 答案10 2 解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，易知点 E 在圆内，由圆的性质可知最 长弦|AC|2 10，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点，且与 AC 垂直， 设点 F 为其圆心，坐标为(1,3) 故|EF| 5，所以|BD|2 10 522 5， 则 S四边形ABCD1 2|AC|BD|10 2. 15直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个交点，则 b 满足() A|b| 2B1b1 或 b 2 C1b1D非以上答案 答案B 解析曲线 x 1y2含有限制条件，即 x0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在 y 轴右侧(含与 y 轴的交点)
21、的部分 在同一平面直角坐标系中，画出 yxb 与曲线 x 1y2(就是 x2y21，x0)的图象，如 图所示 相切时，b 2，其他位置符合条件时需1b1. 16已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，半径为 2.且被直线 l：4x3y30 截得的弦长为 2 3. (1)求圆 C 的方程； (2)设 P 是直线 xy40 上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA，切点为 A，证明：经过 A， P，C 三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标 解(1)设圆心(a,0)(a0)，则圆心到直线 l：4x3y30 的距离 d|4a3| 5 ， 由题意可得，d2( 3)222，即4a3 2 25 34， 解得 a2 或 a1 2(舍去) 圆 C 的方程为(x2)2y24. (2)P 是直线 xy40 上一点 设 P(m，m4)， PA 为圆 C 的切线，PAAC， 即过 A，P，C 三点的圆是以 PC 为直径的圆 设圆上任一点 Q(x，y)， 则PQ CQ 0， PQ (xm，ym4)，CQ (x2，y)， PQ CQ (xm)(x2)y(ym4)0， 即 x2y22x4ym(xy2)0， 令 x2y22x4y0， xy20 解得 x1， y3 或 x2， y0. 经过 A，P，C 三点的圆必过定点(1，3)和(2,0)
