1、第第 3 课时课时空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向 量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系 导语 在上一节中，我们可以用向量来表示空间中直线、平面之间的平行关系，当直线、平面垂直 时如何用向量表示呢？ 一、直线和直线垂直 问题 1如图，直线 l1，l2的方向向量分别为 u1，u2，直线 l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么 关系？ 提示垂直 知识梳理 设直线 l1，l2的方向向量分别为 u1，u2，则 l1l2u1u2u1u20. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直
2、线的方向向量相互垂直 (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直 线方向向量的数量积为 0. 例 1如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧 棱 CC1上的点，且 CN1 4CC 1.求证：AB1MN. 证明方法一设AB a，ACb，AA 1 c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c| 1，acbc0，AB1 ac，AM 1 2(ab)， AN b1 4c，MN AN AM 1 2a 1 2b 1 4c， AB1 MN (ac) 1 2a 1 2b 1 4c1 2 1 2cos 60000
3、1 40. AB1 MN ，AB1MN. 方法二设 AB 的中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系由已知得 A 1 2，0，0，B 1 2，0，0， C 0， 3 2 ，0 ，N 0， 3 2 ，1 4 ， B1 1 2，0，1， M 为 BC 的中点， M 1 4， 3 4 ，0 . MN 1 4， 3 4 ，1 4 ，AB1 (1,0,1)， MN AB1 1 40 1 40. MN AB1 ， AB1MN. 反思感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方 向向量证明向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练 1如图， ABC 和
4、BCD 所在平面互相垂直， 且 ABBCBD2， ABCDBC 120，E，F 分别为 AC，DC 的中点求证：EFBC. 证明由题意，以点 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 易得 B(0,0,0)，A(0，1， 3)，D( 3，1,0)，C(0,2,0)， 因而 E 0，1 2， 3 2 ，F 3 2 ，1 2，0， 所以EF 3 2 ，0， 3 2 ，BC (0,2,0)， 因此EF BC0. 从而EF BC，所以 EFBC.
5、二、直线与平面垂直 问题 2如图，设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面的法向量，当直线 l 垂直平面时，u， n 之间有什么关系？ 提示平行(共线) 知识梳理 设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面的法向量，l，则 lunR，使得 un. 注意点 (1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行 (2)证明线面垂直的方法： 基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线 向量的数量积均为零，从而证得结论 坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不 共线向量的数量积均为零，从而证得结论 法向量法：建立空间直
6、角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后 说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论 例 2如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点求证：EF 平面 B1AC. 证明设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2) EF (1,1,2)(2,2,1) (1，1,1) AB1 (2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)， AC (0,2,0)(2,0,0)(2,2,0) 设平面 B1AC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB
7、1 2y2z0， nAC 2x2y0， 令 x1 得 n(1,1，1)， 又EF n， EF n， EF平面 B1AC. 反思感悟证明直线与平面垂直的方法： (1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明 (2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目 的 跟踪训练 2如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，AD PD，E，F 分别为 CD，PB 的中点求证：EF平面 PAB. 证明以 D 为坐标原点，DC，DA，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 设 D
8、A1，E(a,0,0)，其中 a0， 则 C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)， P(0,0,1)，F a，1 2， 1 2 ， EF 0，1 2， 1 2 ，PB (2a,1，1)，AB(2a,0,0) 所以EF PB0，EFAB0. 所以 EFPB，EFAB. 又 PB平面 PAB，AB平面 PAB，PBABB， 所以 EF平面 PAB. 三、平面与平面垂直 问题 3设 n1，n2分别是平面，的法向量，当平面垂直平面时，n1，n2之间有什么关系？ 提示垂直 知识梳理 设 n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2n1n20. 注意点： (1)若证面面垂直，则证两平面的法
9、向量垂直 (2)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二 是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直 (3)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量 表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度 例 3如图，在正三棱锥 PABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重心，E，F 分 别为 BC，PB 上的点，且 BEECPFFB12.求证：平面 GEF平面 PBC. 证明方法一如图，以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA，
10、PB，PC 所在直线分别作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 令 PAPBPC3，则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)， 于是PA (3,0,0)，FG (1,0,0)， 故PA 3FG ，PAFG. 而 PA平面 PBC，FG平面 PBC. 又 FG平面 EFG，平面 EFG平面 PBC. 方法二同方法一，建立空间直角坐标系， 则 E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0) 所以EF (0，1，1)，EG (1，1，1) 设平面 EFG 的法向量是 n(x，y，z)， 则有 nEF
11、 ，nEG . yz0， xyz0. 令 y1，得 z1，x0， 即 n(0,1，1) 显然PA (3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量 又 nPA 0，所以 nPA， 即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直， 所以平面 EFG平面 PBC. 延伸探究如图，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC 4，ABAD2. (1)求证：ACBF； (2)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得平面 PAC平面 BCEF？若存在，求出BP PE的值；若不存 在，请说明理由 (1)证明平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，
12、AFAD，AF平面 ADEF， AF平面 ABCD. AC平面 ABCD， AFAC.过 A 作 AHBC 于 H(图略)， 则 BH1，AH 3，CH3，AC2 3， AB2AC2BC2，ACAB. ABAFA，AB，AF平面 FAB， AC平面 FAB. BF平面 FAB，ACBF. (2)解存在 由(1)知，AF，AB，AC 两两垂直以 A 为坐标原点， AB ， AC，AF的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(1，3，2) 假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意， 则易知点 P
13、 不与点 B，E 重合， 设BP PE， 则0，P 2 1， 3 1， 2 1 . 设平面 PAC 的法向量为 m(x，y，z) 由AP 2 1， 3 1， 2 1 ，AC (0,2 3，0)， 得 mAP 2 1x 3 1y 2 1z0， mAC 2 3y0， 即 y0， z2 2 x， 令 x1，则 z2 2 ， 所以 m 1，0，2 2为平面 PAC 的一个法向量 同理，可求得 n 1， 3 3 ，1 为平面 BCEF 的一个法向量 当 mn0， 即2 3时，平面 PAC平面 BCEF， 故存在满足题意的点 P，此时BP PE 2 3. 反思感悟证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用
14、面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明 (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练 3如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB1 2PD. 证明：平面 PQC平面 DCQ. 证明如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA，DP，DC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 则 D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则DQ (1,1,0)，DC (0,0,1)，PQ (1，1,0)， PQ DQ 0，PQ DC 0， 即 PQDQ，PQDC， 又 DQDCD，DQ，DC
15、平面 DCQ， PQ平面 DCQ，又 PQ平面 PQC， 平面 PQC平面 DCQ. 1知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示 (2)直线与平面垂直的向量表示 (3)平面与平面垂直的向量表示 2方法归纳：转化法、法向量法 3常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混 1若平面，的法向量分别为 a(2，1,0)，b(1，2，0)，则与的位置关系是() A平行B垂直 C相交但不垂直D无法确定 答案B 解析ab2200， ab，. 2已知平面的法向量为 a(1,2，2)，平面的法向量为 b(2，4，k)，若，则 k 等于() A4B4C5D5 答案D 解析，ab，
16、ab282k0.k5. 3.如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD1， 若 E，F 分别为 PB，AD 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是_ 答案垂直 解析以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 则 E 1 2， 1 2， 1 2 ，F 1 2，0，0，EF 0，1 2， 1 2 ，平面 PBC 的一个法向量 n(0,1,1) EF 1 2n，EF n，EF平面 PBC. 4在三棱锥 SABC 中，SABSACACB90，AC2，BC 13，SB 29，则直
17、线 SC 与 BC 是否垂直_(填“是”或“否”) 答案是 解析如图，以 A 为坐标原点，平行于 BC 的直线为 x 轴，AC，AS 所在直线分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则由 AC2，BC 13，SB 29， 得 B( 13，2,0)，S(0,0,2 3)，C(0,2,0)， SC (0,2，2 3)， CB ( 13，0,0) 因为SC CB0， 所以 SCBC. 课时课时对点对点练练 1设 l1的一个方向向量为 a(1,3，2)，l2的一个方向向量为 b(4,3，m)，若 l1l2，则 m 等于() A1B.5 2 C.1 2 D3 答案B 解析因为 l1l2， 所以 ab
18、0， 即 1(4)33(2)m0， 所以 2m945，即 m5 2. 2若平面，的法向量分别为 a(1,2,4)，b(x，1，2)，且，则 x 的值为() A10B10 C.1 2 D1 2 答案B 解析因为，所以它们的法向量也互相垂直， 所以 ab(1,2,4)(x，1，2)0， 解得 x10. 3已知点 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐标 为() A(1,0，2)B(1,0,2) C(1,0,2)D(2,0，1) 答案C 解析由题意知AB (1，1，1)，AC (2,0,1)，AP (x，1，z)，又 PA平面 A
19、BC， 所以有AB AP(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0. AC AP(2,0,1)(x，1，z)0，得 2xz0， 联立得 x1，z2，故点 P 的坐标为(1,0,2) 4已知平面的法向量为 n(2，2,4)，AB (1,1，2)，则直线 AB 与平面的位置关系 为() AABBAB CAB 与相交但不垂直DAB 答案A 解析因为AB (1,1，2)，n(2，2,4)， 所以 n2AB ， 所以 nAB ，所以 AB. 5在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于() ABDBACCA1DDA1A 答案A 解析以 D 为坐标原点，DA，
20、DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系(图略) 设正方体的棱长为 1.则 C(0,1,0)， B(1,1,0)， A(1,0,0)， D(0,0,0)， C1(0,1， 1)， A1(1,0,1)， E 1 2， 1 2，1， CE 1 2， 1 2，1，AC (1,1,0)， BD (1，1,0)，A1D (1,0，1)， A1A (0,0，1)， CE BD (1)1 2(1) 1 2 010， CEBD. 6.(多选)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，M，N 分别是棱 DD1，D1C1 的中点，则直线 OM() A和 A
21、C 垂直 B和 AA1垂直 C和 MN 垂直 D与 AC，MN 都不垂直 答案AC 解析以 D 为原点， DA， DC， DD1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(图 略)设正方体的棱长为 2a，则 D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a， a,0)，N(0，a,2a) OM (a，a，a)，MN (0，a，a)，AC (2a,2a,0) OM MN 0，OM AC 0， OMAC，OMMN.OM 和 AA1显然不垂直 7在空间直角坐标系中，已知直角三角形 ABC 的三个顶点为 A(3，2,1)，B(
22、1，1， 1)，C(5，x,0)，则 x 的值为_ 答案0 或 9 解析A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x,0)， AB (2,1，2)，BC (4，x1,1)，AC (2，x2，1) 分三种情况： A 为直角，AB AC0，4x220，x0； B 为直角，AB BC0，8x120，x9； C 为直角，AC BC0，8(x1)(x2)10，x23x90，方程无解 综上，x 的值为 0 或 9. 8在ABC 中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1)若向量 n 与平面 ABC 垂直， 且|n| 21，则 n 的坐标为_ 答案(2,4,1)或(2，4，1) 解析根据题意，
23、得AB (1，1,2)，AC(1,0,2) 设 n(x，y，z)， n 与平面 ABC 垂直， nAB 0， nAC 0， 即 xy2z0， x2z0， 可得 xy 2， zy 4. |n| 21， x2y2z2 21， 解得 y4 或 y4. 当 y4 时，x2，z1；当 y4 时，x2，z1. n 的坐标为(2,4,1)或(2，4，1) 9.如图，在四面体 ABOC 中，OCOA，OCOB，AOB120，且 OAOBOC1，设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上，且 AB3AQ，证明：PQOA. 证明如图，连接 OP，OQ，PQ，取 O 为坐标原点，以 OA，OC 所在直线为 x 轴、
24、z 轴，建 立空间直角坐标系(如图所示) 则 A(1,0,0)，C(0,0,1)， B 1 2， 3 2 ，0 . P 为 AC 的中点，P 1 2，0， 1 2 . AB 3 2， 3 2 ，0 ， 又由已知，可得AQ 1 3AB 1 2， 3 6 ，0 . 又OQ OA AQ 1 2， 3 6 ，0 ， PQ OQ OP 0， 3 6 ，1 2 . PQ OA 0，PQ OA ，即 PQOA. 10.如图，在四棱锥 EABCD 中，AB平面 BCE，CD平面 BCE，ABBCCE2CD2， BCE120， 求证：平面 ADE平面 ABE. 证明取 BE 的中点 O，连接 OC， 因为 AB
25、平面 BCE， 所以以 O 为原点建立空间直角坐标系(如图所示) 则有 C(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0， 3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2) 于是AE (0，2 3，2)， DA (1，3，1) 设平面 ADE 的法向量为 n(a，b，c)， 则 nAE (a，b，c)(0，2 3，2)2 3b2c0， nDA (a，b，c)(1，3，1)a 3bc0. 令 b1，则 a0，c 3，所以 n(0,1， 3) 又 AB平面 BCE，OC平面 BCE， 所以 ABOC. 因为 BEOC，ABBEB，AB，BE平面 ABE， 所以 OC平面 ABE. 所以平面 ABE 的法向量
26、可取为 m(1,0,0) 因为 nm(0,1， 3)(1,0,0)0，所以 nm， 所以平面 ADE平面 ABE. 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E2 3A 1D，AF1 3AC， 则() AEF 至多与 A1D，AC 中的一个垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面 答案B 解析以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角 坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，E 1 3，0， 1 3
27、 ， F 2 3， 1 3，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， A1D (1,0，1)，AC(1,1,0)， EF 1 3， 1 3， 1 3 ，BD1 (1，1,1)， EF 1 3BD 1 ，A1D EF0，ACEF0， 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC，故选 B. 12.如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点，当 BFPE 时，AFFD 的比值为() A.1 2 B1 C3D2 答案B 解析以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 设正方形边长为
28、1，PAa， 则 B(1,0,0)，E 1 2，1，0，P(0,0，a) 设点 F 的坐标为(0，y,0)， 则BF (1，y,0)，PE 1 2，1，a. 因为 BFPE， 所以BF PE0， 解得 y1 2，即点 F 的坐标为 0，1 2，0， 所以 F 为 AD 的中点，所以 AFFD11. 13.如图，已知点 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，AA1的中点，点 M，N 分别 是线段 D1E，C1F 上的点，则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有_条 答案1 解析假设存在满足条件的直线 MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长 为 2，则 D1(2,
29、0,2)，E(1,2,0)， 设 M(x，y，z)， D1M mD 1E (0m1)， 所以(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m， 所以 M(2m,2m,22m)， 同理，若设C1N nC 1F (0n1)， 可得 N(2n,2n,2n)， MN (m2n2,2n2m,2mn)， 又因为 MN平面 ABCD， CD (2,0,0)，CB (0,2,0)， 所以MN CD 0，MN CB 0， 即 m2n20， 2n2m0， 解得 m2 3， n2 3， 即存在满足条件的直线 MN，有且只有一条 14如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是正
30、方形，AB2，E 是 PB 的中点，cosDP ， AE 3 3 . (1)建立适当的空间直角坐标系，则点 E 的坐标是_；(2)在底面 ABCD 内求一点 F，使 EF平面 PCB，则点 F 的坐标是_ 答案(1)(1,1,1)(2)(1,0,0) 解析(1)以 D 为原点， DA，DC， DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(图 略)，由已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，设 DPt(t0)，则 P(0,0，t)，A(2，0,0)，B(2,2,0)， C(0,2,0)， 则 E 1，1，1 2t，DP (0,0，t)，AE 1，1，1 2t. 故 cosD
31、P ， AE DP AE |DP |AE | 1 2t 2 t21 4t 2 t 8t2.由已知，得 t 8t2 3 3 ，解得 t2， 故 E(1,1,1) (2)设 F(m，n,0)，则EF (m1，n1，1) 又BC (2,0,0)，PC(0,2，2)， 则 2m10， 2n120. 解得 m1， n0， 故 F(1,0,0) 15.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，BAC90，ABACAA1 1，D 是棱 CC1的中点，P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点，若点 Q 在线段 B1P 上， 则下列结论正确的是() A当点 Q 为线段 B1P
32、 的中点时，DQ平面 A1BD B当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面 A1BD C在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BD D不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 答案D 解析以 A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系(图略)，则由已知得 A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)， D 0，1，1 2 ， P(0,2,0)，A1B (1,0,1)，A 1D 0，1，1 2 ，B1P (1,2,0)， DB 1 1，1，1 2 . 设平面 A1BD 的法向量
33、为 n(x，y，z)， 则 nA1B xz0， nA1D y1 2z0， 取 z2，则 x2，y1， 所以平面 A1BD 的一个法向量为 n(2,1，2) 假设 DQ平面 A1BD，且B1Q B 1P (1,2,0)(，2，0)， 则DQ DB1 B1Q 1，12，1 2 ， 因为DQ 也是平面 A1BD 的法向量， 所以 n(2,1，2)与DQ 1，12，1 2 共线， 于是有1 2 12 1 1 2 2 1 4成立， 但此方程关于无解 故不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 16.如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCkPA，点 O，D 分别是 AC，PC 的中点， OP底面 A
34、BC. (1)求证：OD平面 PAB； (2)当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？ (1)证明连接 OB， OP平面 ABC，OAOC，ABBC， OAOB，OAOP，OBOP， 以 O 为原点，射线 OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系(如图) 设 ABa，则 A 2 2 a，0，0 ，B 0， 2 2 a，0 ， C 2 2 a，0，0 . 设 OPh，则 P(0,0，h) D 为 PC 的中点， OD 2 4 a，0，1 2h， 又PA 2 2 a，0，h ， OD 1 2PA ， OD PA ， OD平面 PAB. (2)解PBC 的重心 G 2 6 a， 2 6 a，1 3h， OG 2 6 a， 2 6 a，1 3h， OG平面 PBC， OG PB ， 又PB 0， 2 2 a，h ， OG PB 1 6a 21 3h 20， h 2 2 a， |PA | |OA |2h2a，即 k1， 反之，当 k1 时，三棱锥 OPBC 为正三棱锥， 此时 O 在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心
