1、课时作业(十二)函数模型及其应用 基础过关组 一、选择题 1 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台， 第二个月销售 200 台， 第三个月销售 400 台， 第四个月销售790台， 则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是() Ay100 xBy50 x250 x100 Cy502xDy100log2x100 解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即 可得。故选 C。 答案C 2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则 该家具的进货价是() A118 元B105
2、元 C106 元D108 元 解析设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108。故选 D。 答案D 3某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况。 加油时间加油量/升加油时累计里程/千米 2021 年 3 月 1 日1235 000 2021 年 3 月 15 日6035 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油 量为() A6 升B8 升 C10 升D12 升 解析因为第二次加满油箱时加油量为 60 升，所以从第一次加油到第二次加油共用油 60 升， 行驶了 600 千米，所以在这
3、段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 60 60010010(升)。故选 C。 答案C 4(2021广西柳州模拟)一种叫万年松的树的生长时间 t(年)与树高 y(m)之间的散点图如图所示。 请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是() Ay2tBylog2t Cyt3Dy2t2 解析由散点图可知函数的增长速度越来越慢，排除 A，C，D。故选 B。 答案B 5某企业施行节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2 万元，从第 二年起，每年运营费用均比上一年增加 3 万元，该设备每年生产的收入均为 21 万元。设该设备使用 了 n(nN*
4、)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则 n 等于() A6B7 C8D7 或 8 解析盈利总额为 21n9 2n1 2nn133 2n 241 2 n9。因为其对应的函数的图象的 对称轴方程为 n41 6 ，所以当 n7 时取最大值，即盈利总额达到最大值。故选 B。 答案B 6素数也叫质数，法国数学家马林梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将 “2n1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数。已知第 20 个梅森素数为 P24 4231，第 19 个梅森 素数为 Q24 2531，则下列各数中与P Q最接近的数为(参考数据：lg 20.3)( ) A1045B
5、1051 C1056D1059 解析由题知P Q 24 4231 24 25312 170。令 2170k，则 lg 2170lg k，所以 170lg 2lg k。又 lg 20.3， 所以 51lg k，即 k1051，所以与P Q最接近的数为 10 51。故选 B。 答案B 7某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到 100 ，水温 y()与时间 t(min)近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度 y()与时间 t(min)近似满 足函数的关系式为 y80 1 2 ta 10 b(a，b 为常数)，通常这种热饮在 40 时，口感最佳。某天室温为 20 时
6、，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最 少需要的时间为() A35 minB30 min C25 minD20 min 解析由题意知， 当 0t5 时， 函数图象是一条线段， 当 t5 时， 函数的解析式为 y80 1 2 ta 10 b，将点(5,100)和点(15,60)，代入解析式，有 10080 1 2 5a 10 b， 6080 1 2 15a 10 b， 解得 a5，b20，故函 数的解析式为 y80 1 2 t5 10 20，t5。令 y40，解得 t25，所以最少需要的时间为 25 min。 答案C 二、填空题 8拟定甲、乙两地通话 m
7、 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)1.06(0.5m1)给出，其中 m0， m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 _元。 解析因为 m6.5，所以m6，则 f(m)1.06(0.561)4.24。 答案4.24 9李冶(11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙 山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边 长等。其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的 面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均
8、为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算)_步、_步。 解析设圆池的半径为 r 步， 则方田的边长为(2r40)步， 由题意， 得(2r40)23r213.75240， 解得 r10 或 r170(舍)，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步。 答案2060 10已知 14C 的半衰期为 5 730 年(是指经过 5 730 年后，14C 的残余量占原始量的一半)。设14C 的原始量为 a，经过 x 年后的残余量为 b，残余量 b 与原始量 a 的关系如下：bae kx，其中 x 表示 经过的时间， k为一个常数。 现测得湖南长
9、沙马王堆汉墓女尸出土时 14C的残余量约占原始量的76.7%， 请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今_年。(已知 log20.7670.4) 解析由 bae kx， 可得1 2e 5 730 k， 两边取以 2 为底的对数可得15 730klog 2e。 由 0.767 e kx，两边取以 2 为底的对数可得 log 20.767kxlog2e，可得 0.4 x 5 730，即 x2 292。 答案2 292 11(2019北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、 西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒。为增加销量，李明
10、对这四种水果进 行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明 会得到支付款的 80%。 (1)当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值 为_。 解析(1)顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，共需 6080140(元)，总价达到 120 元，又 x10， 即顾客少付 10 元，所以需要支付 130 元。 (2)设顾客买水果的总价为 a 元， 当 0a0，ba0，k，a，b 为常数，对于某一种药物 k4，a1，b 2。 (1)口服药物
11、后_小时血液中药物浓度最高。 (2)这种药物服药 n(nN*)小时后血液中药物浓度 f(n)如下表： n1234 f(n)0.954 50.930 40.693 20.468 0 n5678 f(n)0.301 00.189 20.116 30.072 一个病人上午 8：00 第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上，第三次服 药的时间是_。(时间以整点为准) 解析(1)药物浓度 y(单位)与时间 t(时)的关系为 yk(e atebt)，对于某一种药物 k4，a1， b2，代入可得 y4(e te2t)4 1 e2t 1 et4 1 e t 2 1 et 1 4 14
12、1 et 1 2 21，所以当1 et 1 20， 即 tln 2 时取得最大值。 (2)由题可知，病人上午 8：00 第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上， 则第二次服药时间在 11：00。第一次服药 7 个小时后药物浓度为 0.116 3，此时为第二次服药后 4 个 小时， 药物浓度为0.468 0， 而0.116 30.468 00.584 30.5； 第一次服药8个小时后的药物度为0.072， 此时为第二次服药后 5 个小时，药物浓度为 0.301 0，而 0.0720.301 00.373 00.5。综上可知，若 使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上， 则第三次服药时间为第一次服药后的 7 个小时， 即 为 15：00。 答案(1)ln 2(2)15：00
