1、课时作业(十一)函数与方程 基础过关组 一、单项选择题 1函数 f(x)3x8 的零点是() Alog38Blog83 C(log38,0)D(log83,0) 解析令 f(x)0，则 3x80，即 3x8，解得 xlog38。故选 A。 答案A 2设 f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数 f(x)有零点的区间是() A0,1B1,2 C2，1D1,0 解析(定理法)函数 f(x)在区间a，b上有零点，需要 f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值 异号，即 f(a)f(b)0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案 D。 答案D 3方程 2 xx23 的实数解的个数为( ) A2B3 C
2、1D4 解析构造函数 y2 x 与 y3x2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方 程 2 xx23 的实数解的个数为 2。故选 A。 答案A 4(2021郑州质检)函数 f(x)ln x 1 x1的零点的个数是( ) A0B1 C2D3 解析y 1 x1与 yln x 的图象有两个交点。 答案C 5 (2021山东济宁市模拟)已知实数 a1,0b1,0b1， 所以 f(x)axxb 在 R 上是增函数， 所以 f(1)1 a1b0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(1,0)上存在零点。 答案B 6函数 f(x)ln(x1)2 x的零点所在的区间是( ) A 1 2，1B(1
3、，e1) C(e1,2)D(2，e) 解析(定理法)因为 f 1 2 ln 3 240，f(1)ln 220，f(e1)1 2 e10， 所以 f(e1)f(2)0，故函数的零点所在的区间是(e1，2)。 答案C 7若 f(x)是奇函数，且 x0是函数 yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点 () Ayf(x)e x1 Byf(x)e x1 Cyf(x)ex1Dyf(x)ex1 解析因为 x0是 yf(x)ex的一个零点，所以 f(x0)ex 00，又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x 0) f(x0)，所以f(x0)ex 00，即 f(x 0)ex 00。所以 f(x 0
4、)ex 01fx0e x0 e x0 0，故 x0一定是 yf(x)ex1 的零点。故选 C。 答案C 8如果函数 f(x)的图象上存在两个不同的点 A，B 关于原点对称，则称 A，B 两点为一对友好点， 规定 A，B 和 B，A 是同一对友好点。已知 f(x) |cos x|，x0， lgx，x0 的解的个数，也是函数 y|cos x|的图象与 ylg x 的图象的交点个数，作 出函数 y|cos x|与 ylg x 的图象，如图所示，由图可得，共有 7 个交点，即函数 f(x)的图象上共存 在友好点 7 对。故选 D。 答案D 二、多项选择题 9 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)图象连
5、续不断， 且满足 f(x2)f(x)， 则以下结论成立的是() A函数 f(x)的周期 T2 Bf(2 019)f(2 020)0 C点(1,0)是函数 yf(x)图象的一个对称中心 Df(x)在2,2上有 4 个零点 解析定义在 R 上的奇函数 f(x)图象连续不断，且满足 f(x2)f(x)，所以函数的周期为 2，所 以 A 正确；f(12)f(1)，即 f(1)f(1)f(1)，所以 f(1)f(1)0，所以 f(2 019)f(1)0， f(2 020)f(0)0，所以 B 正确，C 正确；f(x)在2，2上有 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)0，有 5 个零点，所以 D 错误
6、。故选 ABC。 答案ABC 10在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限 维空间并构成了一般不动点定理的基石。简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 f(x)，存在一个 点 x0，使得 f(x0)x0，那么我们称该函数为“不动点”函数。下列为“不动点”函数的是( ) Af(x)ln x Bf(x)x22x3 Cf(x) 2x21，x1， |2x|，x1 Df(x)x1 x 解析对于 A，因为 xx1ln x，所以 ln xx 无解，所以该函数不是“不动点”函数；对于 B，令 x22x3x，得 x2x30，因为14(3)0，所以方程 x2x30 有两个不等
7、的 实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于 C，当 x1 时，令 2x21x，得 x1 2或 x1，从 而该函数为“不动点”函数；对于 D，令 x1 xx，得 1 x0，无解，因而该函数不是“不动点”函数。 故选 BC。 答案BC 三、填空题 11已知函数 f(x) 2 3x1a 的零点为 1，则实数 a 的值为_。 解析由已知得 f(1)0，即 2 311a0，解得 a 1 2。 答案1 2 12若函数 f(x)2x1log2a 有零点，则 a 的取值范围为_。 解析因为 2x0，所以 f(x)1log2a，又由指数函数的单调性可知，f(x)2x1log2a 单调递 增，所以函数 f(x)
8、2x1log2a 有零点，只需 1log2a0，解得 0a1， 2xa，x1。 (1)当 a1 时，函数 f(x)的值域是_； (2)若函数 f(x)的图象与直线 y1 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是_。 解析(1)由题意知 a1，当 x1 时，f(x)2x1(1,1，当 x1 时，f(x)2x1 时，令 f(x)2|x|1，方程无解，故 f(x)2xa 的图象在(，1上与直线 y1 只 有一个公共点，则方程 a2x1 在(，1上只有一个解，结合(1)知实数 a 的取值范围是(1,1。 答案(1)(，1(2)(1,1 素养提升组 15定义在 R 上的函数 yf(x2)的图象关于直线
9、x2 对称，且函数 f(x1)是偶函数，若当 x0,1时，f(x)sin 2x，则函数 g(x)f(x)e |x|在区间2 016，2 016上的零点个数为( ) A4 032B4 034 C2 017D2 018 解析因为函数 yf(x2)的图象关于直线 x2 对称，函数 yf(x)的图象是由函数 yf(x2) 的图象向右平移两个单位长度得到的，所以函数 yf(x)的图象关于直线 x0 对称，所以函数 yf(x) 是偶函数，所以 f(x)f(x)。因为函数 f(x1)是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f( x)f(x)，所以函数 f(x)是周期为 2 的偶函数。由 x0,
10、1时，f(x)sin 2x 可作出 yf(x)与 y 1 e |x|的 图象如图所示，可知每个周期内有 2 个交点，所以函数 g(x)f(x)e |x|在区间2 016，2 016上的 零点个数为 2 01624 032。故选 A。 答案A 16函数 yf(x)的定义域为2.1,2，其图象如图所示，且 f(2.1)0.96。 (1)若函数 yf(x)k 恰有 2 个不同的零点，则 k_。 (2)已知函数 g(x) 2x1，x0， x32x16，x0， 则 yg(f(x)有_个不同的零点。 解析(1)因为 yf(x)k 恰有 2 个不同的零点，所以 yf(x)和 yk 的图象有 2 个不同的交点。 由图可得当 yf(x)和 yk 的图象有 2 个不同的交点时，k4 或 k0。 (2)因为 g(x) 2x1，x0， x32x16，x0， 所以当 x0 时，由 2x10，得 x1 2。当 f(x) 1 2时， 由图可知 g(f(x)0 有一个解。当 x0 时，易知 g(x)x32x16 单调递增，因为 g(2)4，g(3) 17，所以 g(x)在(2,3)上有一个零点 x0，当 f(x)x0，x0(2,3)时，由 f(x)的图象可知 g(f(x)0 有 3 个 解，所以 yg(f(x)共有 4 个零点。 答案(1)4 或 0(2)4
