1、课时作业(五)函数的单调性与最值 基础过关组 一、单项选择题 1(2021北京市适应性测试)下列函数中，在区间(0，)上为减函数的是() Ay x1Byx21 Cy 1 2 x Dylog2x 解析函数 y x1在区间1，)上为增函数；函数 yx21 在区间(0，)上为增函数；函数 y 1 2 x在区间(0，)上为减函数；函数 ylog2x 在区间(0，)上为增函数。综上所述。故选 C。 答案C 2函数 y x22x3有() A最小值 2B最小值 2 C最大值 2D最大值 2 解析易知 y x122，因为(x1)222，所以 y 2。故选 B。 答案B 3函数 y 2x x1( ) A在区间(
2、1，)上单调递增 B在区间(1，)上单调递减 C在区间(，1)上单调递增 D在定义域内单调递减 解析y 2x x1 2x12 x1 2 2 x1，由此可得函数在(，1)和(1，)上单调递减。故选 B。 答案B 4已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围是() A 1 3， 2 3B 1 3， 2 3 C 1 2， 2 3D 1 2， 2 3 解析因为函数 f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足 f(2x1)f 1 3 ，所以 02x11 3，解得 1 2xf(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3
3、)f(2) Df()f(2)f(3)f(2)，即 f()f(3)f(2)。故选 A。 答案A 6已知函数 f(x)loga(x22x3)(a0 且 a1)，若 f(0)0， 可得3x1， 故函数的定义域为x|3x1。 根据 f(0) loga30，可得 0a1)，令 yt1 t ，由对勾函数的性质可知在(1，)上 yt 1 t 单调递增，又 tex单调递增，所以 f(x)exe x 在(0，)上单调递增，故 B 符合题意；对于 C，f( x)(x)21x21f(x)，即 f(x)x21 为偶函数，由二次函数性质可知 f(x)图象的对称轴为直线 x0， 则 f(x)x21 在(0，)上单调递增，
4、故 C 符合题意；对于 D，由余弦函数的图象与性质可知 f(x)cos x 3 是偶函数，但在(0，)上不是单调函数，故 D 不符合题意。故选 BC。 答案BC 8已知函数 f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，则() A0a1 Ba1 Cf(a2 019)f(2 020) Df(a2 019)f(2 020) 解析f(x)loga|x1|的定义域为(，1)(1，)。设 z|x1|，可得函数 z 在(，1)上单调递 减；在(1，)上单调递增，当 a1 时，f(x)logaz 在 z(0，)上单调递增，可得函数 f(x)loga|x1| 在区间(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增
5、；当 0a1 时，f(x)logaz 在 z(0，)上单调递 减，可得函数 f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减。由题意可得 0a1， 故 A 正确，B 错误；由于 0a1，可得 1a2 0192 020，又 f(x)在(1，)上单调递减，则 f(a2 019) f(2 020)，故 C 正确，D 错误。故选 AC。 答案AC 三、填空题 9函数 ylog1 2 |x3|的单调递减区间是_。 解析令 u(x)|x3|，则在(，3)上 u(x)为减函数，在(3，)上 u(x)为增函数。又因为 01 21， 所以在区间(3，)上，函数 ylog1 2 |x3|为减
6、函数。 答案(3，) 10函数 f(x) 1 x，x1， x22，x1 的最大值为_。 解析当 x1 时，函数 f(x)1 x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围。 解(1)证明：当 a2 时，f(x) x x2。 任取 x1，x2(，2)，且 x10，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(，2)内单调递增。 (2)任取 x1，x2(1，)，且 x10，x2x10，又由题意知 f(x1)f(x2)0， 所以(x1a)(x2a)0 恒成立，所以 a1。 所
7、以 00 时，f(x)x2， 则 x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)， 因为 x0 时，f(x)0，所以 f(x1x2)0， 所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在 R 上是减函数。 (3)因为 f(x)是 R 上的减函数， 所以 f(x)在3,3上也是减函数， 所以 f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)和 f(3)， 而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2， 所以 f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2。 素养提升组 14已知 f(x)为定义在(0，)上的函数，对任意两个不相等的正实数 x1，x2，都有x2fx1x1fx2 x1
8、x2 0， 记 af2 0.2 20.2 ，bf0.2 2 0.22 ，cflog25 log25 ，则() AabcBbac CcabDcba 解析由题知， f(x)是定义在(0， )上的函数， 对任意两个不相等的正实数 x1， x2， 都有x2fx1x1fx2 x1x2 0， 即 fx1 x1 fx2 x2 x1x2 0， 即fx1 x1 fx2 x2 与 x1x2异号， 所以函数 yfx x 是(0， )上的减函数。 因为 120.22,00.222，所以 0.2220.2log25，所以 ca2 的解集为_。 解析由题意知，f(x)f(x)2，所以 f(2x1)f(2x)2 可化为 f
9、(2x1)f(2x)，又由题意知函数 f(x) 在 R 上单调递增，所以 2x12x，所以 x1 4，所以原不等式的解集为 1 4，。 答案 1 4， 16已知函数 f(x)lg xa x2，其中 a 是大于 0 的常数。 (1)求函数 f(x)的定义域； (2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值； (3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围。 解(1)由 xa x20，得 x22xa x 0。 当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为(0，)； 当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1； 当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a。 (2)设 g(x)xa x2，当 a(1,4)，x2，)时， g(x)xa x2 在2，)上是增函数。 所以 f(x)lg xa x2在2，)上是增函数， 所以 f(x)lg xa x2在2，)上的最小值为 f(2)lg a 2。 (3)对任意 x2，)恒有 f(x)0， 即 xa x21 对 x2，)恒成立。 所以 a3xx2，x2，)。 设 h(x)3xx2，x2，)， 则 h(x)3xx2 x3 2 29 4在2，)上是减函数， 所以 h(x)maxh(2)2。所以 a2。 即 a 的取值范围是(2，)。
