1、课时作业(四十三)空间点、直线、平面之间的位置关系 基础过关组 一、单项选择题 1已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b() A一定是异面直线B一定是相交直线 C不可能是平行直线D不可能是相交直线 解析由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线， 但不可能为平行直线， 若 bc， 则 ab， 与已知 a，b 为异面直线相矛盾。 答案C 2已知平面平面，直线 a，b，那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定是() A平行B异面 C垂直D不相交 解析由平面平面，直线 a，b，知直线 a 与直线 b 的位置关系是平行或异面，即两直线不相 交。故选 D。 答
2、案D 3在长方体 ABCDA1B1C1D1中，与直线 A1B 异面的是() A直线 AB1B直线 CD1 C直线 B1CD直线 BC1 解析如图所示，易知 D1CA1B，AB1与 A1B 相交，B1C 与 A1B 异面，BC1与 A1B 相交。故选 C。 答案C 4下面四个说法中正确的是() A如果两个平面有四个公共点，那么这两个平面重合 B两条直线可以确定一个平面 C若 M，M，l，则 Ml D在空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 解析对于 A，若四个公共点不在同一条直线上，则这两个平面重合，若四个公共点在同一条直线上， 则这两个平面可能相交；对于 B，两条异面直线不能确定一个平面；
3、对于 C，若 M，M，则 M 是平面 与的公共点，又l，则 Ml；对于 D，在空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也 可能不在同一平面内。故选 C。 答案C 5(2021湖北武汉测试)在四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 上分别取点 E，F，G，H，若直线 EF， GH 相交于点 P，则() A点 P 必在直线 AC 上 B点 P 必在直线 BD 上 C点 P 必在平面 ABD 内 D点 P 必在平面 BCD 内 解析因为 EF 在平面 ABC 上，GH 在平面 ADC 上，且 EF，GH 相交于点 P，所以 P 在平面 ABC 与平 面 ADC 的交线上，又直线 AC
4、 是平面 ABC 与平面 ADC 的交线，所以点 P 必在直线 AC 上。故选 A。 答案A 6.(2021湖北名师联盟第一次联考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，A1D1的中点， O 为正方形 A1B1C1D1的中心，则() A直线 EF，AO 是异面直线 B直线 EF，BB1是相交直线 C直线 EF 与 BC1所成的角为 30 D直线 EF，BB1所成角的余弦值为 3 3 解析连接 AF，EO，OF，易知四边形 AEOF 为平行四边形，所以直线 EF，AO 相交，故 A 不正确；直 线 EF，BB1是异面直线，故 B 不正确；以点 D 为原点，分别以DA
5、， DC ，DD1 的方向为 x，y，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设该正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(2,1,0)，F(1,0,2)，B1(2,2,2)， C1(0,2,2)，则BC1 (2,0,2)，FE (1,1，2)，BB1 (0,0,2)，所以|cosFE ， BC1 | 6 114 44| 3 2 ， |cosFE ， BB1 | 4 1142| 6 3 ，所以直线 EF 与 BC1所成的角为 30，直线 EF，BB1所成角的余弦值 为 6 3 。故 C 正确，D 不正确。 答案C 7如图所示，是某个正方体的表面展开图，l1，l2是
6、两条面对角线，则在正方体中，有下面关于 l1与 l2 的四个结论，其中正确的是() A互相平行B异面垂直 C异面且夹角为 3 D相交且夹角为 3 解析将展开图还原成正方体，如图所示，则 B，C 两点重合，故 l1与 l2相交，连接 AD，则ABD 为正 三角形，所以 l1与 l2的夹角为 3。 答案D 二、多项选择题 8下列四个命题，其中正确的是() A存在与两条异面直线都平行的平面 B过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行 C过平面外一点可作无数条直线与该平面平行 D过直线外一点可作无数个平面与该直线平行 解析将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面
7、且与该平面平 行，故 A 正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故 B 不正确；C 正确；D 正确。故选 ACD。 答案ACD 9 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 过对角线 AC1的一个平面交 BB1于点 E， 交 DD1于点 F， 得四边形 AEC1F， 则下列结论正确的是() A四边形 AEC1F 可能是菱形 B四边形 AEC1F 在底面 ABCD 内的投影不可能是正方形 C四边形 AEC1F 所在平面不可能垂直于平面 ACC1A1 D四边形 AEC1F 一定不是梯形 解析当点 E， F 分别是 BB1， DD1的中点时， 四边形 AEC1F 是菱形， A 正确；
8、四边形 AEC1F 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形， B 错误； 当点 E， F 分别是 BB1， DD1的中点时， EF平面 ACC1A1， 此时四边形 AEC1F 所在平面垂直于平面 ACC1A1，C 错误；四边形 AEC1F 一定是平行四边形，不可能是梯形，D 正确。故选 AD。 答案AD 三、填空题 10圆心和圆上任意两点可确定的平面有_。 解析若圆心和圆上的两点共线，则可确定无数个平面；若圆心和圆上的两点不共线，则可确定 1 个平 面。 答案1 个或无数个 11.(2021辽宁沈阳模拟)如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面半圆 AB 的中点，C1 是
9、圆柱上底面半圆 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_。 解析如图，在圆柱下底面圆的圆周上取点 D，其中 C 与 D 的连线垂直于 AB，连接 C1D，AD，因为 C 是圆柱下底面半圆 AB 的中点，所以 ADBC，所以直线 AC1与 AD 所成的角等于异面直线 AC1与 BC 所成的 角。易知 C1D圆柱下底面，所以 C1DAD。因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D 2AD，所以 直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 2。所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2。 答案2 四、解答题 12.如图所示，A 是BCD 所在平面外的一点，E，F
10、 分别是 BC，AD 的中点。 (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 ACBD，ACBD，求 EF 与 BD 所成的角。 解(1)证明： 假设 EF 与 BD 不是异面直线， 则 EF 与 BD 共面， 从而 DF 与 BE 共面， 即 AD 与 BC 共面， 所以 A，B，C，D 四点在同一平面内，这与 A 是BCD 所在平面外的一点相矛盾。故直线 EF 与 BD 是异面 直线。 (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 ACFG，EGBD， 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即异面直线 EF 与 BD 所成的角(或其补角)。 又因为 ACBD，则 FGEG
11、。 在 RtEGF 中，由 EGFG1 2AC， 求得FEG45， 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45。 13如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点。已知BAC 2，AB2，AC2 3， PA2。求： (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值。 解(1)SABC1 222 32 3，三棱锥 PABC 的体积为 V 1 3S ABCPA1 32 32 4 3 3 。 (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC， 所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角。 在ADE 中，DE2，
12、AE 2，AD2， cosADEAD 2DE2AE2 2ADDE 2 2222 222 3 4。 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为3 4。 素养提升组 14.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，且异面直线 BD1与 AA1所成角的余弦值为 6 3 ， 则该长方体外接球的体积为() A24B8 6 C6 6D8 解析因为 AA1DD1，所以异面直线 BD1与 AA1所成的角为DD1B，则 cosDD1B 6 3 。连接 BD(图 略)，在 RtDD1B 中，设 DD1x。因为 BD AB2AD22 2，所以 BD1 8x2，所以 x 8x2 6 3 ，所 以
13、x4，则长方体外接球的直径为 BD12 6，半径 R 6，V4 3( 6) 38 6。故选 B。 答案B 15(2020新高考卷)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD60，以 D1为球心， 5为 半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_。 解析如图，连接 B1D1，易知B1C1D1为正三角形，所以 B1D1C1D12。分别取 B1C1，BB1，CC1的 中点 M，G，H，连接 D1M，D1G，D1H，则易得 D1GD1H 2212 5，D1MB1C1，且 D1M 3。由题 意知 G，H 分别是 BB1，CC1与球面的交点。在侧面 BCC1B1内任取一点 P，使 MP
14、2，连接 D1P，则 D1P D1M2MP2 32 22 5，连接 MG，MH，易得 MGMH 2，故可知以 M 为圆心， 2为半径 的圆弧 GH 为球面与侧面 BCC1B1的交线。由B1MGC1MH45知GMH90，所以GH 的长为 1 42 2 2 2 。 答案 2 2 16如图，正方形 ABCD 的边长为 2，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中 点，N 是线段 AC 上的动点。 (1)探究 M，N，B，E 四点共面时，N 点的位置，并证明； (2)当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离。 解(1)当 N 是线段 AC 的中点时
15、，M，N，B，E 四点共面。证明如下。 如图，连接 BD，过相交直线 BD，DE 有且只有一个平面 BDE， 因为 M 是线段 ED 的中点，所以 M 在平面 BDE 内， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以当 N 是线段 AC 的中点时， N 是正方形 ABCD 的中心，必为 BD 的中点，所以 N 在平面 BDE 内。 分析可知，当 N 是线段 AC 的中点时，M，N，B，E 四点共面。 (2)由(1)知，M，N，B，E 四点共面时，平面 MNBE 即平面 BDE。 过 E 作 CD 的垂线，垂足记为 F，因为ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD， 所以 F 是 CD 的中点，EF平面 ABCD。 因为 BCCD，所以 BC平面 ECD， 又 EC平面 ECD，所以 BCCE。 EF 3，BDBE2 2， VEBCD1 3 1 222 32 3 3 ， SBDE1 22 7 7， 因为 VEBCDVCBDE，所以 C 到平面 MNBE 的距离 d2 3 7 2 21 7 。
