1、专题层级快练专题层级快练(六十二六十二) 1(2020海南新高考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2，3)，点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为1 2. (1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值 答案(1)x 2 16 y2 121 (2)18 解析(1)椭圆 C 的左顶点为 A(a，0)，则直线 AM 的斜率为 3 2a 1 2.又点 M 在椭圆 C 上，则4 a2 9 b21， 联立，解得 a4，b212， 故椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)设过点 N 与椭圆相切，且与直线 AM 平行的直线 l 的
2、方程为 y1 2xm， 联立 y1 2xm， x2 16 y2 121， 消去 y，可得 x2mxm2120， 由m24(m212)0，解得 m4， 易知当 m4 时，直线 l 与直线 AM 距离较远，此时直线 l 的方程为 y1 2x4， 则直线 l 与直线 AM 的距离就是点 A(4，0)到直线 l 的距离 d 1 2（4）04 1 2 2 （1）2 12 5 5 ， 因此，AMN 的面积的最大值为1 2|AM|d 1 2 （24）23212 5 5 18. 2(2021济宁嘉祥第一中学模拟)如图，已知抛物线 E：x22py(p0)与圆 O：x2y25 相交于 A，B 两点，且|AB|4.
3、过劣弧 AB 上的动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物 线 E 的切线 l1，l2，相交于点 M. (1)求抛物线 E 的方程； (2)求点 M 到直线 CD 距离的最大值 答案(1)x24y(2)18 5 5 解析(1)|AB|4，且 A，B 在圆上，圆心 O 到弦 AB 的距离 d 5221， 由抛物线和圆的对称性可得 B(2，1)，代入抛物线可得 42p，解得 p2， 抛物线 E 的方程为 x24y. (2)设 C x1，1 4x 12 ，D x2，1 4x 22 ，由 x24y，可得 y1 4x 2，y1 2x， 则 l1
4、的方程为：y1 4x 121 2x 1(xx1)，即 y1 2x 1x1 4x 12， 同理 l2的方程为：y1 2x 2x1 4x 22， 联立解得 x1 2(x 1x2)，y1 4x 1x2， 由直线 CD 与圆 x2y25 切于点 P(x0，y0)， 易得 CD 方程为 x0 xy0y5，其中 x0，y0满足 x02y025，y01， 5， 联立 x24y， x0 xy0y5，化简得 y 0 x24x0 x200，16x0280y00，x1x24x0 y0 ，x1x2 20 y0， 设 M(x，y)，则 x1 2(x 1x2)2x0 y0 ，y1 4x 1x2 5 y0， 点 M 到直线
5、 CD：x0 xy0y5 的距离为： d 2x0 2 y0 55 x02y02 10 y02y 010 5 ，y01， 5， 易知 d 关于 y0单调递减，dmax10210 5 18 5 5 ， 即点 M 到直线 CD 距离的最大值为18 5 5 . 3(2021江西南昌摸底考试)如图，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，焦距为 4，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 A 关于原点 O 的对称点为 C，当 l 的斜 率存在时，直线 AB 和 BC 的斜率之积为1 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求OBC 面积的最大值 答案(1
6、)x 2 8 y 2 4 1(2)2 2 解析(1)由焦距为 4，可得 2c4，解得 c2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x1，y1) 由 kABkBC1 2，得 y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y12 x22x12 1 2. 将 A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别代入x 2 a2 y2 b21， 得 x12 a2 y1 2 b2 1， x22 a2 y2 2 b2 1. ，得y2 2y12 x22x12 b2 a2，所以 a 22b2. 又 a2b2c2，所以 b2c24，所以 a22b28， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 8 y 2 4 1.
7、 (2)由点 A，C 关于原点对称，可得 SOBCSOAB. 又直线 AB 的倾斜角不为 0，焦点 F(2，0)， 所以可设直线 AB 的方程为 xty2. 由 x2 8 y 2 4 1， xty2， 消去 x 并整理，得(t22)y24ty40，32t2320， 则 y1y2 4t t22，y 1y2 4 t22. 所以 SOBCSOAB1 2|OF|y 1y2| （y1y2）24y1y2 4t t22 2 16 t224 2 t21 t22 4 2 1 t21 1 t21 2 2， 当且仅当 1t21，即 t0 时取等号， 所以OBC 面积的最大值为 2 2. 4(2021宁夏石嘴山第三中
8、学模拟)已知点 P 是曲线 C：x 2 4 y21 上任意一点，点 P 在 x 轴 上的射影是 C，CQ 2CP . (1)求动点 Q 的轨迹方程； (2)过点( 3， 0)的直线交点 P 的轨迹于点 A， B， 交点 Q 的轨迹于点 M， N， 求1 4|MN| 2|AB| 的最大值 答案(1)x2y24(2)1 解析(1)设点 Q 的坐标为(x，y)， 由CQ 2 CP 得点 P 的坐标为x，y 2 ，又点 P 是曲线 C：x 2 4 y21 上任意一点， 则可得x 2 4 y 2 2 1，化简得点 Q 的轨迹方程为 x2y24. (2)若 ABx 轴，则|AB|1，|MN|2，1 4|M
9、N| 2|AB|0； 若直线 AB 不与 x 轴垂直，设直线 AB 的方程为 ykx 3k，即 kxy 3k0， 则坐标原点到直线 AB 的距离 d 3|k| k21，|MN| 24(4d2)4（k 24） k21 ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykx 3k 代入x 2 4 y21，并化简，得(14k2)x28 3k2x 12k240，16(k21)0， x1x2 8 3k2 14k2，x 1x212k 24 14k2 ， |AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x2 1k2 8 3k2 14k2 2 4（12k 24） 14k2 44k 2 14k2. 当 k
10、0 时，1 4|MN| 2|AB|440； 当 k0 时，1 4|MN| 2|AB| 9k2 4k45k21 9 4k2 1 k25 9 24k2 1 k25 1， 当且仅当 4k2 1 k2即 k 2 2 时，等号成立， 综上所述，1 4|MN| 2|AB|的最大值为 1. 5(2021沧州市名校联盟)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)，圆心为坐标原点的单位圆 O 在椭 圆 C 的内部， 且与椭圆 C 有且仅有两个公共点， 直线 x 2y2 与椭圆 C 只有一个公共点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，直线 l 与椭
11、圆 C 交于 A，B 两点，且 弦 AB 的中垂线交 x 轴于点 P，试求ABP 面积的最大值 答案(1)x 2 2 y21(2)3 6 16 解析(1)依题意，得 b1. 将 x2 2y 代入椭圆的方程，得(a22)y24 2y4a20， 由324(a22)(4a2)0，解得 a22， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 2 y21. (2)由(1)可得左焦点 F(1，0) 由题意设直线 l 的方程为 xmy1(m0)， 代入椭圆方程，得(m22)y22my10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2 2m m22，y 1y2 1 m22， 所以 x1x2m(y1y2)2 4
12、m22，则 AB 的中点为 Q 2 m22， m m22 . 设点 P(x0，0)，则 kPQ m 2（m22）x0m，解得 x 0 1 m22， 故 SABP1 2|PF|y 1y2|x 01| 2 （y1y2）24y1y2 2（m21） m21 （m22）2 . 令 t m21(t1)，则 m2t21，且 SABP 2t3 （t21）2 2 t2 t 1 t3 . 设 f(t)t2 t 1 t3(t1)，则 f(t)1 2 t2 3 t4 （t 3） （t 3） （t21） t4 . 易知，f(t)在(1， 3)上单调递减，在( 3，)上单调递增，所以 f(t)minf( 3)16 3 9 ， 所以 SABP 2 16 3 9 3 6 16 ，即ABP 面积的最大值为3 6 16 .
