1、 数学归纳法及其应用举例是人民教育数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册学第三册( (选修选修II)II)第二章第一节的内第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共容，根据教学大纲，本节共3 3课时，这课时，这 是第是第1 1课时课时, , 主要内容是数学归纳法理主要内容是数学归纳法理 解与简单应用解与简单应用 数学归纳法学习是数列知识的深入与数学归纳法学习是数列知识的深入与 扩展扩展, ,也是一种重要的数学方法也是一种重要的数学方法, ,可以可以 使学生学会一种研究数学的科学方使学生学会一种研究数学的科学方 法法 重点：归
2、纳法意义的认识和数学归纳法重点：归纳法意义的认识和数学归纳法 产生过程的分析产生过程的分析 难点：数学归纳法中递推思想的理解难点：数学归纳法中递推思想的理解 学生对等差（比）数列、数列求和、学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的概念是模糊的 学生经过中学五年的数学学习，已具学生经过中学五年的数学学习，已具 有一定的推理能力，数学思维也逐步有一定的推理能力，数学思维也逐步 向理性层次跃进，并逐
3、步形成了辨证向理性层次跃进，并逐步形成了辨证 思维体系但学生自主探究问题的能思维体系但学生自主探究问题的能 力普遍还不够理想力普遍还不够理想 我所在的学校是省属重点中学，所教我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错的班级是平行班，学生基础还不错. . 了解归纳法了解归纳法, , 理解数学归纳的原理与实理解数学归纳的原理与实 质掌握两个步骤；会证明简单的与自然质掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题培养学生观察数有关的命题培养学生观察, , 分析分析, , 论论 证的能力证的能力, , 发展抽象思维能力和创新能发展抽象思维能力和创新能 力培养学生大胆猜想，小心求证
4、的辨证力培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力和数学交流的能力 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极 思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴 趣和课堂效率让学生经历知识的构建过趣和课堂效率让学生经历知识的构建过 程程, , 体会类比的数学思想体会类比的数学思想 让学生领悟数学思想和辩证唯物让学生领悟数学思想和辩证唯物 主义观点；体会研究数学问题的主义观点；体会研究数学问题的 一种方法一种方法, , 激发学生的学习热情，激发学生的学习热情，
5、使学生初步形成做数学的意识和使学生初步形成做数学的意识和 科学精神科学精神 类比启发探究式教学方法进行教学类比启发探究式教学方法进行教学 在教学过程中，我不仅要传授学生课在教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主本知识，还要培养学生主动观察、主 动思考、亲自动手、自我发现等学习动思考、亲自动手、自我发现等学习 能力，增强学生的综合素质，从而达能力，增强学生的综合素质，从而达 到较为理想的教学终极目标到较为理想的教学终极目标 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材材, ,真正辅助课堂教学真正辅助课堂教学. . 创设问题情境，启动学生思维创设问
6、题情境，启动学生思维; ; 回顾数学旧知，追溯归纳意识回顾数学旧知，追溯归纳意识; ; 借助数学史料借助数学史料, , 促使学生思辨促使学生思辨. . 搜索生活实例，激发学习兴趣搜索生活实例，激发学习兴趣; ; 类比数学问题类比数学问题, , 激起思维浪花激起思维浪花; ; 引导学生概括引导学生概括, , 形成科学方法形成科学方法. . 蕴含猜想证明蕴含猜想证明, , 培养研究意识培养研究意识; ; 基础反馈练习基础反馈练习, , 巩固方法应用巩固方法应用; ; 师生共同小结师生共同小结, , 完成概括提升完成概括提升; ; 布置课后作业布置课后作业, , 巩固延伸铺垫巩固延伸铺垫. . (1
7、) 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的明朝刘元卿编的应谐录应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写中有一个笑话：财主的儿子学写 字这则笑话中财主的儿子得出字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横” 的结论，用的就是的结论，用的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的是错误的 (2) 完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出
8、答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比 大徒弟聪明大徒弟聪明 (1) 不完全归纳法实例 给出等差数列前四项给出等差数列前四项, , 写出该数列的通项公式写出该数列的通项公式 (2) 完全归纳法实例 证明圆周角定理分圆心在圆周角内证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况部、外部及一边上三种情况 问
9、题问题1 1 已知已知 = (nN= (nN* *), ), (1)(1)分别求分别求 , , , ., , , . (2)(2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ? 这个结论正确吗这个结论正确吗? ? n a 22 55)( nn 1 a 2 a 3 a 4 a 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国著名的数学家，他曾认为，世纪法国著名的数学家，他曾认为， 当当n nN N时，时， 一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作作 了验证后得到的后来，了验证后得到的后来，1818世纪伟大的瑞士科学家欧拉（
10、世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler） 却证明了却证明了 4 294 967 2974 294 967 2976 700 4176 700 417641641，从而否定了费，从而否定了费 马的推测没想到当马的推测没想到当n n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 122 n 12 5 2 问题问题3 ,3 ,当当nN时，是否都为质数？时，是否都为质数？ 验证：验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4） 61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9） 131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是但是 f（40）1 681 ，
11、是合数是合数 41)( 2 nnnf 2 41 多米诺成功的关键有两点：多米诺成功的关键有两点： (1) (1) 第一张牌被推倒；第一张牌被推倒； (2) (2) 假如某一张牌倒下假如某一张牌倒下, , 则它的后一张牌必定倒下则它的后一张牌必定倒下 于是于是, , 我们可以下结论：我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下多米诺骨牌会全部倒下 搜索：搜索：再举几则生活事例：推倒自行车再举几则生活事例：推倒自行车, , 早操排队对齐等早操排队对齐等 (1)当当n1时等式成立；时等式成立； (2) 假设当假设当nk时等式成立时等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 则则 ak+1=ak+d=a1+
12、(k+1)-1d, 即即 nk1时等式也时等式也 成立成立 于是于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d 对任何对任何nN*都成立都成立 类比多米诺骨牌过程类比多米诺骨牌过程, , 证明等差数列通项公式证明等差数列通项公式. . 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时结论正确时结论正确, 证明当证明当nk1时结论也正确时结论也正确 完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开就可以断定命题对从开 始的所有正整数始的所有正整数n都
13、正确都正确 这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法 (1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 时结论正确时结论正确; 例题例题 在数列在数列 n a中, 1 a1, n n n a a a 1 1 (n ), * N 先计算先计算 2 a， 3 a， 4 a的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式, , n a 最后证明你的结论最后证明你的结论 （1）（第）（第63页例页例1）用数学归纳法证明：）用数学归纳法证明： 135（2n1）n2 . （2）（第）（第64页练习页练习3）首项是）首项是a1 , 公比是公比是 q 的的 等比数列的通项公式是等比数列的通项公
14、式是 an=a1qn 1. (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全 归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素， 而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于 完全归纳法；完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归递归) 思想，它
15、的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可 少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想 (1) (1) 课本第课本第6464页练习第页练习第1, 21, 2题；第题；第6767页习题页习题2.12.1第第2 2题题 (2) (2) (辨析与思考辨析与思考) ) 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1+2+22+23+2n = 2n 1 (n N*)时时, 其中第二步采用下面的证法：其中第二步采用下面的证法： 设设nk时等式成立时等式成立, 即即1+2+22+23+2k 1=2k1, 则 则 当当nk1时时, , 即即nk1时等式也成立时等式也成立 12 21 21 222221 1 1 132 k k kk 问题问题1 例题例题(猜想猜想,证明过程的板书证明过程的板书) 问题问题2 问题问题3 练习练习1 练习练习2 数学归纳法定义数学归纳法定义 (练习请两位同学上黑板板演练习请两位同学上黑板板演) 证明步骤证明步骤:(1) (2)
