1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 开封市五县高二期中联考卷开封市五县高二期中联考卷 数学试题（理科）数学试题（理科） 考生注意：考生注意： 1.1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分. . 2.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. . 3.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上考生作答时，请将答案答在答题卡上. .选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2 2B B铅笔把答题卡上对铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑
2、；非选择题请用直径应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. . 4.4.本卷命题范围：人教版选修本卷命题范围：人教版选修 2-22-2，选修，选修 2-3.2-3. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知复数 1 3i z i ，则zz（） A. 2B. 4C. 6D.
3、8 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的除法运算整理已知复数，再由共轭复数概念表示，最后由复数的几何意义求复数的 模长即可. 【详解】因为 2 1 33 3 i iii z ii ，则3zi ， 所以 3322zziii . 故选：A 【点睛】本题考查复数的四则运算，还考查了共轭复数的表示与求复数的模长，属于基础题. 2.定积分 1 2 1 4dxxx （） A. 0B.1C. 2 3 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用微积分基本定理求出即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 1 1 3 22 1 1 2 4d2 33 x xxxx .选
4、C. 【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数 3.在用反证法证明“已知, ,a b cR，且3abc ，则, ,a b c中至少有一个大于 1”时，假 设应为（） A., ,a b c中至多有一个大于 1B., ,a b c全都小于 1 C., ,a b c中至少有两个大于 1D., ,a b c均不大于 1 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用反证法的定义得到答案. 【详解】, ,a b c中至少有一个大于 1 的反面为, ,a b c均不大于 1，故假设应为：, ,a b c均不大 于 1. 故选：D. 【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解. 4.以下成语的语境为
5、合情推理的是（） A. 坐井观天B. 管中窥豹C. 开门见山D. 一叶障目 【答案】B 【解析】 【分析】 由成语的意思结合合情推理的定义判定即可. 【详解】A为眼光狭小，看到的有限； C意为说话写文章直截了当； D意为被局部或暂时的现象所迷惑，不认清事物的全貌或问题的本质； 所以A，C，D都没有推理过程； B意为只见到事物的一部分，从观察到的部分可以推测全貌，为从部分到全部的推理过程，属 于归纳推理. 故选：B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【点睛】本题考查合情推理的判定，属于基础题. 5.已知曲线 2x y xm 过点3,3，则该曲线在1x 处的切线的方程
6、是（） A. 11 22 yxB. 3 2 yxC. yx D. 11 22 yx 【答案】D 【解析】 【分析】 由曲线上的一点坐标求得参数m，在有导数的几何意义求得切线的斜率，最后由直线的点斜式 方程表示直线方程即可. 【详解】因为曲线 2x y xm 过点3,3， 所以 6 3 3m ，解得1m ，即 2 1 x y x ， 所以 2 2 1 y x ，从而切线斜率为 1 2 21 2 1 1 x ky ， 所以过点1,1的切线的方程为 1 11 2 yx ，即 11 22 yx. 故选：D 【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线的方程，属于基础题. 6.某地区一次联考的数学成绩X近似地
7、服从正态分布 2 85,N， 已知1220.96P X ， 现随机从这次考试的成绩中抽取 100 个样本，则成绩低于 48 分的样本个数大约为（） A. 6B. 4C. 94D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知根据正态分布的特点，可得1220.04P X ，根据对称性，则480.04P X ， 乘以样本个数得答案 【详解】由题意，知1220.96P X ，可得1220.04P X ， 又由对称轴为85x ，所以480.04P X ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 所以成绩小于48分的样本个数为100 0.044个 故选 B 【点睛】 本题考查正态
8、分布曲线的特点及曲线所表示的意义， 以及考查正态分布中两个量和 的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题 7.用 0，1，2，3，4，5 可以组成无重复数字且能被 2 整除的三位数的个数是（） A. 50B. 52C. 54D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是 0 的情况，再考虑不是 0 的情况，最后将所有结果 加起来即可. 【详解】能被 2 整除的三位数是偶数， 当个位数是 0 时，有 2 5 A种情形； 当个位数是 2 或 4 时，其中最高位不能是 0，则有 111 244 CCC种情形， 因此，能被 2 整除的三位数的个数是 2
9、111 5244 52ACCC种. 故选：B 【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题. 8.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三 所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语 文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分 配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨. 据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是( ) A. 小徐语文B. 小蔡数学C. 小杨数学D. 小蔡 语 文 【答案】C 【解析】 【详解】分
10、析：逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次 应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 详解：小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中，小杨不任教语文，所以只有小蔡被分 配到一中任教语文，小杨没有被分配到二中，也没有被分配到一中，所以只能被分配到三中， 且任教数学，故选 C. 点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多， 做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所 给条件，并将其引伸，找到各条
11、件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清 理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决. 9.甲同学与本校的另外 2 名男同学 2 名女同学一同参加中国成语大全的决赛,5 人坐成一 排,若甲与 2 名女同学都相邻,则不同坐法的总数为（） A. 6B. 12C. 18D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 利用捆绑法以及排列的方法求解即可. 【详解】 把甲与 2 名女同学“捆绑”在一起与另外 2 名男同学全排列有 3 3 A种情形,再将 2 名女 同学全排列有 2 2 A种情形,故满足条件的不同坐法的总数为 32 32 12AA种. 故选：B 【点睛】本题主要考查了捆绑法的运
12、用以及排列的一般方法,属于基础题. 10.若函数 32 12 33 f xxx在区间,3a a内既存在最大值也存在最小值，则a的取值 范围是（） A.3, 2B.3, 1C.2, 1D.2,0 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求出 fx在0 x 处取得极小值 2 0 3 f ， 在2x 处取得极大值 2 2 3 f ， 再根据 2 (0) 3 f 且 2 (1) 3 f，结合三次函数的图象列不等式组 031 32 a a 可求得结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】由 2 2(2)0fxxxx x得2x 或0 x ， 可以判断 fx在0 x 处
13、取得极小值 2 0 3 f ，在2x 处取得极大值 2 2 3 f . 令 2 3 f x ，得3x 或0 x ，令 2 3 f x ，得2x 或1x ， 由题意知函数 ( )f x在开区间 ,3a a内的最大、最小值只能在2x 和0 x 处取得， 结合函数 ( )f x的图象可得： 031 32 a a ，解得32a ， 故a的取值范围是3, 2. 故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题. 11.随机变量X的概率分布为 2 ()(1,2,3) a P Xnn nn ，其中a是常数，则()D aX （） A. 38 81 B. 608 729
14、C. 152 243 D. 52 27 【答案】B 【解析】 分析：由已知得1 2612 aaa 可得 a 值，在求出期望算方差即可. 详解：因为随机变量X的概率分布为 2 1,2,3 a P Xnn nn ，故1 2612 aaa 得 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 4 3 a ，故 E（X）= 13 9 ,又 2 ()D aXa D X，而 222 132132131 ()(1)(2)(3) 939999 D X ,故 2 ()D aXa D X= 608 729 ，选 B 点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题. 12.若函数
15、x f xxeax有2个零点，则a的取值范围是（） A., 1eB.,0,1e C.1,00,1UD.1,01, 【答案】D 【解析】 分析：首先研究函数 x yxe的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果. 详解：令 x g xxe， h xax，原问题等价于 g x与 h x有两个不同的交点， 当0 x 时， x g xxe， 10 x gxex，则函数 g x在区间0,上单调递增， 当0 x 时， x g xxe ， 1 x gxex ， 则函数 g x在区间, 1 上单调递增，在区间1,0上单调递减， 绘制函数图象如图所示， 函数 h x表示过坐标原点的直线， 考查临界情况
16、，即函数 h x与函数 g x相切的情况， 当0 x 时， 0 00 11age， 当0 x 时， 0 00 11age ， 数形结合可知：a的取值范围是1,01,. 本题选择D选项. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思 想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：二、填空题： 13.已知 2 2321izi ，则复数z在复平面内表示的点在第_象限. 【答案】二 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的四则运算法则求出1 2.5zi ，再根据复数的几何意义可得结果.
17、【详解】因为23i22iz ， 所以12.5iz ，所以复数z表示的点( 1,2.5)落在第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了复数的代数形式的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 14.下表是不完整的22列联表，其中3ac，2bd，则a _. 1 y 2 y总计 1 xab55 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 2 xcd 总计120 【答案】15 【解析】 【分析】 根据列联表，列方程组解得即可. 【详解】由题意得 55 12055 ab cd , 又3ac，2bd， 所以 255 365 ad ad ，解得15a. 故答案为：15 【点睛】本题
18、考查了列联表的完善，属于基础题. 15. 5 1 2x x 的展开式中 3 x的系数为_. 【答案】80 【解析】 【分析】 根据通项公式中x的指数为 3，列方程解得1r ，从而可得展开式中 3 x的系数. 【详解】 5 1 2x x 展开式的通项为 55 2 15 12 r rrr r TC x (0,1,2,3,4,5)r ， 令523r，得1r ， 所以展开式中 3 x的系数为 5 11 5 ( 1) 2C 80. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 故答案为：80 【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题. 16.设函数 0 34 x f xx
19、 x ，观察 1 34 x fxf x x ， 21 1516 x fxffx x ， 32 6364 x fxffx x ， 43 255256 x fxffx x ，根据以上事实，由归纳推理可得：当 * nN 且2n 时， 1nn fxffx _. 【答案】 414 nn x x 【解析】 【分析】 对四个分母中x的系数和常数进行归纳，找出规律可得答案. 【详解】观察知：四个等式等号右边的分母为34x，1516x，6364x，255256x， 即4 14x， 22 414x， 33 414x， 44 414x， 所以归纳出 1nn fxffx 的分母为 414 nn x， 故当n N且2n
20、 时， 1 414 nn nn x fxffx x . 故答案为： 414 nn x x 【点睛】本题考查了归纳推理，解题关键是根据前几项的分母找规律，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知 15215 01215 1111xaaxaxaxL. (1)求 20 log a； (2)证明： 1515 12315 32aaaaL. 【答案】(1)15；(2)证明见解析 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - (1)利用赋值法：令1x ，即可求出 15 0 2a
21、 ，进而可求出 20 log a； (2) 利用赋值法：令2x ，即可求出 012315 aaaaaL的值，再结合 15 0 2a ，即可 证出. 【详解】(1)解：令1x ，得 15 0 2a ，所以 20 log15a . (2)证明：令2x ，得 15 012315 3aaaaaL， 所以 1515 12315 32aaaaL. 【点睛】本题主要考二项式定理的应用，注意分析所给的式子的结构特点，通过对二项式中 的x恰当的赋值，即可快速求出展开式的系数和，属于基础题. 18.已知函数 2 2lnfxxaxb在1x 处取得极值 1. （1）求a，b的值； （2）求 fx在 1, ee 上的最
22、大值和最小值. 【答案】 （1）1a ，2b ； （2）最大值为 1，最小值为 2 4e 【解析】 【分析】 （1）求导后，根据 10 f ， 11f，可得 1a ，2b ，再检验所求值即可； （2）根据当x在 1, ee 上变化时， fx， fx 的变化情况表可得结果. 【详解】 （1）因为 2 2lnfxxaxb，所以 2 2fxax x . 依题意得 10 f ， 11f，即 220 1 a ab . 解得1a ，2b ，经检验，1a ，2b 符合题意. 所以1a ，2b （2）由（1）可知 2 2ln2f xxx， 所以 2 112 2 xx fxx xx . 令 0fx ，得1x ，
23、1x . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 当x在 1, ee 上变化时， fx， fx 的变化情况如下表： x 1 e 1,1 e11,e e fx 0 fx 2 e 单调递增极大值 1单调递减 2 4e 又 22 4ee ，所以 fx在 1, ee 上的最大值为 1，最小值为 2 4e . 【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，要注意检验所求参数是否符合题意，考查了利 用导数求函数的最大、最小值，属于基础题. 19.A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位 市民进行调查，调查结果统计如下： 支持不支持合计 男性市民
24、60 女性市民50 合计70140 （1）根据已知数据，把表格数据填写完整； （2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题： （i）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关； （ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师， 现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . 2 0 ()P Kk0.0500.0250.0100.0050.001 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 0 k3.8415.0246.635
25、7.87910.828 【答案】 （1）见解析； （2） （i）能， （ii） 7 10 P . 【解析】 【分析】 （1）根据 22 列联表性质填即可； （2）求出 2 K ，与临界值比较，即可得出结论； （3）根据排列组合的性质，随机抽取 3 人，即可求出至多有 1 位老师的概率 【详解】 （1） 支持不支持合计 男性市民402060 女性市民305080 合计7070140 （2） （i）因为 2 K 的观测值 2 n adbc k abcdacbd 2 14040 5030 20 11.66710.828 60 80 70 70 ， 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持
26、申办足球世界杯与性别有关. （ii）记5人分别为a，b，c，d，e，其中a，b表示教师，从5人中任意取3人的情况 有 3 5 10C 种，其中至多有1位教师的情况有 123 233 7C CC种， 故所求的概率 7 10 P . 【点睛】本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属 于中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 20.已知x与y之间的数据如下表： x 23456 y 2.23.85.56.57.0 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： x 23456 ii yy 并判断（1）中线性回归方程的回归效果
27、是否良好（若 2 0.9R ，则认为回归效果良好）. 附： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xnx ，a ybx $ ， 2 21 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy ， 5 2 1 ()0.651 ii i yy . 【答案】 （1） 1.230.08yx ； （2）表格见解析，良好. 【解析】 【分析】 （1）由题意求出, x y， 66 2 11 , iii ii xx y ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据公 式计算并填写残差表；由公式计算相关
28、指数 2 R ，结合题意得出统计结论 【详解】 （1）由已知图表可得4x ，5y ， 5 2 1 90 i i x ， 5 1 112.3 ii i x y ， 则 2 112.35 4 5 1.23 905 4 b ，0.08 aybx， 故1.230 8 .0yx . （2） iii eyy， 1 .340e ， 2 0.03e ， 3 0.58e ， 4 0.27e ， 5 .46 0b ，则残 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 差表如下表所示， x 23456 ii yy0.340.030.50.270.46 5 222 1 2.253.85 i i y
29、y 222 5.556.557515.78， 2 0.651 10.960.9 15.78 R ， 该线性回归方程的回归效果良好. 【点睛】本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题 21.越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且 使用时间大于或等于 6 千小时的为优质品.现用A，B两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随 机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以上述试验结果中各 组的频率作为相应的概率. （1）现从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取 2 件产品，求其中至少有 3 件是优质品 的概率； （2）通过多年统计
30、发现，A型轮胎每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位： 千小时）的关系如下表： 使用时间t（单位：千小时）5t 56t 6t 每件产品的利润y（单位：元）200200400 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 若从大量的A型轮胎中随机抽取两件，其利润之和记为X（单位：元） ，求X的分布列及数 学期望. 【答案】 （1） 6 25 ； （2）分布列见解析，360 【解析】 【分析】 （1）先根据直方图得到抽取一件A和一件B型轮胎为优质品的概率，再根据互斥事件的加法 公式和独立事件的乘法公式可得结果； （2）据题意知，X的可能取值为400，0，200，400
31、，600，800.根据概率公式求出X的各 个取值的概率，再写出分布列，根据数学期望公式求出数学期望即可. 【详解】 （1）由直方图可知，从A型号轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率 1 0.40.1 2 P A ， 从B型轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率 2 0.30.1 5 P B ， 所以从A，B两种型号轮胎中各随机抽取 2 件产品，其中至少有 3 件是优质品的概率 2222 211222 222222 123112126 2552252525 PCCCCCC . （2）据题意知，X的可能取值为400，0，200，400，600，800. 所以 2 2 2 39 400 10100 P
32、 XC ， 1 2 313 0 10525 P XC， 1 2 313 200 10210 P XC， 2 2 2 11 400 525 P XC ， 1 2 111 600 525 P XC， 2 2 2 11 800 24 P XC ， 那么X的分布列为 X4000200400600800 P 9 100 3 25 3 10 1 25 1 5 1 4 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 则数学期望 933111 4000200400600800360 10025102554 E X . 【点睛】本题考查了根据直方图求概率，考查了互斥事件的加法公式和独立事件的乘
33、法公式， 考查了求离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 22.已知函数 1 lnf xm axxxa . (1)当0a 时，若 0f x 在 1,上恒成立，求m的取值范围； (2)当1ma时，证明： 10 xf x. 【答案】 （1）,e（2）见解析 【解析】 【分析】 (1) 0f x 在1,上恒成立即 ln x m x 在1,上恒成立，构造新函数求最值即可； （2）对 x 分类讨论1,x，0,1 ,x转证 f x的最值与零的关系即可. 【详解】解： （1）由 0f x ，得 ln x m x 在1,上恒成立. 令 ln x g x x ，则 2 ln1 ln x gx x . 当
34、1,ex时， 0gx ； 当e,+x时， 0gx ， 所以 g x在1,e上单调递减，在e,+上单调递增. 故 g x的最小值为 e =eg. 所以em ，即m的取值范围为,e. （2）因为1ma， 所以 1 ln1f xxxx ， 11 ln1ln x fxxx xx . 令 1 lnh xx x ，则 22 111x hx xxx . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 当1,x时， 0h x ， h x单调递减； 当0,1x时， 0h x ， h x单调递增. 所以 max 110h xh ，即当0,x时， 0fx， 所以 f x在0,上单调递减. 又因为 10,f 所以当0,1x时， 0;f x 当1,x时， 0.f x 于是 10 xf x对0,x 恒成立. 【点睛】 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h xf xg x.根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2） 根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利 用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
