1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 分值：分值：150150 分分 时间：时间：120120 分分 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知椭圆中4a ，1b ， ，且焦点在x轴，则此椭圆方程是（） A. 2 2 1 4 x yB. 2 2 1 4 y x C. 2 2 1 16 x y D. 2 2 1 16 y x 【答案】C 【解析】 【分析
2、】 根据4a ，1b ，焦点在x轴写出椭圆的标准方程即可. 【详解】根据题意，设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab (0)ab， 因为4a ，1b ，所以椭圆的标准方程为 2 2 1 16 x y . 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，属于简单题. 2.平面内一点M到两定点 1 F 0, 5， 2 F 0,5的距离之和为 10，则M的轨迹是() A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由定点 1 F和 2 F的坐标可得 1 2 FF的长，结合椭圆的定义分析可得 M 的轨迹为线段 1 2 FF，即可得答案 【详解】根据题意，两定点
3、1 F 0, 5， 2 F 0,5则 1 2 FF10， 而动点 M 到两定点 1 F 0, 5和 2 F 0,5的距离之和为 10， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 则 M 的轨迹为线段 1 2 FF， 故选 D 【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析 3.双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程是（） A. 2 3 yx B. 4 9 yx C. 9 4 yx D. 3 2 yx 【答案】D 【解析】 【分析】 依据双曲线性质，即可求出 【详解】由双曲线 22 1 49 xy 得， 22 4,9ab，即2,3ab， 所以双曲线 22 1
4、 49 xy 的渐近线方程是 3 2 b yxx a ，故选 D 【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程是 b yx a ； 双曲线 22 22 1 yx ab 的渐近线方程是 a yx b 4.抛物线 2 xy的焦点坐标是（） A.1,0B. 1 ,0 4 C. 1 0, 8 D. 1 0, 4 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意得到抛物线的焦点在y正半轴，且开口向上， 1 2 p ，再求焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线 2 xy，所以抛物线的焦点在y正半轴，且开口向上. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所
5、有高考资源网 - 3 - 所以 1 2 p ，故焦点坐标为 1 0, 4 . 故选：D 【点睛】本题主要考查根据抛物线标准方程求焦点坐标，属于简单题. 5. 经过点 P（4，-2）的抛物线标准方程为（ ） A. y 2=x 或 x2=-8y B. y 2=x 或 y2=8x C. y 2=-8x D. x 2=-8y 【答案】A 【解析】 试题分析：设抛物线方程为 22 yaxxay或,因为此抛物线为过点 P（4，-2） ，所以 22 ( 2)44( 2),18aaaa 或或,所以 y 2=x 或 x2=-8y. 考点：求抛物线的标准方程. 点评：因为点 P（4，-2）在第四象限，所以抛物线的
6、开口可能向右，也可能向下.因而可利用 待定系数法设出抛物线方程为 22 yaxxay或,再利用过点 P，求方程即可. 6.双曲线 22 1 412 xy 的焦点到渐近线的距离为() A.2 3B.2C. 3 D.1 【答案】A 【解析】 试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为 2 3b . 考点：双曲线与渐近线 7.已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的离心率为 2，则C的渐近线的斜率为（） A. 3 3 B. 3 C. 1 3 D.3 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【分析】 首先根据2e 得到a，b的
7、关系，再根据双曲线方程得到焦点在x轴，即可得到答案. 【详解】因为2 c e a ，设2ck，ak，(0)k ，所以 22 3bcak . 又因为双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab ，焦点在x轴， 所以渐近线的斜率为 3 3 bk ak . 故选：B 【点睛】 本题主要考查双曲线的渐近线方程的斜率， 根据题意找到a，b的关系为解题的关键， 属于简单题. 8.已知直线l的参数方程是 2 1 2 t 2 2 2 xt yt 为参数，则直线l的斜率为() A. 2 2 B. 2 2 C. 1D.1 【答案】D 【解析】 【分析】 由 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数
8、）得 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，将两式相加，得直线的普通方 程3yx ，得到直线斜率为1 【详解】根据题意，直线 l 的参数方程是 2 1 2 t 2 2 2 xt yt 为参数，其普通方程为 y2x 10， 即yx3 ，直线 l的斜率为1； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故选 D 【点睛】消去参数的方法一般有三种： （1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数 （2）利用三角恒等式消去参数 （3）根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数 9.抛物线 2 yax的准线方程是 2y ，则a的值为（） A. 1 8 B.
9、1 8 C. 8D. -8 【答案】B 【解析】 【详解】方程 2 yax表示的是抛物线, 0a ， 2 1 2 2 y xy aa ， 抛物线 2 yax的准线方程是 1 2 2 2 y a ， 解得 1 8 a ，故选 B. 10.双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 FF，过 1 F作倾斜角为30的直线 交双曲线右支于M点，若 2 MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知可设 0 ,M c y，代入双曲线方程可求得 2 0 b y a ； 0 0 tan30 2 y c
10、 ，化简 可得双曲线的离心率 3e . 考点：双曲线的定义、离心率的求法. 11.已知方程 22 0(0,0)axbyabaxbycabab c和其中，它们所表示的曲线 可能是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A.B. C.D. 【答案】B 【解析】 试题解析： 若0ab 时， 方程表示椭圆， 方程0ax byc+ =表示斜率0 a b 的直线，故 A 错误，若0ab时，方程表示双曲线，方程0ax byc+ =表示 斜率0 a b 的直线，故 C、D 错误，所以 B 正确，故选 B 考点：椭圆、双曲线标准方程，直线方程 12.抛物线y2x 2上两点 A(x1
11、，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2 1 2 ，则m 等于() A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立消元后得到关于 x 的二次方程，然后结合根与 系数的关系求出线段 AB 的中点坐标，代入对称轴方程yxm后可得 m 的值 【详解】A,B 两点关于直线yxm对称， 可设直线AB的方程为yxb， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 由 2 2 yxb yx 消去 y 整理得 2x 2xb0， 直线AB与抛物线交于两点， 18b0，解得 1 8 b 又由题意得 1
12、212 1 , 22 b xxx x ， 12 1 2 x x ， b1，满足题意 设A，B的中点为P(x0，y0)， 则 12 0 1 24 xx x ， 00 15 11 44 yx ， 又点 1 5 (,) 4 4 在直线yxm上， 51 44 m ，解得 3 2 m 故选 A 【点睛】解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面： （1）根据垂直可得两对 称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用 根与系数的关系求解； （2）根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上 可得所求 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4
13、小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.极坐标2, 3 的直角坐标为_. 【答案】13， 【解析】 【分析】 直接利用公式cosx、siny，把点的极坐标化为直角坐标即可. 【详解】由题意可得2cos1 3 x ，2sin3 3 y ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 点2, 3 的直角坐标是1, 3，故答案为1, 3 【点睛】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，利用了公式cosx、 siny，属于基础题 14.双曲线 22 2 1 9 xy a （a0）的一条渐近线方程为 3 5 yx，则a=_ 【答案】5 【解析】
14、 【分析】 先根据双曲线方程求渐近线方程，再根据已知条件列式求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为 3 yx a ，结合题意可得 33 5a 5a . 故答案为：5 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.过抛物线y 2=4x的焦点作直线交抛物线于A （x 1， y1） ， B （x2， y2） 两点， 若x1+x2=6， 则|AB|= 【答案】8 【解析】 试题分析： 抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （x 1， y1） B （x2， y2） 两点， 故|AB|=x1+x2+2， 由此易得弦长值 解：由题意，p=2，故抛物线的准线
15、方程是 x=1， 抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y1）B（x2，y2）两点 |AB|=x1+x2+2， 又 x1+x2=6 |AB|=x1+x2+2=8 故答案为 8 考点：直线与圆锥曲线的关系 16.过点Q(4， 1)作抛物线 2 8yx的弦AB， 该弦恰被Q平分， 则直线AB的方程为_ 【答案】4150 xy 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【分析】 很明显直线斜率存在，利用点差法求得斜率，然后确定直线AB的方程即可. 【详解】由题意可知，当AB垂直于x轴时，不符合题意，故直线AB的斜率存在 设 11 ,A x y， 2
16、2 ,B xy，则 2 11 8yx， 2 22 8yx， 且 12 8xx， 12 2yy， 得 121212 8yyyyxx， 即 1212 28yyxx，即 12 12 4 yy xx ， 故直线AB的斜率4k ， 故直线AB的方程为441yx， 即4150 xy 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，小题，1717 题题 1010 分，其他题分，其他题 1212 分，共分，共 7070 分分. . 17.已知椭圆的对称轴是坐标轴，对称中心为原点，求满足下列条件的椭
17、圆的标准方程： （1）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为 4，离心率为 5 5 ； （2）长轴长为 10，焦距为 6. 【答案】 （1） 22 1 54 xy （2） 22 1 2516 xy 或 22 1 2516 yx 【解析】 【分析】 （1）根据题意列出方程组 222 24 5 5 b c a abc ，解方程组即可得到答案. （2） 首先根据题意列出方程组 222 210 26 a c abc ， 再解方程组， 分类讨论焦点位置即可得到答案. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【详解】 （1）由题知：设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab ，(
18、0)ab. 222 24 5 5 b c a abc ，解得 5 2 1 a b c . 所以椭圆的标准方程为 22 1 54 xy . （2）由题知： 222 210 26 a c abc ，解得 5 4 3 a b c . 当焦点在x轴时，圆的标准方程为： 22 1 2516 xy . 当焦点在y轴时，圆的标准方程为： 22 1 2516 yx . 综上，椭圆的标准方程为： 22 1 2516 xy 或 22 1 2516 yx 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，根据题意列出关于, ,a b c的方程组为解题的关键，属 于简单题. 18.已知抛物线E的顶点为原点， 其焦点0,0Fcc 到
19、直线: 20l xy 的距离为 3 2 2 ， 求（1）求c的值 （2）抛物线E的方程 【答案】 （1）1c （2） 2 4xy 【解析】 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式计算即可. （2）根据抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程. 【详解】 （1）由题知： 22 023 2 2 1( 1) c d ，即 2 (2)9c，解得1c 或5c . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 因为0c ，所以1c . （2）由（1）知：抛物线的焦点为0,1F， 所以抛物线的焦点在y轴正半轴，且开口向上， 设抛物线E的方程为 2 2xpy，0p ，即1 2 p ，2p
20、. 所以抛物线E的方程为 2 4xy. 【点睛】本题第一问考查点到直线的距离公式，熟记公式为解题的关键，第二问考查抛物线 的标准方程，属于简单题. 19.椭圆 22 1 43 xy 的左、右焦点分别为 12 ,F F，一条直线l经过点 1 F与椭圆交于,A B两点. （1）求 2 ABF的周长； （2）若l的倾斜角为 4 ，求弦长AB. 【答案】 （1）8（2） 24 7 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义即可得到 2 ABF的周长. （2）首先求出直线方程，再与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】 （1）因为椭圆 22 1 43 xy ，2a ，3b ，1c ， 由椭圆的定义，得
21、 12 24AFAFa， 12 24BFBFa ， 又 11 AFBFAB， 所以 2 ABF的周长 22 48ABAFBFa . （2）因为AB的倾斜角为 4 ，则AB斜率为 1，则直线l为 1yx. 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 由 22 1 1 43 yx xy ，得 2 7880 xx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 由韦达定理可知： 12 8 7 xx ， 12 8 7 x x ， 则由弦长公式 2 2 1212 14ABkxxx x 2 83224 2 777 ， 故弦长 24 7 AB . 【点睛】本题第一问考查椭圆的
22、定义，第二问考查直线截得椭圆的弦长问题，熟记弦长公式 为解题的关键，属于简单题. 20.已知直线l经过点 P（1，1） ，倾斜角 6 （1）写出直线l的参数方程； （2）设l与圆 22 4xy相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积 【答案】 （1） 3 1, 2 ( 1 1; 2 xt t yt 是参数）（2）2 【解析】 【详解】 （1）直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt ，即 3 1 2 1 1 2 xt yt (t 为参数) （2）把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入 得 222 31 (1)(1)4,( 31)20 22 tttt 1
23、 2 2t t ，则点P到,A B两点的距离之积为2 21.在极坐标系中,曲线 1 C的方程为2sin 3 ,直线 2 C的方程为sin4 3 . 以极点O为坐标原点,极轴方向为x轴正方向建立平面直角坐标系xOy. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - (1)求 1 C, 2 C的直角坐标方程； (2)设A,B分别是 1 C, 2 C上的动点,求AB的最小值. 【答案】 （1） 1 C： 22 30 xyxy， 2 C： 380 xy； （2）2 【解析】 【分析】 （1）将 1 C的极坐标方程展开后两边乘以，化简后可求得 1 C的直角坐标方程，同理将 2 C的 极
24、坐标方程展开化简后可求得 2 C的直角坐标方程.（2）通过圆心到直线的距离，减去半径， 可求得AB的最小值. 【详解】(1).曲线 1 C的极坐标方程可化为 sin3cos, 两边同时乘以,得 2 sin3 cos, 则曲线 1 C的直角坐标方程为 22 3xyyx, 即 22 30 xyxy, 直线 2 C的极坐标方程可化为 13 sincos4 22 , 则直线 2 C的直角坐标方程为 13 4 22 yx , 即380 xy. (2).将曲线 1 C的直角坐标方程化为 2 2 31 1 22 xy , 它表示以 3 1 , 22 为圆心,以1为半径的圆. 该圆圆心到直线380 xy的距离
25、 31 38 22 3 2 d , 所以AB的最小值为3 12 . 【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于基 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 础题. 22.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ， 左顶点M到直线1 xy ab 的距离 4 5 5 d ，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线L与椭圆C相交于,A B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：O到 直线AB的距离为定值. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y.（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）结
26、合离心率 222 , c eabc a 与，计算出 a,b,c 之间的关系，利用点到直线距离，计 算 a,b 值，即可 （2）分直线 AB 斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程,并利用 1212 0OA OBx xy y ,计算 O 到直线距离,即可. 【详解】 （1）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ， 3 2 c e a ， 3 2 ca ， 222222 31 44 bacaaa， 1 2 ba，即2ab， 椭圆C的左顶点,0Ma到直线1 xy ab ，即到0bxayab的距离 4 5 5 d ， 2222 24 5 5 baabab aba
27、b ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 把2ab代入得： 4 54 5 55 b ，解得：1b ， 22ab， 3c ， 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设 1122 ,A x yB xy， 当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的性质可得： 12 xx， 12 yy ， 当直线AB的斜率不存在时，以AB为直径的圆经过坐标原点， 0OA OB ，即 1212 0 x xy y，也就是 22 11 0 xy， 又点A在椭圆C上， 2 2 1 1 1 4 x y， 以AB为直径的圆经过坐标原点，且AB平行于y轴， 11 xy， 2 2 1 1 1 4 x
28、 x，解得： 1 2 5 5 x 此时点O到直线AB的距离 11 2 5 5 dx 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm， 与椭圆方程联立有 2 2 1 4 ykxm x y ，消去y，得 222 148440kxkmxm 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 14 m x x k ， 同理： 2 2 1 4 ykxm x y ，消去x，得 22222 2440ymymk yk， 即 2222 41240kymymk， 22 12 2 4 41 mk y y k AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB， 1212 0OAOBx xy y 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 222 22 444 0 1441 mmk kk 222 444mmk 22 445km 点O到直线:AB ykxm的距离 2 222 222 5 5 1445 mmm d kkm 综上所述，点O到直线AB的距离为定值 2 5 5 . 【点睛】本道题考查了椭圆性质和直线与椭圆位置关系,难度较大. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
