1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019202020192020 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学试题高二数学试题 用时：用时：120120 分钟分钟满分：满分：150150 分分 一、单项选择题：共一、单项选择题：共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上. . 1.已知i为虚数单位，复数45zi，则z的虚部
2、是（） A.5iB. 5C.5iD. -5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的定义直接得解； 【详解】解：因为复数45zi， 所以复数z的虚部是5， 故选：D 【点睛】本题考查复数的定义，复数的虚部，属于基础题. 2.已知复数z满足25zii，其中i为虚数单位，则z （） A.1 2iB.12i C. 510 33 iD. 510 33 i 【答案】B 【解析】 【分析】 把给出的等式两边同时乘以 1 2i ，然后直接利用复数的除法运算化简求值 【详解】解：复数z满足(2 )5zii ， 55 (2)5 (2) 12 2(2)(2)5 iiiii zi iii 故选：B 【点睛】本题考
3、查了复数代数形式的混合运算，属于基础题 3.如图， 点 11 ,A xf x， 22 ,B xf x在函数 fx的图象上， 且 21 xx， fx为 fx 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 的导函数，则 1 fx与 2 fx的大小关系是（） A. 12 fxfxB. 12 fxfx C. 12 fxfxD. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 结合函数图象及导数的几何意义判断可得； 【详解】解：由函数图象可知，函数在A处的切线的斜率比B处的切线的斜率大，根据导数 的几何意义可得 12 fxfx， 故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义，数形结合思想，属于基
4、础题. 4.已知复数1z ，i为虚数单位，则34zi 的最小值是（） A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的几何意义，转化求解即可 【详解】解：复数z满足1z （i是虚数单位） ，复数z表示，复平面上的点到0,0的距离 为 1 的圆 |34 |zi 的几何意义是圆上的点与(3, 4)的距离， 所以最小值为： 22 3( 4)14 故选：C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中 档题 5.若直线y xm 是曲线 x ye的一条切线，则实数m的值是（）
5、A. -1B. 0C. 1D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先设出切点坐标 0 (P x， 0) x e，再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是 yxm 是曲线 x ye的一条切线，求出实数m的值 【详解】解： x yeQ， x ye， 设切点为 0 (P x， 0) x e， 则过P的切线方程为 00 0 () xx yeexx， 整理，得 000 0 xxx ye xexe， 直线是yxm是曲线 x ye的一条切线， 0 1 x e ， 0 0 x ， 1m 故选：C 【点睛】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别 采用不同策略解决问
6、题 6.某医院计划从 3 名医生，9 名护士中选派 5 人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的 5 人中至少要有 2 名医生，则不同的选派方法有（） A. 495 种B. 288 种C. 252 种D. 126 种 【答案】B 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 题意分两种情况，选派 2 名医生，3 名护士，选派 3 名医生，2 名护士，分别计算，再根 据分类加法计算原理计算可得； 【详解】解：依题意分两种情况，选派 2 名医生，3 名护士，则有 23 39 252C C （种） ； 选派 3 名医生，2 名护士，则有 32 39 36C C
7、（种） ； 按照分类加法计算原理可知，一共有 2332 3939 36252288C CC C（种）. 故选：B 【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题. 7. 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑， 如图， 在鳖臑PABC中， PA 平面ABC，ABBC， 且1PAABBC， 则二面角APCB的大小是 （） A.30B.45C.60D.90 【答案】C 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，因为1PAABBC，所以0,0,0A， 0,2,0C， 22 ,0 22 B ，0,0,1
8、P，0,2,1CP ， 22 ,0 22 BC 显然面APC的一个法向量可以为1,0,0n r ， 设面BPC的法向量为, ,mx y z 则 0 0 mCP m BC ，即 20 22 0 22 yz xy ，令1y 则 2z ，1x ，所以1,1,2m 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 设二面角APCB为，则 2 22 11 cos 2 1112 n m n m 所以60 故选：C 【点睛】 本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题. 8.函数 fx的定义域为R，12fe，对任意xR， 0f xfx，则不等式 20 x e f xx的解集为（） A.1, B
9、., 1 C.1,D.,1 【答案】A 【解析】 【分析】 令 2 x g xe f xx， 求出函数的导数， 说明其单调性， 再由12fe， 可得10g ， 将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：令 2 x g xe f xx，因为 0f xfx 所以 220 xxx gxe fxe fxefxfx 所以 2 x g xe f xx在定义域上单调递增， 又12fe，所以 11 1121220gefee 因为 20 x e f xx 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 所以 1g xg，即1x ， 故选：A 【点睛】本题考查构造函数解决导数问题，
10、利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 二、多项选择题：共二、多项选择题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，请将正确选项前的分，请将正确选项前的 字母代号填涂在字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上. . 9.下列各式中，等于!n的是（） A. 1n n A B. 1 n n A C. 1 1 n n nA D.! m n m C
11、 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案 【详解】解：根据题意，依次分选项： 对于A， 1 (1)2! n n Annn ，故A正确； 对于B， 1 (1)(1)2(1)! n n Annnn ，故B错误； 对于C， 1 1 (1)1! n n nAnnn ，故C正确； 对于D，! ! m mm n nn A m CmA m ，故D错误； 故选：AC 【点睛】本题考查阶乘、排列数公式的计算，注意排列数公式的形式，属于基础题 10.下列关于复数的说法，其中正确的是（） A. 复数,zabi a bR是实数的充要条件是0b B.
12、 复数,zabi a bR是纯虚数的充要条件是0b C. 若 1 z， 2 z互为共轭复数，则 1 2 z z是实数 D. 若 1 z， 2 z互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称 【答案】AC 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【解析】 【分析】 根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：对于A：复数,zabi a bR是实数的充要条件是0b ，显然成立，故A 正确； 对于B：若复数,zabi a bR是纯虚数则0a 且0b，故B错误； 对于C：若 1 z， 2 z互为共轭复数，设 1 ,zabi a bR，则 2 ,
13、zabi a bR，所以 2 1 2 2 22 2 zabiabiabbzia是实数，故C正确； 对于D：若 1 z， 2 z互为共轭复数，设 1 ,zabi a bR，则 2 ,zabi a bR，所对 应的坐标分别为, a b，, ab，这两点关于x轴对称，故D错误； 故选：AC 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题 的关键，属于基础题 11.已知 fx是定义域为R的函数 fx的导函数，如图是函数 yxfx的图象，则下列 关于函数 fx性质说法正确的是（） A. 单调递增区间是, 3 ，0,3B. 单调递减区间是, 3 ，3, C.3f 是极小值
14、D. 3f是极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 根据函数 yxfx的图象，得原函数在3,3上是增函数，在区间, 3 和3,上 为减函数，因此函数的极大值为 3f，极小值为3f 由此对照各个选项，即可得到本 题的答案 【详解】解：由 yxfx的图象可得当3,3x 时 0fx ， 33,x 时 0fx ，故函数 fx在3,3上是增函数，在区间, 3 和3,上为减函数， 所以函数 fx在3x 处取得极小值，在3x 处取得极大值，故正确的有 BC； 故选：BC 【点睛】本题给出函数的导数图象，要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了
15、对函数图 象的理解和函数单调性与导数的关系等知识，属于中档题 12.已知函数 2 lnfxx x ，则下列判断正确的是（） A. 存在0,x，使得 0f x B. 函数 fx的递减区间是0,2 C. 任意0,x，都有 0f x D. 对任意两个正实数 1 x、 2 x，且 21 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx 【答案】BCD 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，得到单调性与极值，即可判断 ABC，构造函数，利用导数证明D 【详解】解：因为 2 lnfxx x ，定义域为0,， 22 122x fx xxx ， 令 0fx ，则02x，所以函数 2 lnfxx x 在
16、0,2上单调递减；令 0fx， 则2x ，所以函数 2 lnfxx x 在2,上单调递增；所以函数 2 lnfxx x ，在 2x 处取得极小值也就是最小值， min 2ln2 10f xf ，所以对任意0,x， 故C正确、A错误；令(0,2)t，则2(0,2)t ，22t ， 令 2 2242 ( )(2)(2)(2)(2) 2242 tt g tftftlntlntln tttt ， 则 2222 22222222 4(4)822241648 ( )0 (4)2(2)(4)4(4) ttttttt g t tttttt 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - ( )
17、g t在(0,2)上为减函数，则( )(0)0g tg， 令 1 2xt，由 12 ()()f xf x，得 2 2xt， 则 12 224xxtt ，当 2 4x 时 12 4xx显然成立 对任意两个正实数 1 x、 2 x，且 21 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx正确，故D正确 故选：BCD 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属 于难题 三、填空题：共三、填空题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .请把答案直接填写在请把答案直接填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上. . 13
18、.计算 22222 23456 CCCCC_. 【答案】35 【解析】 【分析】 根据组合数的性质 1 1 mmm nnn CCC 计算可得； 【详解】解： 22222 23456 CCCCC 32222 33456 CCCCC 3222 4456 CCCC 322 556 CCC 32 66 CC 3 7 7 6 5 35 3 2 1 C 故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题. 14.已知函数 1 cos 2 f xxx，0, 2 x ，则 fx的单调递增区间为_. 【答案】0 6 , 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【解析】 【分析】
19、首先求出函数的导函数，由 0fx ，再根据三角函数的性质解三角不等式即可； 【详解】解： 1 cos 2 f xxx，0, 2 x 所以 1 sin 2 fxx ，0, 2 x 令 0fx ，即 1 sin0 2 x，所以0 6 x ，故 fx的单调递增区间为0 6 , ， 故答案为：0 6 , 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题. 15.在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第 9 行 从左到右的第 1 行第 3 个数是_；若第n行从左到右第 12 个数与第 13 个数的比值为 3 4 ， 则n _. 【答案】(1).
20、 36(2). 27 【解析】 【分析】 由归纳推理及组合数的运算可得 【详解】解：依题意 2 9 9 8 36 2 1 C 11 12 3 4 n n C C ， ! 11!(11)! 12 ! 12!(4) 3 12 !11 n n n nn ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 解得27n 故答案为：36；27. 【点睛】本题考查了归纳推理及组合数的运算，属于中档题 16.若函数 2 212ln1f xaxaxx只有一个零点，则实数a的取值范围是_. 【答案】0a 或1a 【解析】 【分析】 首先求出函数的导函数，当0a 时，可得 fx在定义域上单调递减，
21、再根据零点存在性定 理可得 fx在0,1上存在唯一的零点，当0a 时，由导数可得函数 fx的单调性及最小 值为 min 11 12lnf xfa aa ，令 1 12lng aa a ，0,a利用导数说明 g a的单调性，即可求出参数a的值； 【详解】解：因为 2 212ln1f xaxaxx，定义域为0,， 所以 2 22122112 221 axaxaxx fxaxa xxx 当0a 时， 0fx 恒成立， 即 fx在定义域上单调递减， 1310fa， 当0 x 时， 2 0ax ，210ax，2ln x ，所以 f x ，所以 fx在0,1上 存在唯一的零点，满足条件； 当0a 时，令
22、211 0 axx fx x ，解得 1 x a 即函数在 1 , a 上单调递增，令 211 0 axx fx x ，解得 1 0 x a 即函数在 1 0, a 上单调递减， 则 fx在 1 x a 取值极小值即最小值， min 11 12lnf xfa aa ， 令 1 12lng aa a ，0,a，则 22 2121 0 a ga aaa 恒成立，即 1 12lng aa a 在定义域上单调递增，且 11 2ln1 10g ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 所以要使函数 2 212ln1f xaxaxx只有一个零点，则 min 11 12ln0fx
23、fa aa ， 解得1a ， 综上可得0a 或1a ； 故答案为：0a 或1a 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题. 四四、解答题解答题：共共 6 6 小题小题，共共 7070 分分. .请在请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答作答，解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17.2 名女生、4 名男生排成一排，求： （1）2 名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ 【答案】 （1）480 种（2）360 种 【解析】 【分析】 （
24、1）不相邻问题利用插空法法； （2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解： （1）2 名女生不相邻的排列可以分成 2 步完成： 第一步将 4 名男生排成一排，有 4 4 A种排法； 第二步排 2 名女生.由于 2 名女生不相邻，可以在每 2 名男生之间及两端共 5 个位置中选出 2 个排 2 名女生，有 2 5 A种排法. 根据分步计数原理，不同的排法种数是 42 45 24 20480A A . （2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成 2 步完成： 第一步：排 2 名女生，女生的顺序已经确定，这 2 名女生的排法种数为从 6 个位置中选出 2
25、 个位置的组合数，即为 2 6 C； 第二步：排 4 名男生.将 4 名男生在剩下的 4 个位置上进行排列的方法数有 4 4 A种. 根据分步计数原理，不同的排法种数是 24 64 15 24360C A . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 答：分别有 480 和 360 种不同的排法. 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题. 18.已知函数 32 f xxaxx aR. （1）当1a 时，求 fx在区间0,上的最小值； （2）若 fx在区间 1,2上是单调递减函数，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）-1（2） 11 4 a 【解析】 【分析】
26、（1）首先求出函数的导数，求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值； （2）依题意可得 2 321fxxax，因为 fx在区间1,2上是单调减函数，所以对任 意1,2x， 2 3210fxxax 恒成立，且无连续区间使 fx恒为 0，所以 10 20 f f ，解得即可； 【详解】解： （1）当1a 时， 32 f xxxx， 所以 2 321311fxxxxx ， 当0,x时，由 0fx 得1x ， x 0,11 1, fx-0+ fx极小值 1f 所以，当1x 时， fx的最小值为 11f . （2）由已知 2 321fxxax， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1
27、4 - 因为 fx在区间 1,2上是单调减函数，所以对任意 1,2x， 2 3210fxxax 恒成立，且无连续区间使 fx恒为 0. 而 2 321yxax是开口向上的抛物线， 所以，只需 10 20 f f 即可，即 3210 12410 a a ，解得 1 11 4 a a . 综上，当 11 4 a 时， fx在区间1,2上是单调减函数. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中 档题. 19.设 9 29 0129 21xaa xa xa x，求： （1） 1239 aaaa； （2） 1239 239aaaa. 【答案】 （1）2（2）18
28、【解析】 【分析】 记 929 0129 ( )(21)f xxaa xa xa x； （1）令0 x ，可得 0 a，再令1x ，可得 0129 (1)aaaaf，即可得解； （2）对 929 0129 ( )(21)f xxaa xa xa x取导数，再令1x ，即可得到 1239 239(1)aaaf，从而得解； 【详解】解：记 929 0129 ( )(21)f xxaa xa xa x， （1）因为 0 01af ， 由题意 0129 (1)1aaaaf， 所以 12390 (1)2aaaafa. （2）因为 828 1239 ( )2 9 (21)239fxxaa xa xa x
29、， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 所以 8 1239 239(1)2 9 (2 1)18aaaf . 【点睛】本题考查赋值法求二项式系数的和的问题，属于中档题. 20.已知函数 10 x f xkxkek. （1）求函数 fx的极值； （2）求函数 fx在区间0,1上的最大值 g k. 【答案】 （1）见解析（2） 1,001 ,1 kkke g k e ke 或 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，令 0fx 解得 1 x k =，再对k分类讨论即可得解； （2）对k分类讨论，结合（1）中的结论，计算可得； 【详解】解： （1）因为( )(1)
30、(0) x f xkxke k，所以 1 x fxkxe， 由 0fx 解得 1 x k =. 当0k 时， x 1 , k 1 k 1 , k fx -0+ fx极小值 1 f k 所以，当 1 x k =时， fx有极小值 1 1 k fke k ； 当k0时， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - x 1 , k 1 k 1 , k fx+0- fx极大值 1 f k 所以，当 1 x k =时， fx有极大值 1 1 k fke k ； 综上，当0k 时，当 1 x k =时， fx有极小值 1 1 k fke k ； 当k0时，当 1 x k =时， fx
31、有极大值 1 1 k fke k . （2）当k0时，由（1）知， fx为 1 , k 上单调减函数，而 1 0,1, k ， 所以， fx为0,1上单调减函数，故 fx的最大值 01g kfk ； 当01k时， 1 1 k ，由（1）知， fx为 1 , k 上单调减函数，而 1 0,1, k ， 所以， fx为0,1上单调减函数，故 fx的最大值 01g kfk ； 当11ke 时，由（1）知， fx为 1 0, k 上单调减函数， 1 ,1 k 上单调增函数， 又满足 110fekf ，故 fx的最大值 01g kfk ； 当1ke 时，由（1）知， fx为 1 0, k 上单调减函数，
32、 1 ,1 k 上单调增函数， 又满足 110fekf ，故 fx的最大值 1g kfe ； 综上， 1,001 ,1 kkke g k e ke 或 . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、最值问题，考查分类讨论思想，属于 中档题. 21.如图， 在底面边长为6m、 高为3m的正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F展厅内， 长为6m， 宽为1m的矩形油画MNOP挂在厅内正前方中间. （1）求证：平面MNOP 平面 11 BFFB； （2）当游客Q在AF上看油画的纵向视角（即PQM）最大时，求MQ与油
33、画平面所成的 角. 【答案】 （1）证明见解析（2）45. 【解析】 【分析】 （1）连结BF， 11 B F，可证 1 MNFF，MNBF，即可得到MN 面 11 BFFB，从而得证； （2）在矩形 11 AFF A中，设mQFx，0,6x，则 2 tanPQF x ， 1 tanMQF x ， 利用两角差的正切公式表示出tanPQM， 再利用基本不等式求出tanPQM的最值， 过Q 点作QH交EF的延长线于H点，连结MQ，MH，则HMQ就是QM与面 11 FEE F所成 的角，再由勾股定理计算可得； 【详解】解： （1）连结BF， 11 B F，因在正六棱柱 111111 ABCDEFAB
34、C D E F中， 底面ABCDEF是正六边形，120AAFE ， 又ABAF，所以30AFB， 则90EFB，EFBF， 因MNOP是矩形，所以 1 MNFF， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 又/MN EF，所以MNBF， 又 1 BFFFF，BF 面 11 BFFB， 1 FF 面 11 BFFB， 所以MN 面 11 BFFB，又MN 面MNOP， 所以平面MNOP 平面 11 BFFB. （2）在矩形 11 AFF A中，设mQFx，0,6x， 又PQMPQFMQF ，1PMMF， 2 tanPQF x ， 1 tanMQF x ， tantan t
35、antan() 1tantan PQFMQF PQMPQFMQF PQFMQF 2 2 2 211 11 2 122 22 11 ()2 2 x xxx x x x x xxx x ， 2 2 2 22 2x x ，当 2x 时等号成立. 所以 2 tan 4 PQM ，故当 2mx 时，即2mFQ ，PQM最大. 过Q点作QH交EF的延长线于H点，连结MQ，MH. 在正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F中， 1 FF 面ABCDEF， 1 FF 面 11 FEE F，所以面ABCDEF 面 11 FEE F， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
36、 面ABCDEF 面 11 FEE FEF，QHEF，QH 面ABCDEF， 所以QH 面 11 FEE F，则HM为QM在面 11 FEE F内的射影， 故HMQ就是QM与面 11 FEE F所成的角. 在RtQHF中，2FQ ，60QFH，所以 6 2 QH ， 在RtQFM中，2FQ ，1MF ，所以3QM ， 在RtQHM中，3QM ， 6 2 QH ， 所以 2 sin 2 QH HMQ QM ，所以45HMQ. 故游客Q在AF上看油画的纵向视角最大时，MQ与油画平面所成的角为45. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角及两角差的正切公式的应用，属于中档题. 22.已知函数 2 s
37、in x f xxe ，求证： （1） fx在区间0, 2 存在唯一极大值点； （2） fx在0,上有且仅有 2 个零点. 【答案】 （1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导数 fx ，设 g xfx ，对 g x求导，说明其单调性，再根据 零点存在性定理可得 fx 在0, 2 有唯一零点，从而得证； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - （2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明0,上有两个零点，当,x时无 零点. 【详解】解： （1）因为 2 sin x f xxe ，所以 2 cos x fxxe ， 设 g xfx ，
38、则 2 sin x gxxe ，则当0, 2 x 时， 0gx ， 所以 g x即 fx 在0, 2 单调递减， 又 2 1 010f e ， 2 2 0 2 fe ，且 fx 图像是不间断的， 由零点存在性定理可得 fx 在0, 2 有唯一零点，设为. 则当0,x时， 0fx ；当, 2 x 时， 0fx . 所以 fx在0,单调递增，在, 2 单调递减， 故 fx在0, 2 存在唯一极大值点. （2）因为 2 sin x f xxe ，所以 2 cos x fxxe ， 设 g xfx ，则 2 sin x gxxe ，则当0,x时， 0gx ， 所以 g x即 fx 在0,单调递减， 由
39、（1）知， fx在0,单调递增，在, 2 单调递减. 又 2 00fe ， 2 2 10 2 fe ，所以( )0 2 ff ， 又 fx的图像是不间断的，所以存在 1 0,x，使得 1 0f x； 又当, 2 x 时， 0fx ，所以 fx在, 2 递减， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 因 2 0fe ，又0 2 f ，又 fx的图像是不间断的， 所以存在 2 , 2 x ，使得 2 0f x； 当,x时， 2 1 x e ，sin1x ，所以 0f x ，从而 fx在,没有零点. 综上， fx有且仅有 2 个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与函数的零点问题，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 -
