1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 南京师大附中南京师大附中 2019-20202019-2020 学年度第学年度第 2 2 学期学期 高二年级期中考试数学试卷高二年级期中考试数学试卷 注意事项：注意事项： 1.1.本试卷共本试卷共 4 4 页页，包括单选题包括单选题（第第 1 1 题题 第第 8 8 题题） 、多选题多选题（第第 9 9 题题 第第 1212 题题） 、填空题填空题（第第 1 13 3 题题 第题第题 1818 题题） 、解答题解答题（第第 1919 题题 第第 2323 题题）四部分四部分，本试卷满分为本试卷满分为 150150 分分，考试时间为
2、考试时间为 12120 0 分钟分钟. . 2.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题 纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸. . 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.若 2 20 n A，则n的值为（） A.2B.3C.
3、4D.5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据排列数公式可得出关于n的二次方程，进而可解得正整数n的值. 【详解】由排列数公式可得 2 120 n An n，即 2 200nn ， nN ，解得5n . 故选：D. 【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.函数 sin2fxx的导数是（） A.2cos2xB.2cos2xC.2sin2xD. 2sin2x 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复合函数的求导公式可求得 fx ，进而可得出结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 sin2fxx， sin22co
4、s22cos2fxxxxx . 故选：A. 【点睛】本题考查复合函数求导，考查计算能力，属于基础题. 3.若i为虚数单位，复数z满足134zii，则z的虚部为（） A. 5 2 iB. 5 2 C. 5 2 iD. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数z，进而可得出复数z的虚部. 【详解】1345zii，因此， 5 1555 1222 i zi i . 因此，复数z的虚部为 5 2 . 故选：D. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部， 考查计算能力，属于基础题. 4.已知等差数列 n a，若 2 a、
5、 4038 a是函数 32 1 1 3 f xxxmx的极值点，则 2020 a的值 为（） A.1B.1C.D.0 【答案】A 【解析】 【分析】 求得 fx ，利用韦达定理和等差中项的性质可求得 2020 a的值. 【详解】 32 1 1 3 fxxxmx， 2 2fxxxm， 由韦达定理 24038 2aa，又 202024038 1 2 aaa，所以 2020 1a. 故选：A. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了等差中项性质的应用，考查计算能力， 属于基础题. 5.已知复数z满足131zi ，则z的最大值为（
6、） A.1B.2C.3D.4 【答案】C 【解析】 【分析】 设z xyi ，根据等式131zi 得出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程，然后利 用z的几何意义可求得z的最大值. 【详解】设z xyi ，由题意得 2 2 131xy，圆心到原点的距离为 2， max 23zr. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的模长公式、圆的最值问题，属于基础题. 6.若 10 x kex 恒成立，则实数k的取值范围是（） A.,1B.0,1C.0,D.1, 【答案】D 【解析】 【分析】 由参变量分离法得出 1 x x k e 恒成立，构造函数 1 x x g x e ，利用导数求出函数 yg x 的最大值
7、，进而可求得实数k的取值范围. 【详解】由题意得 1 x x k e 恒成立，设 1 x x g x e ，令 0 x x gx e ，则0 x ， 当0 x 时， 0gx ，此时函数 yg x单调递增； 当0 x 时， 0gx ，此时函数 yg x单调递减. 所以， max 01g xg，故1k . 因此，实数k的取值范围是1,. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 故选：D. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属 于中等题. 7.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节 目插入节
8、目单中，那么不同的插法种数为（） A.12B.20C.36D.120 【答案】B 【解析】 【分析】 每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】 利用分步计数原理， 第一步先插入第一个节目， 有4种方法， 第二步插入第二个节目， 此时有5个空，故有5种方法. 因此不同的插法共有20种. 故选：B. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 8.定义在R上的可导函数 fx满足 1fx，若 1231f mfmm，则m的取 值范围是（） A., 1 B. 1 , 3 C.1, D. 1 , 3 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 g xf xx，利用
9、导数分析函数 yg x的单调性，将所求不等式变形为 12g mgm，再由函数 yg x的单调性可解此不等式，进而得解. 【详解】令 g xf xx， 10gxfx ，故 yg x单调递减. 1221f mmfmm，即 12g mgm，12mm ， 1 3 m . 因此，m的取值范围是 1 , 3 . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故选：B 【点睛】本题考查利用构造函数求解函数不等式，根据题意构造新函数并判断新函数的单调 性，再依据新函数单调性化简不等式即可，属于中等题. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
10、，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9.若复数z满足234zii（i为虚数单位） ，则下列结论正确的有（） A. z的虚部为3 B.13z C. z的共轭复数为2 3iD. z是第三象限的点 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】234zii， 34 232 i zi i ， 所以， 复数z的虚部为3，13z ，
11、 共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属 于基础题. 10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法 【答案】CD 【解析】 【分析】 利用捆绑法可计算出 A、 B 选项中的排法种数， 利用特殊位置法可计算出 C 选项中的
12、排法种数， 利用插空法可计算出 D 选项中的排法种数，综合可得出结果. 【详解】A 中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 时，共有 442 44 24576A A 种不同的排法，A 选项错误； B 中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有 35 35 6 120720A A 种不同的排法种数，B 选项错误； C 中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有 25 45 12 1201440A A 种不同的排法种数，C 选项正
13、确； D 中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此 时，共有 43 45 24 601440A A 种不同的排法种数，D 选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力， 属于中等题. 11.已知函数 fx定义域为1,5，部分对应值如表， fx的导函数 fx的图象如图所 示. 下列关于函数 fx的结论正确的有（） x 1 0245 fx12021 A. 函数 fx的极大值点有2个 B. 函数在 fx上0,2是减函数 C. 若1,xt 时， fx的最大值是2，则t的最大值为 4 D. 当12a时，函
14、数 yf xa有4个零点 【答案】ABD 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【分析】 利用导函数的图象可判断 A、B 选项的正误；取5t ，结合函数的最值与单调性的关系可判断 C 选项的正误；作出函数 yf x的草图，数形结合可判断 D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由导数的正负性可知，函数 yf x的单调递增区间为,0、2,4，单调递减 区间为0,2、 4,，B 选项正确； 函数 yf x有2个极大值点，A 选项正确； 当1,5x 时，函数 yf x最大值是2，而t最大值不是4，C 选项错误； 作出函数 yf x的图象如下图所示，由下图可知，当
15、12a时，函数y a 与函数 yf x的图象有四个交点，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问 题的能力，属于中等题. 12.若函数 fx的图象上存在两个不同的点A、B，使得曲线 yf x在这两点处的切线 重合，称函数 fx具有T性质.下列函数中具有T性质的有（） A. x yexB. 42 yxxC. 3 yxD. sinyxx 【答案】BD 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 根据题意可知性质T指函数 yf x的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中 函数的导函
16、数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断 A、B 选项的正误；利用导数相等， 求解方程，可判断 C、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由题意可得，性质T指函数 yf x的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两 个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等. 对于 A 选项， x yex，则1 x ye ，导函数为增函数，不存在不同的两个x使得导数值 相等，所以 A 不符合； 对于 B 选项，函数 42 yxx为偶函数， 32 42221yxxxx ， 令0y ，可得0 x 或 2 2 x ，如下图所示： 由图象可知，函数 42 yxx在 2 2 x 和 2 2 x 处的切
17、线重合，所以 B 选项符合； 对于 C 选项，设两切点分别为 3 11 ,x x和 3 22 ,x x，则两切点处的导数值相等有： 22 12 33xx， 解得： 12 xx ，令 1 xa，则 2 xa ， 两切点处的导数 2 3ya ， 两切点连线的斜率为 33 2 aa ka aa ， 则 22 3aa ， 得0a ， 两切点重合，不符合题意，所以 C 选项不符合； 对于 D 选项，1 cosyx ，设两切点得横坐标分别为 1 x和 2 x， 则 12 1 cos1 cosxx ，所以 12 coscosxx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 取 1 2
18、x ， 2 5 2 x ，则 1 1 2 y ， 2 5 1 2 y ， 两切点处的导数值为1y ，两切点连线的直线斜率为 21 21 1 yy k xx ， 所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质T，所以 D 选项符合. 故选：BD. 【点睛】本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求 解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 13.已知复数z满足 3 0z z ，则| z _ 【答案】 3 【解析】 分析：设( ,)zabi a bR
19、，代入 2 3z ，由复数相等的条件列式求得 , a b的值得答案 详解：由 3 0z z ，得 2 3z ， 设( ,)zabi a bR， 由 2 3z 得 222 ()23abiababi ，即 22 3 20 ab ab ，解得0,3ab ， 所以 3zi ，则3z 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基 础题，着重考查了考生的推理与运算能力 14.已知函数 2 3 x f x x ，则 0f 的值为_. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 先求出 fx ，进而可求得 0 f 的值. 【详解】 2 3 x f x x ， 22 2 22 22
20、 32 3 33 xx x fx xx ，因此， 1 0 3 f . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题考查导数的计算，只需对函数进行求导，再代入值即可，属于基础题. 15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有 _种（请用数字作答）. 【答案】216 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：甲在最右边；乙在最右边.分别计算出两种情况下的排法种数，利用分 类加法计数原理可求得结果. 【详解】分两种情况讨论：甲在最右边，则其他位置的安排没有限制，此时排法种数为 5 5 A； 乙在最右边，甲在除
21、了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下四个进行排列，此时， 排法种数为 14 44 C A. 综上所述，不同的排法种数为 514 544 216AC A. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合，解题的关键就是要对甲的位置分类讨论，考查计算能力，属于 中等题. 16.直线y m 与直线 23yx 和曲线ln2yx分别相交于,A B两点，则|AB的最小值 _ 【答案】2 【解析】 【分析】 通过图像可以判断出，y m 与 23yx 的交点在与ln2yx的交点的左边， 求出两点的横坐标，然后做差，得到AB关于m的函数，然后利用导数求出其最小值， 【详解】如图，设直线y m 与 23yx 的
22、交点为A,直线y m 与ln2yx的交点为B, 则A在B的左侧，则 3 2 A m x ， 2 m B e x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 所以 3 22 m em AB 设 3 22 m em f m ， 1 2 m e fm 当0m时， 0fm ， f m单调递减；当0m 时， 0fm ， f m单调递增， 所以当0m 时， f m取得极小值，也是最小值， 0 min 03 02 2 e f mf 故AB的最小值为2 【点睛】本题考查函数图像与解析式的结合，数形结合的数学思想，将线段长度表示为函数， 利用导数求出函数的最值，综合性比较强，属于难题. 1
23、7.已知函数 1 x f xex，则它的极小值为_；若函数 g xmx，对于任意的 1 2,2x ，总存在 2 1,2x ，使得 12 f xg x，则实数m的取值范围是 _. 【答案】(1).1(2). 1 ,1, 2 【解析】 【分析】 （1）利用导数可求得函数 yf x的极小值； （2）由题意可得出 minmin f xg x，分0m 、0m、0m 三种情况讨论，根据题意 可得出关于m的不等式，进而可求得m的取值范围. 【详解】 （1）由 1 x f xex，得 1 xxx fxexexe，令 0fx，得0 x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 列表如
24、下： x ,000, fx 0 fx极小值 所以，函数 yf x的极小值为 0 00 11fe ； （2） 1 2,2x ， 2 1,2x ，使得 12 f xg x，即 minmin f xg x， minmin 1g xfx . 当0m 时，函数 yg x单调递增， min 1g xgm ， 1m ，即1m ； 当0m时，函数 yg x单调递减， min 22g xgm，21m ，即 1 2 m ； 当0m 时， 0g x ，不符合题意. 综上： 1 ,1, 2 m . 故答案为：1； 1 ,1, 2 . 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合， 考
25、查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18.已知定义域为R的奇函数 fx满足2fxfx，且当01x时， 3 f xxx.若函数 t h xf x x 在4,00,4上有4个不同的零点，则实数t的 取值范围是_. 【答案】6,2 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 推导出函数 yf x的周期和对称轴方程，并作出函数 yf x在4,4上的图象，数形 结合可得出关于t的不等式，进而可求得实数t的取值范围. 【详解】由 2fxf x fxf x 得： 4f xf x，所以，函数 yf x的周期为4， 由2fxfx得11fxfx，所以，函数 yf x关于直
26、线1x 对称， 3 f xxx，0,1x， 2 310fxx ， 所以，函数 yf x在0,1x上单调递增， yf x在4,4x 上的图象如下： 函数 t h xf x x 的零点，即 yf x与 t g x x 的图象的交点. 当0t 时，要有四个交点，则需满足 11gf，即2t ，此时02t ； 当0t 时，要有四个交点，则需满足 33gf，即2 3 t ，即60t ； 当0t 时， 0g x ，即 yf x在4,00,4上的零点，有4个，分别是4x 、 2、2、4，满足题意. 综上：6,2t . 故答案为：6,2. 【点睛】本题利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数，考查
27、分类讨论 思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 5 5 小题小题，共共 6060 分分. .解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 19.设复数 1 2()zai aR， 2 43zi. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （1）若 12 zz 是实数，求 12 zz； （2）若 1 2 z z 是纯虚数，求 1 z的共轭复数. 【答案】(1) 12=17 6zzi(2) 8 2 3 i 【解析】 【分析】 （1）由 12 zz 是实数求得a，再由复数代数形式的乘法运算求
28、z1z2的值； （2）利用复数代数 形式的除法运算化简 1 2 z z ，由实部为 0 且虚部不为 0 求得a，再由共轭复数的概念可得答案 【详解】解： （1） 12 6(3)zza i是实数， 3=03aa ， 1 23zi， 12 (23 )(43 )176zziii. （2） 1 2 2432(83 )(64 ) 43434+325 aiizaiaa i ziii 是纯虚数， 830 640 a a ，即 8 3 a ， 1 8 2 3 zi， 故 1 z的共轭复数为 8 2 3 i. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念和共轭复数的求法，属于 简单题 20.已知函
29、数 32 11 66, 32 f xxaxaxb a bR. （1）若函数 fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率为2，求a、b的值； （2）若在区间2,3上，函数 fx不单调，求a的取值范围. 【答案】 （1） 1 3 a ，0b ； （2）2,3. 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （1）根据题意可得 00 02 f f ，进而可解得a、b的值； （2）根据题意可知，函数 yf x在区间2,3上有极值点，设 xfx ，分函数 yx在区间2,3只有一根，或两根，利用二次函数零点分布可得出关于a的不等式组， 由此可解得a的取值范围. 【详解】
30、 （1） 000fb， 2 66fxxaxa ， 062fa ，解得 1 3 a ； （2）由题意得 0fx在2,3上有解，令 2 66xxaxa. 一根在2,3上， 6 3 2 2023 30 a a 或 6 2 2 20 30 a ，该不等式组无解； 两根在2,3上， 2 6240 6 23 2 20 30 aa a ，该不等式组无解. 综上2,3a. 【点睛】本题难度一般.第一问考查了导函数的几何意义，第二问直接考查了导函数的极值问 题，间接考查了二次方程根的分布问题，属于中等题. 21.为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设数学史 、 微积分先修 课程 、 数学探究
31、、 数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门 课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是 等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率： （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择数学史 ，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】 （1） 3 8 ； （2）48； （3）10. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【解析】 【分析】 （1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数， 利用古典概型的概率公式可
32、求得结果； （2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分 步乘法计数原理可求得结果； （3）分两种情况讨论：有两位同学选择数学史 ；三位同学都选择数学史.分别计 算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】 （1）三位同学选择课程共有 3 464 种情况； 三位同学选择的课程互不相同共有 3 4 24A 种情况，所求概率为 243 648 ； （2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有 2 4 12A 种情况，丙有4种不同的选择， 所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12 448种情况； （3）分两种情况讨论：有两位同学选择数学
33、史,共有 21 33 9CC种不同的情况； 有三位同学选择数学史共有1种情况. 综上所述，总共有9 110 种不同的选课种数. 【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本 应用，属于中等题. 22.如图，某景区内有两条道路AB、AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并 把ABC所在的区域改造成绿化区域.已知 6 BAC ，2ABkm， 2 3APkm .若绿 化区域ABC改造成本为10万元 2 /km，新建道路BC成本为10万元/km. （1）设ABC，写出该计划所需总费用 F的表达式，并写出的范围； 设ACx，写出该计划所需总费用 F x的表达式
34、，并写出x的范围； （2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C在何处时改造计划的总费用最小. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 【答案】（1） 10sin10 5 sin 6 F ， 2 0, 3 ； 2 1 1042 302 3 2 F xxxxx ； （2） 2 3 3 AC . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理求出BC、AC关于的表达式，根据题意可得出 F的表达式，并 可求得的范围； 设ACx，利用余弦定理求出BC，根据题意可得出 F x的表达式，并可求得x的取值 范围； （2）利用导数求得函数 yF的最小值，及其对应的的值，进而得解. 【详解】 （
35、1）设ABC，由正弦定理得 2 5sin sinsin 66 ACBC ， 1 5 sin 6 BC ， 2sin 5 sin 6 AC ， 101110sin10 1010102sin 5552 sinsinsin 666 ABC FBCS . 当点C与点P重合的时候， 2 3 ，所以 2 0, 3 ； 设ACx， 2 42 3BCxx ， 2 1 101042 302 3 2 ABC F xSBCxxxx ； （2） 10sin1020sin20 5 cos3sin sin 6 F ，则 2 40sin20 3 cos3sin F ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -
36、 18 - 令 0F，得 1 sin 32 ，且, 33 3 ，所以 36 ，得 6 . 当0, 6 时， 0F，此时，函数 yF单调递减； 当 2 , 63 时， 0F，此时，函数 yF单调递增. 所以当 6 ，即 2 3 3 AC 时，改造计划的总费用最小. 【点睛】本题考查导数在实际生活中的应用，要注意以边、角分别为变量求得函数解析式， 并利用导数求出函数的最值，是常见题型，难度中等. 23.设函数 lnf xxax aR， g xxf x. （1）若 0f x 恒成立，求a的取值范围； （2）若 1 2 a ，试讨论 g x的单调性； 若 2 2 e g x 有两个不同的零点，求a的取
37、值范围，并说明理由. 【答案】 （1） 1 a e ； （2）在0,单调递减； 2 3 0 2 a e ，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由 0f x 得出 ln x a x ，令 ln x h x x ，利用导数求出函数 yh x的最大值，进 而可得出实数a的取值范围； （2）将 1 2 a 代入函数 yg x的解析式，利用导数可求得函数 yg x的单调区间； 由参变量分离法得出 2 2 ln 2 xe a xx ，构造函数 2 2 ln 2 xe x xx ，利用导数分析函数 yx的单调性与极值，进而可求得实数a的取值范围. 【详解】 （1） ln0fxxax，lnaxx，则 ln
38、 x a x ， 令 ln x h x x ，则 2 1 ln x h x x ，令 2 1 ln 0 x h x x ，得xe. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 当0 xe时， 0h x ，此时函数 yh x单调递增； 当xe时， 0h x ，此时函数 yh x单调递减. max 1 h xh e e ，则 1 a e ， 因此，实数a的取值范围是 1 , e ； （2）当 1 2 a 时， 2 1 ln 2 g xxxx，则 ln1gxxx， 令 ln1h xxx，则 11 1 x hx xx ， 当01x时， 0h x ，此时函数 yh x单调递增； 当
39、1x 时， 0h x ，此时函数 yh x单调递减. max 10h xh ， 0h x恒成立，即 0gx恒成立， 因此，函数 yg x在0,上单调递减； 由 2 2 e g x ，得 2 2 ln 2 e xxax，得 2 2 ln 2 xe a xx ， 令 2 2 ln 2 xe x xx ，其中0 x ，则 22 233 1 lnlnxexxxe x xxx ， 令 2 lns xxxxe， lnsxx ， 当01x时， 0s x ，此时函数 ys x单调递增； 当1x 时， 0s x ，此时函数 ys x单调递减. 2 1se， 2 0s e，当1x ， 22 ln1 ln0 xxx
40、exxe， 当 2 1xe 时， 2 0s xs e，则 0 x； 当 2 xe 时， 2 0s xs e，则 0 x. 所以，函数 yx在区间 2 0,e上单调递增，在区间 2, e 单调递减，则 2 2max 3 2 xe e ，且当 2 xe 时， 2 2 2 ln 0 2 xxe x x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 所以， 2 3 0 2 a e . 【点睛】本题考查利用导数的综合应用，考查恒成立问题分析法和分参法，二次求导分析函 数单调性，前两问正常难度，分析讨论，最后一问考查了隐零点，取点等函数分析法，难度 较大，考验学生的分析能力，属于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 -
