1、2020-20212020-2021 学年第一学期高二期中考试学年第一学期高二期中考试 数学学科试题数学学科试题 一选择题：本题共一选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.命题 2 ,0 xR xx 的否定是() A 2 000 ,0 xR xx B 2 000 ,0 xR xx C 2 ,0 xR xx D 2 ,0 xR xx 2.现有这么一列数：1， 3 2 ， 5 4 ， 7 8 ，（）， 11 32 ， 13 64
2、，按照规律，（）中的数应为（）. A 11 18 B 11 16 C 1 2 D 9 16 3.设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 52 2, 16aa，则 10= S（） A1023B511C1023D511 4.设aR，则“1a ”是“ 2 aa ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 36 9,36SS，则 789 aaa等于() A63B45C36D27 6.已知正数m，n满足18m nn，则2mn的最小值是(). A18B16C8D10 7.过点( 3 2) ，且与 22 1 94 xy 有
3、相同焦点的椭圆的方程是（） A 22 1 1015 xy B 22 1 225100 xy C 22 1 1510 xy D 22 1 100225 xy 8. 几何原本 卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世 西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理， 很多的代数的公理或 定理都能够通过图形实现证明， 也称之为无字证明.现有如图所示图形， 点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa， BCb，则该图形可以完成的无字证明为() A(0,0) 2 ab ab ab B 22 2(0,0)abab ab C 2 (0,0) ab ab ab ab D 22 (0,0
4、) 22 b aa a bb 二选择题二选择题: :本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题 目要求目要求. . 全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分分. . 9.设0,bacR，则下列不等式中正确的是() A ab B. 11 ab C. 2 2 aa bb D. 22 acbc 10. 下列四个函数中，最小值为2的是() A 1 sin(0) sin2 yxx x B 1 ln(0
5、,1) ln yxxx x C 2 2 6 5 x y x D 44 xx y 11.在公比q为整数的等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项，若 14 18aa， 23 12aa，则 下列说法正确的是（） A 2q = B数列2 n S 是等比数列 C 8 510S D数列lg n a是公差为 2 的等差数列 12.等差数列 n a是递增数列， 公差为d， 前n项和为 n S， 满足 75 3aa， 下列选项正确的是() A0 d B 1 0a C当5n 时 n S最小D0 n S时n的最小值为8 三填空题：本题共三填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分
6、，共 2020 分分 13.设 3 0, 2 x ，则函数 4 (32 )yxx 的最大值为_ 14. 若关于x的不等式 2 ()10( ,0)axab xa bR a 的解集为13xx ，则b 15.我国古代的天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu)长 损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、 处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数 列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 16.5 尺，这十二节气的所有日影子长 之和为 84 尺，则立冬的日影子长为_
7、尺. 16.若数列 n a满足 1 11 (,) nn d nNd aa 为常数，则称数列 n a为“调和数列”，已知正项 数列 1 n b 为“调和数列”，且 212019 20190bbbL，则 2 2018 b b的最大值是_ 四四. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 题，第题，第 1717 题题 1010 分，第分，第 1818- -2222 题每题题每题 1212 分，共分，共 7070 分）分） 17.17.已知 2 :|230,:|3pAxxxqBxxm，若 p是q的充分条件，求实数m的 取值范围 18.18.在等差数列 n a 中，已知 53 15,18aS (1)求
8、数列 n a 的通项公式； (2)若_，求数列 n b 的前n项和 n S 在 1 9 n nn b a a ，( 1)n nn ba 这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19.19. 已知函数 2 ( )(1)()f xxcxc cR (1)解关于x的不等式 ( )0f x ； (2)当2c 时,不等式 2 ( )5f xax 在(0,2)上恒成立,求实数a的取值范围 20.20. 椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，焦距为2，过 1 F的直线交椭圆于 ,A B两点，且 2 A
9、BFV的周长为 8. (1)求椭圆E的方程；(2)若ABx轴，求 2 ABFV的面积 21.21.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求 0 60ACB ，BC的长度大于1米，且 AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，设(1),(0)BCx xACt t， （1）求t关于x的表达式；（2）当BC为何值时，AC最短并求最短值. 22.22.设数列 n a的前n项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式 (2)若 n n n b a ,求 n b的前n项和 n T (3)在（2）的条件
10、下判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立?若存在，求出所有n值； 若不存在说明理由. 2020-20212020-2021 学年第一学期高二期中考试学年第一学期高二期中考试 数学学科答案数学学科答案 一选择题：本题共一选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1、B2、D 3 、C4 、A 5、B6 、A 7、C8、 D 二二选择题选择题: :本题共本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 20
11、分分. . 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题 目要求目要求. . 全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分分. . 9、ABC10、AD 11.ABC12、BD 三填空题：本题共三填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13、9 2 14、115、10.516、100. 四四. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 题，第题，第 1717 题题 1010 分，第分，第 1818- -2222 题每题题每题 1212 分
12、，共分，共 7070 分）分） 17.（10 分）分）已知 p：Ax|x22x30，q：Bx|xm|3，若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围 解：由题意得 Ax|1x3 ，（2 分） Bx|xm3 （4 分） 因为 p 是 q 的充分条件，所以 AB，（6 分） 所以 m33 或 m36 或 m4，（9 分） 即实数 m 的取值范围是(，4)(6，)（10 分） 18.（12 分）分）在等差数列 n a 中，已知 53 15,18aS (1)求数列 n a 的通项公式； (2)若_，求数列 n b 的前 n 项和 n S 在 1 9 n nn b a a ，( 1)n nn ba
13、 这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】(1)由题意得， 1 1 415 32 318 2 ad ad ，解得 1 3 3 a d (3 分) 3 (1) 33 n ann (5 分) (2)选条件： 1 99111 33(1)(1)1 n nn b a annn nnn ，（8 分) 111111 11 223111 n n S nnnn L.(12 分) 选条件：3 n an，( 1)n nn ba ， 36912( 1) 3 n n Sn L，(7 分) 当 n 为偶数时， 3 ( 36)( 912) 3(1)3 3
14、22 n nn Snn L；(9 分) 当 n 为奇数时，n1 为偶数， 13 ( 36)( 912) 3(2)3(1)333(1) 22 n n Snnnnn L（11 分） 3 , 2 3 (1), 2 n n n S nn 为偶数 为奇数 .(12 分) 19、（、（12 分）分）已知函数 f(x)x2(c1)xc(cR) (1)解关于 x 的不等式 f(x)0； (2)当2c 时,不等式 2 ( )5f xax 在(0,2)上恒成立,求实数a的取值范围 【解析】(1)f(x)0 x2(c1)xc(x1)(xc)0,（2 分） 当 c1 时,cx1,（3 分） 当 c1 时,(x1)21
15、 时,1xc,（5 分） 综上,当 c1 时,不等式的解集为 x|cx1 时,不等式的解集为 x|1xc（6 分） (2)当 c2 时, 2 ( )5f xax 化为 22 25xxax 22 3xxax 对一切 x(0,2)恒成立, 2 min 13 1 xx a （8 分） 设 2 13 ( )1g x xx 11 ( ,) 2 t x 令( 9 分) 2 1 13 () 2 yttt 9 , 4 y (11 分 ) 9 4 a (12 分) 20、（、（12 分）分）椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F 1，右焦点为 F2，焦距为 2，过 F1的直线交 椭圆于 A
16、，B 两点，且ABF2的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程；(2)若 ABx 轴，求ABF2的面积 解：(1)由题意知，4a8，所以 a2，（3 分） 由焦距为 2，所以 c1，所以 b22213，（5 分） 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1.（6 分） (2)设直线 AB 的方程为 x-1， 由x 2 4 y 2 3 1，x-1，得 y2 9 4 ， 解得 y1 3 2 ，y2- 3 2 ，（10 分） 所以 SABF2c|y1y2|3（12 分） 21、（、（12 分）分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求ACB60，BC 的长度大 于 1 米，且 AC
17、 比 AB 长 0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，设 BCx(x1)，ACt(t 0)， （1）求 t 关于 x 的表达式；（2）当 BC 为何值时，AC 最短并求最短值. 解：（1）由题意得 ABAC0.5t0.5，（2 分） 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 60，即(t 0.5)2t2x2tx，（4 分） 化简并整理得 tx 20.25 x1 (x1)，（6 分） （2）tx10.75 x122 3（10 分） 当且仅当 x1 3 2 时，等号成立 ，（11 分） 此时 t 取最小值 2 3. 答：当 BC= 3 1 2 米时 ，AC 最短，
18、最短值 2 3米.（12 分） 22.（12 分）分）设数列 n a的前 n 项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式 (2)若 n n n b a ,求 n b的前 n 项和 n T (3)在（2）的条件下判断是否存在正整数 n 使得 1 250 n n Tn 成立?若存在求出所有 n 值;若不存 在说明理由. 【答案】(1) 1 21 nn SS 1 121 nn SS ， * nN 因为 11 1aS，所以可推出10 n S 故 1 1 2 1 n n S S ，即1 n S 为等比数列（2 分） 1
19、12S ，公比为 2 12n n S ，即21 n n S ， 1 1 21 n n S ，当2n 时， 1 1 2n nnn aSS ， 1 1a 也满 足此式， 1 2n n a - =；（4 分） (2) 因为 1 2 n n n nn b a ， 011 12 222 n n n T 12 112 2222 n n n T ，两式相减得: 011 11112 2 222222 n nnn nn T 即 1 2 4 2 n n n T （8 分） (3)代入 1 250 n n Tn ，得2 260 n n 所以2 26 n n ，即 26 1 2n n （9 分） 令 26 ( ) 2n n f n ， 1 25 1( )0 2n n f nf n ( )f n为单调递减数列 又 27293031 1,27,3,4,5 281632 fffff， 因为( )f n为单调递减数列，所以5,( )1nf n当（11 分） 所以不存在正整数 n 使得 1 250 n n Tn 成立（12 分）
