1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019201920202020 学年度第二学期期中调研测试学年度第二学期期中调研测试 高二数学试题高二数学试题 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡. . 2.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. .如需改动如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其它答
2、案标号. .回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上. .写在本试卷写在本试卷 上无效上无效. . 3.3.本试卷满分为本试卷满分为 150150 分，考试时间为分，考试时间为 120120 分钟分钟. . 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.复数 1 i z i （其中i是虚数单位）的虚部是（）. A.1B.iC.1D.i 【答案】C 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的
3、乘除运算化简复数z得答案 【详解】解： 11 1 iii zi ii i ，故复数z的虚部为1， 故选：C 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2.下列求导数运算正确的是（） A. cossinxx B. 33 ln3 xx C. lnln -1xxx D. sincos 33 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案. 【详解】由于(cos )sinxx ，故选项A不正确； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 由于 3=3 ln3 xx ，故选项
4、B正确； 由于( ln )ln1xxx ，故选项C不正确； 由于 1 sincos 333 xx ，故选项D不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题. 3.棣莫弗公式(cossin )cossin n xixnxinx（i是虚数单位） ，是由法国数学家棣莫弗发 现的，根据棣莫弗公式可知，复数 6 cossin 77 i 在复平面内所对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据公式(cossin )cossin n xixnxinx化简 6 cossin 77 i ,进而得出象限即可. 【详解】由题,
5、 6 66 cossincossin 7777 ii ,因为 66 cos0,sin0 77 . 故复数 6 cossin 77 i 在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题. 4.函数 5 ( )lnf xx x 的单调减区间为（）. A.(,5)B.(0,5)C.(5,)D.(0,) 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【详解】解：因为 5 ( )lnf xx x ，所以函数的定义域为0,， 所 22 515 (
6、 ) x fx xxx ， 令( )0fx ，解得05x 故函数的单调递减区间为0,5 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题 5.函数 1 ( )21f xx x 在区间(,0)上（）. A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】 结合基本不等式即可求解 【详解】解：因为函数 1 ( )21f xx x ，0 x ； 111 ( )21( 2 ) 12 ( 2 )12 21f xxxx xxx ； 当且仅当 1 2x x 即 2 2 x 时等号成立； 函数 1 ( )2
7、1f xx x 在区间(,0)上有最大值： 2 21 ，无最小值 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题 6.设 0 ln ,2f xxx fx，则 0 x （） A. 2 e B. e C. ln2 2 D.ln2 【答案】B 【解析】 【分析】 求得导函数 fx，由此解方程 0 2fx求得 0 x的值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】依题意 1lnfxx ，所以 000 1 ln2,fxxxe . 故选：B 【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题. 7.已知函数 2 fxx xc在1x 处有极
8、大值，则常数c的值为（）. A. 1 或 3B. 3C. 1D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数，再令导数等于 0，求出c值，再检验函数的导数是否满足在1x 处左侧为 正数，右侧为负数，把不满足条件的c值舍去 【详解】解：函数 2322 ( )()2f xx xcxcxc x，它的导数为 22 ( )34fxxcxc， 由题意知，在1x 处的导数值为 2 340cc，3c ，或1c ， 又函数 2 ( )()f xx xc在1x 处有极大值，故导数值在1x 处左侧为正数，右侧为负数 当3c 时， 2 ( )31293(1)(3)fxxxxx，满足导数值在1x 处左侧为正数
9、，右侧为 负数 当1c 时， 2 ( )341(31)(1)fxxxxx ，导数值在1x 处左侧为负数，右侧为正数 故3c 故选：B 【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于 0，且导数在该点左侧为正数， 右侧为负数，属于中档题 8.已知函数( )ln1 x f xaex，若( )0f x 恒成立，则实数a的取值范围（）. A. 1 ,) e B.1,)C.2,)D.), e 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 依题意可得 ln1 x x a e 在0,x上恒成立，构造函数 ln1 x x g x e ，利用导数研究函
10、数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为( )ln1 x f xaex，定义域为0,， 因为( )0f x 恒成立，即 ln1 x x a e 在0,x上恒成立， 令 ln1 x x g x e ，则 1 ln1 x x x gx e ， 令 1 ln1h xx x ，则 2 11 0hx xx 恒成立，即 1 ln1h xx x 在定义域上单 调递减， 又 10h， 所以当0,1x时 0h x ， 当1,x时 0h x ， 即当0,1x 时 0gx ，当1,x时 0gx ， 即 ln1 x x g x e 在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 故 ln1 x x g
11、x e 在1x 处取得极大值，即最大值， max 1 1g xg e ，所以 1 a e ，即 1 ,a e . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求，全部选对得项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得分，部分选对得3分，有选错的得分，有选错的得0分分. . 9.对于复数( ,)zabi a bR，下列结论错误 的是（）. A. 若0a
12、，则abi为纯虚数B. 若32abii，则3,2ab C. 若0b ，则abi为实数D. 纯虚数z的共轭复数是z 【答案】AB 【解析】 【分析】 由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得 【详解】解：因为( ,)zabi a bR 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 当0a 且0b时复数为纯虚数，此时z biz ，故 A 错误，D 正确； 当0b 时，复数为实数，故 C 正确； 对于 B：32abii，则 3 2 a b 即 3 2 a b ，故 B 错误； 故错误的有 AB； 故选：AB 【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题 10.直线 1 2
13、yxb能作为下列（）函数的图像的切线. A. 1 ( )f x x B. 4 ( )f xx C.( )cosf xxD. ( )lnf xx 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先求出函数的导函数，然后根据直线 1 2 yxb能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线 斜率的关系建立等式，看是否成立即可 【详解】解：函数 1 2 yxb，可得 2 11 ( ) 2 fx x 不成立；所以A不正确； 4 ( )f xx， 3 1 ( )4 2 fxx可以成立；所以B正确； ( )cosf xx， 1 ( )sin 2 fxx ，可以成立；所以C正确； ( )lnf xx ， 11 ( ) 2 f
14、 x x 可成立所以D正确； 故直线 1 2 yxb能作为BCD函数图象的切线， 故选：BCD 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关 系，属于基础题 11.如图是( )yf x的导函数( )fx 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - A. ( )f x在2,1 上是增函数； B. 当4x 时， ( )f x取得极小值； C. ( )f x在 1,2 上是增函数、在2,4上是减函数； D. 当1x 时， ( )f x取得极大值. 【答案】BC 【解析】 【分析】 这是一个图象题
15、，考查了两个知识点：导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上， 导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数； 极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值 【详解】解：由图象可以看出，在 2 ，1 上导数小于零，故A不对；1x 左侧导数小于 零，右侧导数大于零，所以1x 是 ( )f x的极小值点,故B对； 在 1 ，2上导数大于零，在 2,4上导数小于零，故C对；1x 左右两侧导数的符号都为 正，所以1x 不是极值点，D不对 故选：BC 【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知 识性较强
16、的一个题 12.若函数( ) lnf xx在定义域上单调递增，则称函数 ( )f x具有M性质.下列函数中所有具有 M性质的函数为（）. A. 1 ( )f x e B.( )1f xx=-C. 1 ( ) x f x e D. ( ) x f xe 【答案】AD 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【分析】 根据已知中函数 ( )f x具有M性质的定义，一一验证可得 【详解】解：对于 A， 1 ( ) lnlng xf xxx e 定义域为0,，则 1 0gx ex 恒成 立，故满足条件； 对于 B， ( ) ln1 lng xf xxxx定义域为0,，
17、则 1 ln1gxx x ，又 2 111 ln10 x xxx ， 1 1ln110 1 g ， 即当01x时 0gx， 函数 g x 在0,1上单调递减，当1x 时 0gx ，函数 g x在 1,上单调递增，故不满足条件； 对于 C， 1 ( ) lnln x g xf xxx e 定义域为0,， 1 ln x x x gx e ，又 2 111 ln0 x xxx ，即 gx 在定义域上单调递减，且 1 1 0 e e g e e ，故不满足 函数 g x在定义域上单调递增，故错误； 对于 D， ( ) lnln x g xf xxex定义域为0,， 11 lnln xxx gxexee
18、x xx ，令 1 lnh xx x ， 22 111x h x xxx ， 则1x 时， 0h x ；当01x时 0h x ，即 h x在0,1上单调递减，在 1,上 单调递增，在1x 处取得极小值即最小值 min 110h xh ，所以 1 ln0 x gxex x 恒成立，即 g x在定义域上单调递增，故 D 正确； 故选：AD 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.计算(23 )(23 )ii_. 【答案】13 【解析】 【分析】 高考资源网（）您
19、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 直接根据复数的乘法法则计算可得； 【详解】解： 2 2 (23 )(23 )2313iii. 故答案为：13. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 14.已知函数( )tanf xx，那么 4 f 的值为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据题意，求出函数的导数，将 4 x 代入导函数的解析式，计算即可得答案 【详解】解：根据题意， sin ( )tan cos x f xx x ，则 22 (sin ) cossin (cos )1 ( ) xxxx fx cos xcos x ， 则 2 1 ()2 4 4 f cos . 故答案为
20、：2. 【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题 15.函数 2sinf xxax在0, 2 上的单调递减，则实数a的取值范围为_. 【答案】2,) 【解析】 【分析】 首先求出函数的导数，依题意可得 2cos0fxxa 在0, 2 上恒成立，参变分离，根 据余弦函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：因为 2sinf xxax，0, 2 x ， 所以 2cosfxxa ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 因为函数 2sinf xxax在0, 2 上的单调递减， 所以 2cos0fxxa 在0, 2 上恒成立， 即2cosax在0, 2
21、x 上恒成立， 因为 2cosg xx在0, 2 x 上单调递减，所以 max 02cos02g xg 所以2a ，即2,a 故答案为：2, 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于 中档题. 16.已知函数 3 3 34 , ( ) 32 , xxa xa f x xxa xa ，若存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x，则实数a的取值 范围是_. 【答案】(0,1 【解析】 【分析】 分别求得xa，x a时 ( )f x的导数， 求得单调性、 极值， 讨论 0a ，01a，1a ，0a ， 结合函数 ( )f x存在正的零点，可得a的范围 【详解
22、】解：由 3 ( )34f xxxa的导数为 2 ( )330fxx， 可得xa为增函数，可得 3 ( )f xaa， 且xa时， 3 ( )32f xxxa的导数为 2 ( )33fxx， 即有11x 时， ( )f x单调递减； 1x 或1x 时， ( )f x单调递增， 可得1x 为极小值22a ，1x 处取得极大值22a， 0a 时，0 x 时，( )0f x ；0 x 时， ( )f x在( 1,0) 递减，(, 1) 递增， 无正的零点； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 01a时，xa时， ( )f xf a ， 32 10f aaaa a，故函数
23、( )f x存在正的零 点，满足条件； 当1a 时，xa时，( ) f x递增， 32 ( )0f xf aaaa a ； 当xa时， fx在1,1 上单调递减，在1,a上单调递增，则1x 时函数取得极小值即最小值， 122210faa，故不存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 当0a 时， fx在0,上单调递增，且 040fa ，故不存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 综上可得01a时，存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 故答案为：0,1 【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求 单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中
24、档题 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 7070 分分，请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤说明、证明或演算步骤. . 17.已知mR，复数 2 29zmmi. （1）若z对应的点在第一象限，求m的取值范围； （2）若z的共轭复数z与复数 8 +5i m 相等，求m的值. 【答案】 （1）3m （2）2m 【解析】 【分析】 （1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可； （2）首先求出复数z的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可； 【详解】解： （1）由题意得 2 20 90 m m
25、 ，解得3m ， 所以m的取值范围是3m ； （2）因为 2 29zmmi，所以 2 =2(9)z mmi， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 因为z与复数 8 +5i m 相等，所以 2 8 2 95 m m m ，解得2m . 【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题 18.已知函数 32 ( ),f xxaxaR且(1)3 f . （1）求a的值； （2）求函数 ( )f x在区间0,3上的最大值. 【答案】 （1）0a （2）27 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可； （2）由（
26、1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值； 【详解】解： （1）因为 32 ( ),f xxaxaR 2 ( )32fxxax，由(1)3 f ，得323a，解得0a （2）由（1）得 3 ( )f xx，因为 2 ( )30fxx，所以 3 ( )f xx在0,3上单调递增， 所以 fx在3x 时取得最大值， max 327f xf 【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题. 19.已知复数 12 ,34zxyi zi（, x yR，i为虚数单位）. （1）若2y 且 1 2 z z 是纯虚数，求实数x的值； （2）若复数 12 =1zz，求
27、 1 z的取值范围. 【答案】 （1） 8 3 x （2） 1 | 4,6z 【解析】 【分析】 （1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出 1 2 z z ，再根据复数的类型求出参数的值； （2）根据复数的几何意义得到复数 1 z的轨迹，即可得到复数 1 z的取值范围； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【详解】解： （1） 1 2 238(64 )38(64 ) 34252525 zxixx ixx i zi 由 1 2 z z 是纯虚数，得 3864 00 2525 xx ，解得 8 3 x （2）由 12 =1zz，得|(3)(4) | 1xyi，所以
28、22 (3)(4)1xy， 即 1 z的轨迹是以(3, 4)为圆心，半径为1的圆，可得 2222 1 | 341, 3414,6z 即 1 | 4,6z 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题. 20.已知函数 2 ( ) 1 xa f x x . （1）若 ( )f x在 1,(1)f处的切线斜率为1，求a的值； （2）若 ( )f x在 2x 处取得极值，求a的值及 ( )f x的单调区间. 【答案】 （1）1a （2）8a ；单调增区间为(, 4),(2,) ；减区间为( 4, 1),( 1,2) 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，依题意可得 1
29、1 f ，即可得到参数的值； （2） 依题意可得(2)0 f ， 从而求出参数a的值， 即可得到 2 2 28 ( ) (1) xx fx x （1x ） ， 再令( )0fx ，解出x，最后求出函数的单调区间； 【详解】解： （1）因为 2 ( ) 1 xa f x x 所以 2 2 2 ( ) (1) xxa fx x ，又因为 fx在点 1, f x处的切线斜率为1， 所以 11 f ，即 3 1 4 a ，解得1a （2）因为 ( )f x在 2x 处取得极值，所以 (2)0 f ， 即440a，解得8a ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以 2
30、2 28 ( ) (1) xx fx x （1x ） ， 令( )0fx ，即 2 2 28 0 (1) xx x ，解得4x ，2x 当(, 4)x ，( )0fx ；当( 4,2)x 且1x ，( )0fx ； 当(2,)x，( )0fx ， 所以( )yf x的单调递增区间为(, 4) 和(2,)；单调递减区间为( 4, 1)和( 1,2). 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题. 21.如图所示， 直角梯形公园OABC中，,/OCOA OA BC，2OAkm，1OCBCkm， 公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的 1 4 圆面的人工湖，现设
31、计修建一条与圆 相切的观光道路EF（点,E F分别在OA与BC上） ，D为切点，设DOE. （1）试求观光道路EF长度的最大值； （2）公园计划在道路EF的右侧种植草坪，试求草坪ABFE的面积最大值. 【答案】 （1）2km（2） 33 () 22 平方千米 【解析】 【分析】 （1）求出 42 DOF ，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大 值即可； （2）求出 OABCOEFC SSS 梯形梯形 的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的 最大值即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】解： （1）由题意可知0, 3 ， 在
32、Rt DOE中，tanDE， 在RtDOF中， sin 2 1 tantancoscossin 1 sin 42222 tan() 42cos 1 tantansincossin 42222 1 cos 2 DF ， 则 1 sin1 tan coscos EFDEDF ， 又因为0, 3 ，所以当 3 时， min 1 (cos ) 2 ， 此时，max2EF故EF的最长值为2km； （2）在Rt DOE中， 1 cos OE ，由（1）得 1 sin cos CFDF ， 则 31 () 22 OABCOEFC SSSCFOEOC 梯形梯形 3sin2 (0) 22cos3 则 2 12s
33、in ( ) 2cos S ，令( )0,S即 2 12sin 0 2cos ，解得 6 ， 当(0,),( )0, ( ) 6 SS 单调递增；当(,),( )0, ( ) 6 3 SS 单调递减， 所以 6 为函数( )S的极大值，又函数( )S在区间0, 3 极大值唯一，因此这个极大值也 是函数( )S的最大值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - max 33 () 622 SS ， 所以草坪面积最大值为 33 () 22 平方千米. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题 22.已知函数( )ln, ( )2 x f x
34、xaxa g xxex. （1）求函数( )yf x的单调区间； （2）当1a 时，证明：( )( )f xg x在0,上恒成立. 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再对a分类讨论计算可得； （2）令( )( )( )ln10 x F xg xf xxexxx，求出函数的导函数，再令 ( )1 x h xxe，说明函数( )h x的单调性，从而得到函数( )F x的单调性，即可得证； 【详解】解： （1）因为( )lnf xxaxa，定义域为0,， 所以 11 ( )0 ax fxax xx 当0a 时，( )0fx 增区
35、间为0,； 当0a 时，令( )0fx 解得 1 0 x a ，令( )0fx ，解得 1 x a 函数的单调递增区间为 1 0, a ，单调递减区间为 1 , a （2）令( )( )( )ln10 x F xg xf xxexxx 则 11 ( )11 xxx x F xxeexe xx 令( )1 x h xxe，则( )10 x h xxe，又(0)0, (1)0hh 函数( )h x在0,上单调递增，且存在唯一零点0,1c，使得( )0h c 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 且0,xc时，( )0h x ；,xc时，( )0h x 即0,xc时， ( )0F x ；,xc时，( )0F x 函数( )F x在0,c上单调递减，在, c 上单调递增 ( )ln1 c F xF ccecc ，而( )10 c h cce ，即1 c ce 两边取对数得ln0cc ( )0F xF c，故( )( )f xg x在0,上恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
