1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 高二年级入学检测数学试卷（文科）高二年级入学检测数学试卷（文科） 一、选择题一、选择题： （本题包括（本题包括 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，每小题只有一个选项符合题意）分，每小题只有一个选项符合题意） 1.1 2i 1 2i A. 43 i 55 B. 43 i 55 C. 34 i 55 D. 34 i 55 【答案】D 【解析】 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解： 2 12(12 )34 1 255 iii i 选 D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能
2、力. 2.某中学有高中生 960 人，初中生 480 人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法， 从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有 24 人，那么n等于（） A. 12B. 18C. 24D. 36 【答案】D 【解析】 有高中生960人，初中生480人 总人数为9604801440人 其高中生占比为 9602 14403 ，初中生占比为 1 3 由分层抽样原理可知，抽取高中生的比例应为高中生与总人数的比值 2 3 ，即 2 24 3 n，则 36n . 故选 D. 3.下列求导正确的是（） A. 2 121xx B.(cos )sinxx C. 22 ln2 xx D. 2
3、3 11 xx 【答案】C 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 运用导数的计算公式和运算法则对每个选项逐个计算，然后给出判断 【详解】解：对于 A： 2 12xx ，故 A 错误； 对于 B：(cos )sinxx ，故 B 错误； 对于 C： 22 ln2 xx ，故 C 正确； 对于 D： 23 12 xx ，故 D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要是考查了导数的计算公式和运算法则，属于基础题 4.不等式 2 280 xx 的解集为（） A.( 2,4)B.( 4,2) C.(, 2)(4,) D. (, 4)(2,) 【答案】A 【解析】
4、 【分析】 直接利用因式分解，结合二次函数的图象即可求解不等式得解 【详解】解：因为 2 280 xx ， 所以240 xx，所以24x ，即2,4x 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力 5.命题“1x ， 2 0 xx ”的否定是（） A. 0 1x， 2 00 0 xxB.1x ， 2 0 xx C. 0 1x， 2 00 0 xxD.1x ， 2 0 xx 【答案】C 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 全称命题的否定为特称命题，只需否定量词和结论即可. 【详解】因为全称
5、命题的否定是特称命题，所以命题“1x ， 2 0 xx ”的否定是： “ 0 1x， 2 00 0 xx”，故选 C. 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 6.用反证法证明命题“已知, ,a b c为非零实数， 且0abc ，0abbcac， 求证, ,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（） A., ,a b c中至少有两个为负数B., ,a b c中至多有一个为负数 C., ,a b c中至多有两个为正数D., ,a b c中至多有两个为负数 【答案】A 【解析】 分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c 中至 少有二个为
6、负数”，由此得出结论 详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而：“, ,a b c中至少有二个为正数”的否定为：“, ,a b c中至少有二个为负数” 故选 A 点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反 面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力 7.椭圆 2 2 1 8 x y的离心率为（） A. 14 4 B. 7 8 C. 2 4 D. 1 8 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用椭圆方程，转化求解离心率即可 【详解】解：椭圆 2 2 1 8 x y的2 2a ，1b 则： 22 7cab ，所以椭圆的离心 高考资源网（）您身边的
7、高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 率为 714 42 2 c e a 故选：A 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题 8.曲线 2 21yx在点(1,3)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A. 2 5 B. 4 5 C. 1 4 D. 1 8 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用导数求出切线斜率，用直线方程的点斜式写出切线方程，再求出直线l与两坐标轴交点 坐标，最后用三角形的面积公式计算出面积即可 【详解】解： 2 21yx，4yx ， 曲线 2 21yx在点(1,3)处的切线斜率为 1 |4 14 x y ，切线方程为341yx即 410 xy 则直线l与两坐标轴
8、交点分别为 1 ,0 4 ，0, 1 直线l与坐标轴围成的三角形面积为 111 | 1| 248 故选：D 【点睛】本题考查了函数在某点出处的导数是该点处的切线的斜率，以及直线方程的求法， 属于基础题. 9.设正数m，n满足 49 mn 1，则m+n的最小值为（） A. 26B. 25C. 16D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值 【详解】正数m，n满足 49 mn 1， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 则 494949 ()()1313225 nmnm mnmn mnmnmn ，当且仅当 49nm mn
9、 ，即 10,15mn时，等号成立mn的最小值为 25. 故选：B. 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是“1”的代换，凑配出积为定值 10.在区间0,1上随机取两个数x，y，记P为事件“ 2 3 xy”的概率，则(P ) A. 2 3 B. 1 2 C. 4 9 D. 2 9 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01xy表示的平面区域为ABCD， 平面区域内满足 2 3 xy的部分为阴影部分的区域APQ，其中 2 ,0 3 P ， 2 0, 3 Q ， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 122 2
10、233 1 19 p . 本题选择D选项. 【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形 准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式， 在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可. 11.已知双曲线 22 22 :1(00) xy Eab ab ，的离心率是 7 2 ，则E的渐近线方程为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A.yx B. 2 y= 2 x C. 3 2 yx D.y=2x 【答案】C 【解析】 试题分析：因为双曲线 22 22 :1(00) xy Eab ab ，的离心率
11、是 7 2 ，所以， 所以， 又因为，所以，即，所以，所以E的渐近 线方程为 3 2 yx ，故应选. 考点：1、双曲线的简单几何性质. 12.若抛物线 2 2ypx的焦点与双曲线 22 1 22 xy 的右焦点重合，则 p的值为（ ） A. 4B. 2C. -2D. -4 【答案】A 【解析】 因为抛物线 2 2ypx的焦点,0 2 p 与双曲线 22 1 22 xy 的右焦点 2,0重合，所以， 2,4 2 p p，故选A. 二、填空题二、填空题： （本题共（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 ） 13.椭圆 22 1 259 xy 的右焦点坐标
12、为_ 【答案】(4,0) 【解析】 【分析】 由椭圆的标准方程，利用 22 cab 即可得出 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【详解】解：由 22 1 259 xy 可得 2 25a ， 2 9b ， 22 4cab ， 可得椭圆的右焦点坐标为(4,0) 故答案为：4,0 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14.曲线1 exyax在点 0 1，处的切线的斜率为 2，则a _ 【答案】3 【解析】 【分析】 求导，利用导数的几何意义计算即可 【详解】解：y1 xx aeaxe 则 f012a 所以3a 故答案为-3.
13、【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题 15.已知 3 1 30 3 fxx xf ,则 1 f _. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据导数的计算公式求出 fx ，令0 x ，可得 00f，则 3 1 3 fxx，求导 然后把 x=1 代入即可. 【详解】由题意可得 ： 2 3 0fxxf， 令0 x 可得： 2 003 0 , 00fff， 则： 32 1 , 11 3 f xxfxxf. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 16.不等式4|31| 10 x 的解集为_ 【答案】 15 , 4
14、12 【解析】 【分析】 由不等式可得 11 31 44 x ，由此求得x的范围 【详解】解：由不等式4|31| 10 x ， 所以 1 |31| 4 x 可得 11 31 44 x ，解得 15 412 x， 故答案为： 15 , 4 12 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题 三、解答题三、解答题： （本题共（本题共 6 6 题，共题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.求下列各函数的导数： （1）ln(32)yx； （2） x x y e 【答案】 （1） 3 32 y x ；
15、（2） 1 x x y e 【解析】 【分析】 （1）根据复合函数求导法则和常见函数的导数公式计算可得； （2）根据常见函数的导数公式和导数的运算法则计算即可； 【详解】解： （1）因为ln(32)yx 令32tx，lnyt 所以 13 32ln3 32 yxt tx （2）因为 x x y e ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 所以 2 1 xx x x x eex x y e e 【点睛】本题考查了常见函数的导数以及导数的运算法则以及复合函数的导数，属于基础题 18.已知 2 ( )3(5)f xxaa xb （1）当不等式( )0f x 的解集为( 1,
16、3)时，求实数, a b的值； （2）若对任意实数,(2)0a f恒成立，求实数b的取值范围 【答案】 （1） 2 9 a b 或 3 9 a b ； （2） 1 , 2 【解析】 【分析】 （1）由题意知，1x 和3x 是方程 2 3(5)0 xaa xb的两个根，即可得到方程 3(5)0 273 (5)0 aab aab ，解得即可 （2）若 20f恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b的不等式，解不 等式可求出实数b的取值范围； 【详解】解： （1）由( )0f x ，得 2 3(5)0 xaa xb 2 3(5)0 xaa xb 又( )0f x 的解集为( 1,3)， 所以
17、1x 和3x 是方程 2 3(5)0 xaa xb的两个根 3(5)0 273 (5)0 aab aab 2 9 a b 或 3 9 a b （2）由(2)0f，得122 (5)0aab 即 2 210120aab 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 又对任意实数a，(2)0f恒成立， 即 2 210120aab ，对任意实数a恒成立， 2 ( 10)4 2(12)0b ，解得 1 2 b ， 实数b取值范围为 1 , 2 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题 19.某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号 0,1
18、,2,3,4 的五个相同小 球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于 7 则中一等奖，等 于 6 或 5 则中二等奖，等于 4 则中三等奖，其余结果为不中奖. (1)求中二等奖的概率 (2)求不中奖的概率 【答案】 （1）0.3（2）0.4 【解析】 试题分析： （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件可以通过列举 得到，满足条件的事件从列举出的结果中得到，根据等可能事件的概率公式，得到结果 （2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件在前面一问已经做出，满足条件的 事件可以列举出所有的结果，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式，得到
19、结果 试题解析： 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2， 1,3，1,4，2,3，2,4，3,4共 10 个基本事件 记两个小球的编号之和为x (1)记“中二等奖”为事件A 由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x5，x6 事件x5 的取法有 2 种， 即1,4，2,3， 故P(x5) ； 事件x6 的取法有 1 种， 即2,4，故P(x6) 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 所以P(A)P(x5)P(x6) (2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件： 中一等奖(x7)，中二等奖
20、(事件A)，中三等奖(x4) 事件x7 的取法有 1 种，即3,4， 故P(x7)； 事件x4 的取法有0,4，1,3，共 2 种， 故P(x4) . 由(1)可知，P(A) 所以P()P(x7)P(x4)P(A) 所以不中奖的概率为P(B)1P()1 20.求下列圆锥曲线的方程： （1）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2； （2）双曲线 22 1(0) 6 xy m mm ，且其虚轴长是实轴长的 2 倍 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2） 22 1 28 xy 【解析】 【分析】 （1）由题意知 3 2 c e a ，22b
21、又 222 abc ，即可求出a、b，从而求出椭圆方程； （2）依题意可得实轴长为2 m，虚轴长为2 6m ，再根据虚轴长是实轴长的 2 倍得到方 程解得m，从而求出双曲线方程； 【详解】解： （1）由题意知 3 2 c e a ，22b 又 222 abc ， 所以1,2ba，所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）由题意知双曲线 22 1(0) 6 xy m mm ，实轴长为2 m，虚轴长为2 6m ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 由题意有2 226mm ，解得2m ，代入 22 1 6 xy mm 可得双曲线的标准方程为 22 1 28
22、 xy 【点睛】本题应用了求椭圆标准方程的常规做法：待定系数法，熟练掌握椭圆的几何性质是 解题的关键，同时考查考查双曲线的标准方程，考查学生的基本运算能力与运算技巧 21.已知函数( ) x f xxe （1）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）求函数 ( )f x的极值 【答案】 （1）20exye； （2）极小值为 1 e ，无极大值 【解析】 【分析】 （1）先求导，根据导数的几何意义即可求出， （2）根据导数和函数单调性的和极值的关系即可求出 【详解】解： （1）( ) x f xxe，则(1)fe，切点坐标为1,e 由题意知，( )(1) xxx fxxeex
23、e ， (1)2kfe，由直线的点斜式方程有：2 (1)yee x 即20exye （2）由（1）知，( )(1) x fxxe ， 令( )0fx ，得1x ；令( )0fx ，得1x 则 ( )f x在(, 1) 上单调递减，在( 1,) 上单调递增， 所以 ( )f x的极小值为 1 ( 1)f e ，无极大值 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，属于基础题 22.已知函数 3 2lnf xxaxx. （1）当1a 时，求函数 fx的单调区间； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （2）若 0f x 在定义域内恒成立，求实数a的
24、取值范围. 【答案】 （1） fx的单调递增区间为 1,，单调递减区间为 0,1； （2）1, . 【解析】 【分析】 （1）先对函数 fx求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间； （2） 构造函数 2 2ln x x x g x x a f x ， 由 0f x 在0,上恒成立， 得 0g x 在0,上恒成立，对 g x求导，研究其单调性，求出 g x的最小值，即可得出实数a的 取值范围. 【详解】 （1）当1a 时， 3 2ln0f xxxx x， 2 3 2 31 32xx x fxx x 2 1 332xxx x ， 2 3320 xx 恒成立， 当1,x时， 0fx
25、 ， yf x单调递增； 当0,1x 时， 0fx ， yf x单调递减. 故 fx的单调递增区间为 1,，单调递减区间为 0,1； （2）令 2 2ln x x x g x x a f x ， 3 2ln0f xxaxx在0,上恒成立，当0,x时， 2 2ln 0 x g xxa x 恒成立， 2 lnln 22 xxx x gxx x 3 2 ln1 2 xx x ， 令 3 ln1h xxx，则 h x在0,上单调递增，且 10h， 当0,1x时， 0h x ， 0gx ，即 yg x单调递减， 当1,x时， 0h x ， 0gx ，即 yg x单调递增， min 110g xga ，1a ，故实数a的取值范围为1, . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立求参问题，考查逻辑思维能力和 运算能力，属于高考常考题型. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 -
