1、第第 4 节节三角函数的性质与图像三角函数的性质与图像 知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，0)， 2，1，(， 0)， 3 2 ，1 ，(2，0). (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，1)， 2，0，(， 1)， 3 2 ，0 ，(2，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图像 定义域RR x|xR，且x k 2 值域1，11，1R 最小正周期22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间2k 2，2k 2 2k，2k
2、k 2，k 2 递减区间2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0)k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程xk 2 xk无 1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期.正切曲线相邻两对称中心之间 的距离是半个周期. 2.三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式， 偶函数一般可 化为 yAcos xb 的形式. 3. 对 于 y tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， 而 是 在 每 个 区 间 k 2，k 2 (kZ)内为增函数. 诊断自测 1.
3、判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.() (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数.() (3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.() (4)ysin|x|是偶函数.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数 ytan x 在每一个区间 k 2，k 2 (kZ)上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当 k0 时，ymaxk1；当 k0)两个相邻的极值点， 则() A.2B.3 2 C.1D.1 2
4、答案A 解析由题意及函数 ysin x 的图像和性质可知， 1 2T 3 4 4，T， 2 ，2.故选 A. 5.(多选题)(2021山东新高考模拟)已知函数 f(x)sin x 2 (xR)，下列结论正确 的是() A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函数 C.函数 f(x)的图像关于直线 x0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 答案ABC 解析由题意，可得 f(x)cos x， 对于选项 A，最小正周期 T2 1 2，所以选项 A 正确； 对于选项 B，ycos x 在 0， 2 上是减函数，所以函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函 数，所以
5、选项 B 正确； 对于选项 C，f(x)cos(x)cos xf(x)，所以函数 f(x)是偶函数，其图像 关于直线 x0 对称，所以选项 C 正确，选项 D 错误.故选 ABC. 6.(2020北京卷)若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，则常数的一个取值 为_. 答案 2(答案不唯一，只要等于 22k，kZ 即可) 解析f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2， 又 sin(x)1，cos x1， 则 sin(x)cos x1 时，f(x)取得最大值 2. 由诱导公式，得 22k，kZ. 的一个取值可为 2. 考点一三角函数的定义域和值域 1.函数 y sin xc
6、os x的定义域为_. 答案 2k 4，2k 5 4 (kZ) 解析法一要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用 图像，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x 和 ycos x 的 图像，如图所示.在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦 函数的周期是 2，所以原函数的定义域为 x|2k 4x2k 5 4，kZ. 法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部 分所示). 所以定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 2.函数 ysin xcos x 6 的值域为_. 答案 3， 3 解析ysin xcos x 6 si
7、n x 3 2 cos x1 2sin x 3 2sin x 3 2 cos x 3sin x 6 ， 函数 ysin xcos x 6 的值域为 3， 3. 3.函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_. 答案 1 2 2，1 解析设 tsin xcos x， 则 t2sin2xcos2x2sin xcos x， sin xcos x1t 2 2 ，且 2t 2. yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21. 当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2 2 . 函数的值域为 1 2 2，1. 4.已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最
8、小值是_. 答案3 3 2 解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10， 当 cos x1 2时，f(x)1 2时，f(x)单调递增， 当 cos x1 2时，f(x)有最小值， 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当 sin x 3 2 时，f(x)有最小值， 即 f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 感悟升华1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组) 常借助三角函数线或三角函数的图像. 2.求解三角函数的值域(
9、最值)常见的几种类型： (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式， 再求值 域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函 数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化 为关于 t 的二次函数求值域(最值). (4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值. 考点二三角函数的周期性、奇偶性、 对称性 【例 1】 (1)(多选题)(2020济南调研)下列函数中，最小正周期为的是(
10、) A.ycos|2x|B.y|cos x| C.ycos 2x 6D.ytan 2x 4 (2)已知函数 f(x)sin x 4 (0)的图像在 0， 4 内有且仅有一条对称轴，则实 数的取值范围是() A.(0，5)B.(0，5C.1，5)D.(1，5 (3)(2021武汉调研)已知函数 f(x)2sin(x 3) 2， 2 是偶函数， 则的值 为_. (4)已知函数 f(x)cos(x)(0，|0，由题意得 1 4 4， 1 5 4 4， 解得 1 5.故选 C. (3)函数 f(x)为偶函数， 3k 2(kZ). 又 2， 2 ， 3 2，解得 6，经检验符合题意. (4)由 f(x)
11、cos(x)的最小正周期为 4，得1 2， 因为 f(x)f 3 恒成立，所以 f(x)maxf 3 ，即1 2 32k(kZ)， 又|bcB.acb C.cabD.bac 答案A 解析af 7 2cos13 42 ，bf 6 2cos 3，cf 4 2cos5 12，因为 ycos x 在0， 上递减， 又13 42 3bc. 角度 3根据三角函数的单调性求参数 【例 4】已知0，函数 f(x)sin x 4 在 2，上单调递减，则的取值范围 是_. 答案 1 2， 5 4 解析由 2x0，得 2 4x 40，故a 40， 解得 00 D.f x1x2 2f（x 1）f（x2） 2 (x1x
12、20) 答案D 解析对于 A，由于 f(x)tan x 的最小正周期为，所 以 A 正确； 对于 B，函数 f(x)tan x 为奇函数，所以 B 正确； 对于 C，函数 f(x)tan x 在区间 2， 2 上单调递增， 满足f（x1）f（x2） x1x2 0，所以 C 正确； 对于 D，如图函数在区间 2，0上有 f x1x2 2f（x1）f（x2） 2 ，在区间 0， 2 上有 f x1x2 2f（x 1）f（x2） 2 ，所以 D 不正确. 5.已知函数 f(x)2sin(2x) | 2 的图像过点(0， 3)，则 f(x)图像的一个对称中 心是() A. 3，0B. 6，0 C. 6
13、，0D. 12，0 答案B 解析函数 f(x)2sin(2x) | 2 的图像过点(0， 3)，则 f(0)2sin 3， sin 3 2 ，又| 2， 3， 则 f(x)2sin 2x 3 ，令 2x 3k(kZ)， 则 xk 2 6 (kZ)，当 k0 时，x 6， 6，0是函数 f(x)图像的一个对称中心. 6.(多选题)(2019全国卷改编)已知函数 f(x)sin|x|sin x|，下列结论正确的是 () A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间 2，单调递增 C.f(x)在，有 4 个零点 D.f(x)的最大值为 2 答案AD 解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|si
14、n x|f(x)， f(x 为偶函数，故 A 正确；当 2x0，0，| 2)的图像 离原点最近的对称轴为 xx0，若满足|x0| 6，则称 f(x)为“近轴函数”.若函数 y 2sin(2x)是“近轴函数” ，则的取值范围是() A. 6， 2B. 2， 6 C. 2， 6 6， 2D. 6， 6 答案C 解析y2sin(2x)，令 2x 2k，kZ， 图像的对称轴为 x 2 4 k 2 ，kZ. |x0| 6，| 2 4 k 2| 6，kZ， 5 6 k 6k(kZ)，又| 2， 当 k0 时， 2 6； 当 k1 时， 6 2， 的取值范围是 2， 6 6， 2 ，故选 C. 13.(多选
15、题)(2021山东师大附中模拟)已知1 4，函数 f(x)sin x 4 在区间(， 2)上单调，则() A. 1 4，1 B.f(x)在区间(，2)上单调递减 C.f(x)在区间(0，)上有零点 D.f(x)在区间(0，)上的最大值一定为 1 答案BD 解析因为函数 f(x)在区间(，2)上单调，所以 T2，故2 T 1，其次， 还应满足 2k 4，且 2 4 2k(kZ)，解得 3 4k 1 8 k 2(k Z)，因为1 41，故唯有 k1，故 1 4 5 8，故 A 错； 因为 k1，所以 f(x)在区间(，2)上单调递减，故 B 对；当 x(0，)时，x 4 4， 4 ，1 4 5 8
16、， 2 4 7 8 ，所以 x(0，)时，f(x)没有零点， 故 C 错；而 f(x)在区间(0，)上的最大值一定为 1，故 D 对.综上，选 BD. 14.已知函数 f(x)sin 2xsin x 3cos2x 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x 1，x2，求 cos(x1x2)的值. 解(1)f(x)cos xsin x 3 2 (2cos2x1) 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 . 当 2x 3 22k(kZ)，即 x 5 12k(kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值 为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图像的对称轴为 x 5 12k(kZ)， 当 x(0，)时，对称轴为 x 5 12. 又方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x 1，x2. x1x25 6，则 x 15 6x 2， cos(x1x2)cos 5 62x 2 sin 2x2 3 ， 又 f(x2)sin 2x2 3 2 3， 故 cos(x1x2)2 3.
