1、复习验收卷复习验收卷(四四)三角函数、解三角形三角函数、解三角形 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2021长沙质检)已知弧长 4的弧所对的圆心角为 2 弧度， 则这条弧所在的圆的 半径为 () A.1B.2C.D.2 答案D 解析弧长 4的弧所对的圆心角为 2 弧度， 4 r 2，解得 r2， 这条弧所在的圆的半径为 2. 2.已知点 P 3 2 ，1 2 在角的终边上，且0，2)，则的值为 () A.5 6 B.2 3 C.11 6 D.5 3 答案C 解析因
2、为点 P 3 2 ，1 2 在第四象限， 根据三角函数的定义可知 tan 1 2 3 2 3 3 ， 又0，2)，可得11 6 . 3.已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin () A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 答案B 解析由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2. 由 0， 2 知 cos 0， 则 2sin cos ，代入 sin2cos21，解得 sin21 5， 又 0， 2 ，所以 sin 5 5 . 4.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到
3、达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时 船与灯塔的距离为 () A.15 2 kmB.30 2 kmC.45 2 kmD.60 2 km 答案B 解析如图所示， 依题意有AB15460， DAC 60，CBM15，MAB30，AMB 45. 在AMB 中，由正弦定理， 得 60 sin 45 BM sin 30，解得 BM30 2，故选 B. 5.(2020青岛模拟)设 a 2 2 (sin 56cos 56)，bcos 50cos 128cos 40 cos 38，ccos 80，则 a，b，c 的大小关系是 () A.abcB.bacC.cabD.acb 答案B 解析由题意可知
4、a 2 2 (sin 56cos 56)sin(5645)sin 11，b cos(9040)cos(9038)cos 40cos 38sin 40sin 38cos 40 cos 38cos 78sin 12，ccos 80sin 10，sin 12sin 11sin 10， bac，故选 B. 6.(2021张家界模拟)将函数 f(x) 3sin 2xcos 2x 的图像向左平移 t(t0)个单位 后，得到函数 g(x)的图像，若 g(x)g 12x，则正实数 t 的最小值为() A.5 24 B.7 24 C.5 12 D.7 12 答案B 解析由题意得，f(x)2sin 2x 6 ，
5、则 g(x)2sin 2x2t 6 ， 若 g(x)g 12x，则函数 g(x)的图像关于直线 x 24对称，所以 2 24 6 2tk 2，kZ， 即 t7 24 k 2 (kZ)，正实数 tmin 7 24. 7.(2021重庆诊断)已知， 0， 2 ，sin sin sin ，cos cos cos ， 则下列说法正确的是 () A.cos()1 2 B.cos()1 2 C. 3 D. 3 答案C 解析由已知，得 sin sin sin ，cos cos cos . 两式分别平方相加，得(sin sin )2(cos cos )21， 2cos()1， cos()1 2， 故 A 错误
6、， B 错误.， ， 0， 2 ， sin sin sin 0， 3，故 C 正确，D 错误.故选 C. 8.已知函数 f(x)sin(x)(0，| 2)的部分图 像如图所示，x1，x2 6， 3 ，且 f(x1)f(x2)， 则 f(x1x2)() A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D.1 答案B 解析由题图可知，T 2 3 6 2，则 T，所以 2 T 2，又 6 3 2 12， 所以 f(x)的图像过点 12，1， 即 sin 2 121， 得 6 22k， kZ， 即 32k，kZ，又|0，0，| 2 的图像.已知函数g(x) 的部分图像如图所示，则下列关于函数 f(x)的说法正
7、确的是() A.f(x)的最小正周期为，最大值为 2 B.f(x)的图像关于点 6，0中心对称 C.f(x)的图像关于直线 x 6对称 D.f(x)在区间 6， 3 上单调递减 答案ACD 解析由图可知，A2，T4 2 9 18 2 3 ， 2 T 3. 又由 g 2 9 2 可得 62k(kZ)，又| 2， 6.g(x)2sin 3x 6 ， f(x)2sin 2x 6 . f(x)的最小正周期为，最大值为 2，选项 A 正确； 对于选项 B，令 2x 6k(kZ)，得 x k 2 12(kZ)， 函数 f(x)图像的对称中心为 k 2 12，0(kZ).由k 2 12 6，得 k 1 2，
8、不符 合 kZ，B 错误； 对于选项 C，令 2x 6 2k(kZ)，得 x 6 k 2 (kZ)， 函数 f(x)图像的对称轴为直线 x 6 k 2 (kZ)，当 k0 时，x 6，故 C 正 确； 当 x 6， 3 时，2x 6 2， 5 6 ，f(x)在区间 6， 3 上单调递减，选项 D 正确，故选 ACD. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.(2020百师联盟联考)已知 sin 6 sin 3 15 8 ， 则 sin 2 3 _. 答案 15 4 解析sin 6 sin 3 sin 6 sin 2 6 sin 6 cos 6 1 2sin 2 3
9、15 8 ， 所以 sin 2 3 15 4 . 14.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B 3，a2，b 3， 则ABC 的面积为_. 答案 3 2 解析在ABC 中，由正弦定理，得 sin Aasin B b 2sin 3 3 1.又 A(0，)， 所以 A 2.由勾股定理，得 c1，则ABC 的面积 S 1 2 31 3 2 . 15.(2021重庆调研)将余弦函数 f(x)cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来 的 3倍(横坐标不变)， 再将所得到的图像向右平移 2个单位长度， 得到函数g(x) 的图像.若关于 x 的方程 f(x)g(x)m 在0，
10、内有两个不同的解，则实数 m 的取值范围为_. 答案1，2) 解析由题意得，g(x) 3cos x 2 3sin x，f(x)g(x)cos x 3sin x 2sin x 6 .0 x， 6x 6 7 6 .若关于 x 的方程 f(x)g(x)m 在0， 内有两个不同的解，根据图像知 1m0，0 2 ， _. 是否存在正整数，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的？(注：如果选择多个条 件分别解答，按第一个解答计分) 解若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下： 令xk，kZ，代入 x5 6， 解得k5 6 ，kZ. 因为 0 2，所以 6，所以 f(x)2cos x 6 . 当 x
11、0， 2 时，x 6 6， 2 6 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 6， 解得 05 3. 所以存在正整数1，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的. 若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下： f(x)cos x 3sin x2cos x 3 2cos(x)， 且 0 2，所以 3. 当 x 0， 2 时，x 3 3， 2 3 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 3， 解得 04 3. 所以存在正整数1，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的. 若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下： 因为 f(x)f(0)恒成立，即 f(x)maxf(0)
12、2cos 2， 所以 cos 1. 因为 0 2，所以0，所以 f(x)2cos x. 当 x 0， 2 时，x 0， 2 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 ，解得 02. 所以存在正整数1 或2，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的. 19.(本小题满分 12 分)(2020武汉模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin Bbsin A 3 . (1)求角 A 的大小. (2)D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积. 解(1)由正弦定理，得 asin Bbsin A. 因为 asin Bbsin A 3
13、， 所以 bsin Ab 1 2sin A 3 2 cos A . 化简，得 1 2sin A 3 2 cos A. 可得 tan A 3. 因为 A(0，)，所以 A2 3 . (2)设B， 0， 3 . 由题意可得BAD，ADC2，DAC2 3 ，ACD 3. 在ADC 中， 由正弦定理， 得 CD sinDAC AD sinACD， 则 3 sin 2 3 2 sin 3 ， 所以 3 3 2 cos 1 2sin 2 3 2 cos 1 2sin ，可得 sin 3 5 cos . 又因为 sin2cos21，所以 sin 21 14 ，cos 5 7 14 ， 所以 sin 22si
14、n cos 5 3 14 . 所以 SADC1 2ADCDsinADC 1 223 5 3 14 15 3 14 . 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR). (1)求 f(x)的最小正周期； (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)2，c5，cos B 1 7，求ABC 中线 AD 的长. 解(1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 . T2 2 .函数 f(x)的最小正周期为. (2)由(1)知 f(x)2sin 2x 6 ， 在ABC 中 f(A)2，sin 2A 6 1
15、， 2A 6 2，A 3.又 cos B 1 7且 B(0，)， sin B4 3 7 ， sin Csin(AB) 3 2 1 7 1 2 4 3 7 5 3 14 ， 在ABC 中，由正弦定理 c sin C a sin A，得 5 5 3 14 a 3 2 ， a7，BD7 2. 在ABD 中，由余弦定理得， AD2AB2BD22ABBDcos B 52 7 2 2 257 2 1 7 129 4 ， 因此ABC 的中线 AD 129 2 . 21.(本小题满分 12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 m a， 3 3 sin A ，n(cos C，c)，
16、bmn. (1)求角 A 的大小. (2)若 a3，求ABC 的周长 L 的取值范围. 解(1)由 m a， 3 3 sin A ，n(cos C，c)， 得 bmnacos C 3 3 csin A. 由正弦定理，得 sin Bsin Acos C 3 3 sin Csin A. 因为 B(AC)， 所以 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， 所以 sin C cos A 3 3 sin A 0. 又 C(0，)，所以 sin C0，所以 tan A 3. 又 A(0，)，所以 A 3. (2)由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 32b2c22bcc
17、os 3b 2c2bc， 即 b2c2bc9，整理得(bc)23bc9. 所以 9(bc)23 bc 2 2 1 4(bc) 2，当且仅当 bc3 时，等号成立，所以 bc6， 又 bca3，所以 3bc6，从而周长 L(6，9. 22.(本小题满分 12 分)(2020重庆二诊)扇形 AOB 中心角为 60，所在圆的半径为 3，它按如图(1)(2)两种方式有内接矩形 CDEF. (1)矩形 CDEF 的顶点 C，D 在半径 OB 上，顶点 E 在圆弧 AB 上，顶点 F 在 半径 OA 上，设EOB. (2)点 M 是圆弧 AB 的中点，矩形 CDEF 的顶点 D，E 在圆弧 AB 上，且关
18、于 直线 OM 对称，顶点 C，F 分别在半径 OB，OA 上，设EOM. 试分别研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并比较哪一个更大，请说明 理由. 解(1)在OED 中，EOB，则 ODOEcos 3cos ，EDOEsin 3sin . CDODOCOD CF tan 60OD ED tan 60 3cos sin . 此时矩形 CDEF 的面积为 EDCD 3sin ( 3cos sin )3sin cos 3sin23 2sin 2 3 2 (1cos 2) 3sin 2 6 3 2 . 当 2 6 2，即 6时，矩形 CDEF 的面积取到最大值，为 3 2 . (2)设 ED 与 OM 的交点为 N， FC 与 OM 的交点为 P， 则 ENOEsin 3sin ，ONOEcos 3cos ， ED2 3sin . CDPNONOP 3cos FP tan 30 3cos EN tan 30 3cos 3sin ， 此时矩形 CDEF 的面积为 EDCD2 3sin ( 3cos 3sin )3sin 2 3 3(1cos 2)6sin 2 3 3 3. 当 2 3 2，即 12时，矩形 CDEF 的面积取到最大值，为 63 3. 3 2 63 3， 第(1)种方式下矩形面积的最大值更大.
