1、INNOVATIVE DESIGN 第五章 第3节向量的数量积及平面向量的应用 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念 AOB 零向量零向量 (3)数量积的定义：一般地，当数量积的定义：一般地，当a与与b都是非零向量时，称都是非零向量时，称_为向为向 量量a与与b的数量积的数量积(也称为内积也称为内积)，记作，记作ab, 即即ab_. ( 4 ) 数 量 积 的 几 何 意 义 ： 两 个 非 零 向 量数 量 积 的 几 何 意 义 ： 两 个
2、 非 零 向 量 a ， b 的 数 量 积的 数 量 积 a b ， 等 于， 等 于 _与与b的模的乘积的模的乘积. |a|b|cosa，b |a|b|cosa，b a a在向量在向量b b上的投影的数量上的投影的数量 索引 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示 (4)两非零向量两非零向量ab的充要条件：的充要条件：ab0 x1x2y1y20. 索引 (1)abba(交换律交换律). (2)（a）b(ab)a(b)(结合律结合律). (3)(ab)cacbc(分配律分配律). 3.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 索引 三步曲：三步曲：(1)用向
3、量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系. 4.平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 索引 1.两个向量两个向量a，b的夹角为锐角的夹角为锐角ab0且且a，b不共线；两个向量不共线；两个向量a，b的夹角为钝的夹角为钝 角角ab0且且a，b不共线不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2； (2)(ab)2a22abb2. (3
4、)(ab)2a22abb2. 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出，不能得出bc，两，两 边不能约去同一个向量边不能约去同一个向量. 诊断自测 / 索引 解析解析(1)两个向量夹角的范围是两个向量夹角的范围是0，. (4)由由abac(a0)得得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量，所以向量b和和c不不 一定相等一定相等. 索引 2.已知向量已知向量a(1，1)，b(2，4)，则，则(ab)a() A.14 B.4 C.4 D.14 解析解析由题意得由题意得ab(1，3)，则，则(ab)a134. B 索引 3
5、.设设a，b是非零向量，则是非零向量，则“ab|a|b|”是是“ab”的的 () A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析设设a与与b的夹角为的夹角为.因为因为ab|a|b|cos |a|b|， 所以所以cos 1，即，即a与与b的夹角为的夹角为0，故，故ab. 当当ab时，时，a与与b的夹角为的夹角为0或或180， 所以所以ab|a|b|cos |a|b|， 所以所以“ab|a|b|”是是“ab”的充分而不必要条件的充分而不必要条件. A 索引 C 索引 5.(多选题多选题)(
6、2021青岛统检青岛统检)已已知向量知向量ab(1，1)，ab(3，1)， c(1，1)，设，设a，b的夹角为的夹角为，则，则 ( ) A.|a|b| B.ac C.bc D.135 解析解析由由ab(1，1)，ab(3，1)，得，得a(1，1)，b(2，0)， 则则|a|，|b|2，故，故A不正确；不正确； ac11110，故，故B正确；正确； 不存在不存在R，使，使bc成立，故成立，故C不正确；不正确； BD 所以所以135，故，故D正确正确.综上知选综上知选BD. 索引 6.(2020全国全国卷卷)已已知单位向量知单位向量a，b的夹角为的夹角为45，kab与与a垂直，则垂直，则k _.
7、解析解析由题意知由题意知(kab)a0，即，即ka2ba0. 因为因为a，b为单位向量，且夹角为为单位向量，且夹角为45， 考点分层突破 题型剖析考点聚焦2 索引 1.已知向量已知向量a，b满足满足|a|1，ab1，则，则a(2ab) () A.4 B.3 C.2 D.0 解析解析a(2ab)2|a|2ab212(1)3. 考点一平面向量的数量积运算 / 自主演练自主演练 B 索引 以以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2， 2)，D(0，2)，P(2，1)， 1 解析解析 法一法一 AP 1 2(AB
8、 AC )， P为为BC的中点的中点. 索引 索引 解析解析如图，在等腰如图，在等腰ABE中，中， 易得易得BAEABE30，故，故BE2. 15101261. 1 索引 A 设设 P(x，y)，则，则AP (x，y)，AB (2，0)，且，且1x3. 故选故选A. 索引 结合几何图形，当点结合几何图形，当点P与与F重合时投影数量最小，当重合时投影数量最小，当P与点与点C重合时，投影数量最大，重合时，投影数量最大， 索引 1.计算平面向量的数量积主要方法：计算平面向量的数量积主要方法： (1)利用定义：利用定义：ab|a|b|cosa，b. (2)利用坐标运算，若利用坐标运算，若a(x1，y1
9、)，b(x2，y2)，则，则abx1x2y1y2. (3)活用平面向量数量积的几何意义活用平面向量数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或 数量积的运算律化简后再运算数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中 的角的关系是相等还是互补的角的关系是相等还是互补. 感悟升华 索引 角度角度1夹角与垂直夹角与垂直 【例例1】 考点二向量数量积的性质及应用 / 多维探究多维探究 B 解析解析 法一法一设设a(1，0
10、)，b(0，1)， 索引 D 解析解析|ab|2(ab)2a22abb225123649， |ab|7， 索引 解析解析因为因为ac， 所以所以ac2x20，解得，解得x1，则，则a(1，1)， 因为因为bc， 所以所以42y0，解得，解得y2，则，则b(2，2). A 索引 【例例2】 (2)已已知知a，b是单位向量，是单位向量，ab0.若向量若向量c满足满足|cab|1，则，则|c|的最的最 大值是大值是_. 解析解析法一法一由由ab0，得，得ab. 所以点所以点P在以在以C为圆心，为圆心，1为半径的圆上为半径的圆上. 索引 法二法二由由ab0，得，得ab. 由由|cab|1， 得得(x1
11、)2(y1)21， 所以点所以点C在以在以(1，1)为圆心，为圆心，1为半径的圆上为半径的圆上. 索引 所以所以|c|1 2，故，故|c|max 21. 索引 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若，若a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则则abab0 x1x2y1y20. 感悟升华 索引 因为因为a，b是单位向量，是单位向量， 所以所以|a|2|b|22ab112ab2，得，得ab0，a与与b垂直，故垂直，故B正确；正确； BC 索引 解析解析 依题意依题意|a|b|1， 为锐角，且为锐角，且cos 2sin ， A 索引 考点三平面向量
12、的综合应用 / 师生共研师生共研 所以所以ADBC，则，则BAD120， 索引 以以O为坐标原点，以为坐标原点，以BC和和AO所在直线分别为所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系. 如图，设如图，设M(a，0)，不妨设点，不妨设点N在点在点M右侧，右侧， 因为因为AD ，BC 同向，且同向，且 BC6， 在四边形在四边形ABCD中，作中，作AOBC于点于点O， 则则 BOABcos 603 2， ，AOABsin 603 3 2 . 索引 DN a，3 3 2 ， 索引 【例例3】(2)已已知在知在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，向量，向量
13、m(sin A， sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C. 求角求角C的大小；的大小； 解解mnsin Acos Bsin Bcos A sin(AB)， 在在ABC中，中，ABC，0C0)，点，点C为为(x，y)， 因此点因此点C的轨迹为圆的轨迹为圆.故选故选A. 索引 解析解析法一法一如图，过点如图，过点D作作DFCE交交AB于点于点F，由，由D是是BC的中点，可知的中点，可知F为为 BE的中点的中点.又又BE2EA， 则知则知EFEA，从而可得，从而可得AOOD， 索引 a2b23， 索引 向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题向量具有
14、数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题 效率效率. 设设O为为ABC所在平面上一点，内角所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，则，则 平面向量与三角形的平面向量与三角形的“四心四心” 索引 C P，C，D三点共线，三点共线， 点点P的轨迹一定经过的轨迹一定经过ABC的重心的重心. 索引 解析解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以的轨迹是以OB，OC为邻边为邻边 的平行四边形及其内部，其面积为的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的的面积的2倍倍. 在在ABC中，设内角中，设内角A，B
15、，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，由余弦定理，由余弦定理 a2b2c22bccos A，得，得a7. B 索引 设设ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r，则，则 1 2bcsin A 1 2(a bc)r，解得，解得 r2 6 3 ， 索引 解析解析设设ABC外接圆的半径为外接圆的半径为R， O为为ABC的外心，的外心， 索引 在在AOC中，由余弦定理得中，由余弦定理得 AC2OA2OC22OAOCcosAOC 从而从而OA OC 3 2 R2， 索引 B 解析解析 因为因为OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C )， 索引 所以点所以点P在在BC
16、的高线上，即动点的高线上，即动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的垂心的垂心. 课后巩固作业 提升能力分层训练3 A级 基础巩固 / 0112131407080910110203040506索引 解析解析因为因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c， 所以所以(2a3b)c2(2k3)60，解得，解得k3，选，选C. C 0112131407080910110203040506索引 B 0112131407080910110203040506索引 解析解析以以A为坐标原点，建立直角坐标系如图为坐标原点，建立直角坐标系如图. D 0112131407080910110203040506索引
17、 解析解析设设|b|1，则，则|ab|ab|2. 由由|ab|ab|，得，得ab0， 设向量设向量ab与与a的夹角为的夹角为， D 0112131407080910110203040506索引 解析解析如图，连接如图，连接AB，过，过C作作CDAB交交AB于于D，则，则D是是AB的中点，的中点， BC 故故AB AC 的值与圆的值与圆 C 的半径无关，只与弦的半径无关，只与弦 AB 的长度有关，故选的长度有关，故选 BC. 0112131407080910110203040506索引 ABD 由题图可知由题图可知RtACDRtABC， 选项选项D正确正确.故选故选ABD. 0112131407
18、080910110203040506索引 解析解析 由题意，得由题意，得 cosa，ca（ （2a 5b） |a|2a 5b| 0112131407080910110203040506索引 8.(2020全国全国卷卷)设设a，b为单位向量，且为单位向量，且|ab|1，则，则|ab|_. |a|b|ab|1， OAC为正三角形，为正三角形， 0112131407080910110203040506索引 解析解析以以BC所在直线为所在直线为x轴，轴，BA所在直线为所在直线为y轴建立轴建立 如图所示的平面直角坐标系，设如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)， 且且0ba，由于，由于B
19、C2，AD1. C(2，0)，D(1，a). 3 0112131407080910110203040506索引 若若cos x0，则，则sin x0，与，与sin2xcos2x1矛盾，矛盾， 0112131407080910110203040506索引 因为因为x0， B级 能力提升 / 索引0112131407080910110203040506 解析解析设设a与与b的夹角为的夹角为，0，. 因为因为(ab)(3ab)， 所以所以(ab)(3ab)0. 整理可得整理可得3a24abb20， 即即3|a|24ab|b|20. 将将|a|1代入代入3|a|24ab|b|20， 可得可得34|b|
20、cos |b|20， A 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 点点B在直线在直线x2y100上，上， 解析解析 由题意知由题意知|OB | x2y2，x2y10， 0112131407080910110203040506索引 解析解析 因为单位向量因为单位向量 e1，e2满足满足|2e1e2| 2， 因为因为ae1e2，b3e1e2，a，b的夹角为的夹角为， 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 0112131407080910110203040506索引 因为因为ab， 所以所以AB， 解得解得c1，c7(舍去舍去)， INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
