1、正 弦 定 理 单位： 开封 河南大学附属中学 作者：范俊杰 教学设计 正弦定理教学设计 一、教学内容分析 本节课正弦定理第一课时，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节正弦定理和余 弦定理 。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用， 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的 基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边 角关系的猜想；第二，带着疑问
2、，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼 应，并学以致用，简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历 史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次，探索发现证明，从实际中来，到实际中去。通过课堂，体 会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发，通过观察、实验、猜想、验证、证
3、明，从特殊到一般得到 正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法，并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题； 2、通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养学生的缜密思维； 3、通过自主探究、合作交流，亲身体验数学规律的发现过程，培养学生勇于探索、善 于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养； 4、培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、正弦 定理等知识之间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 三、学情分析 本节课内容基本上安排在高一下学期或高二上学期讲授， 学生
4、在初中已经学过平面几何 的相关知识，并能够熟练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，对于新章节的理 解上不会有太大问题。 虽然有一定的观察分析能力和解决问题的能力， 但是在前后知识的串 联上会有一定的难度。所以，对于教师而言，应该提高学生的学习积极性，多设置思维引导 点，带领学生一起分析问题并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已 有知识解决新问题，并得到新知识。 四、教学策略分析 本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下， 让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和 发现的过程，形成思维。 五、重难
5、点分析 本节课的重点是：正弦定理的发现、探究、证明以及两类主要的应用； 本节课的难点是：正弦定理的发现过程。 六、教学准备 制作多媒体课件；Z+Z 动态演示软件动画制作 七、教学过程分析 （1）实例引入，激发动机 引例： 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河 测量，利用现有工具，你能帮忙设计一个测量 A、B 两点距离的 方案吗？ 问题设计意图:引导学生从熟知的直角三角形出发，解决实 际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。 2、如果测量人员任意选取 C 点，,测出BC的距离是 54m， 45B ,60C .问根据这些数据能解决测量者的问题吗？ 根据题目
6、中的叙述，很明显可以抽象成这样的一个数学模 型：在ABC中，54BC ，45B ,60C .求边长AB. 问题设计意图：对于一般三角形，学生比较熟悉转化为直角三角形解决，转化化归的思 想为后续证明埋下伏笔。 再看这个数学问题，已知三角形的部分边长和内角，求其他边长和内角。这个问题其实 是解斜三角形的边角关系问题。但是没有学过，我们知道在任意三角形中有大边对大角，小 边对小角的关系，那么我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？ 问题设计意图：通过实际问题引入，能够很好地激发学生的求知欲望。在新的问题产生 时，学生根据已有的知识是迷茫的，有疑惑的，这个时候也正是产生知识缺陷，急需新知识 的
7、时候，恰如其分的勾起了学生求知的欲望。 （2）实验探究，验证猜想 探究一：直角三角形边角关系 如图：在ABCRt中，C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，探究边角关系。 在ABCRt中，设cABbACaBC,，根据正弦函数定义可得： c b B c a Asin;sin c B b A a sinsin 又1sinC C c B b A a sinsinsin 问题设计意图：从最特殊的直角三角形入手，作为后续探究的基础，也很容易得到。 探究二：斜三角形边角关系 实验 1： 如图， 在等边ABC中， 3 CBA,对应边的边长1:1:1:cba， 验证 C c B b A a sinsinsin
8、是否成立？ 实验 2：如图，在等腰ABC中， 30BA, 120C，对应边的边长 3:1:1:cba，验证 C c B b A a sinsinsin 是否成立？ 问题设计意图：一般斜三角型中特殊的三角形进行验证，由特殊到一般，实验 2 中， 也渗透了作高，求出三边关系，为后续证明埋下伏笔。 过渡：如果说这两个特殊的三角不足以代表一切，再一般的斜三角形呢？ 实验 3： 借助多媒体演示， 发现随着三角形的任意变换， C c B b A a sinsinsin 、的值相等。 通过这样的一些实验，我们可以猜想 C c B b A a sinsinsin 。 过渡：我们虽然通过数学实验并借助于多媒体，
9、得到了：对于斜三角形， C c B b A a sinsinsin 。但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？ 设计意图：从已有的知识结构出发，不让学生在思维上出现跳跃，逐层递进，通过已经 熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点， 再对特殊的斜三角形进行验证， 过渡到一 般的斜三角形边角关系的探究。让学亲自体验数学实验探究的过程，逐层递进，激发学生的 求知欲和好奇心，体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。多媒体技术的引入演示，让 学生更加直观感受到变换，加深理解。 （3）证明猜想，得到定理 1、 证明方法 1作高法 如图，在锐角三角形中，设cABbCAaBC,。 引入语言：
10、直接处理锐角三角形没法处理，能够借助于已有的直角三角形，通过添加辅 助线，使角和边出现在直角三角形中呢？ sinC c sinB b sinA a , sinC c sinA a 同理可证：, sinB b sinA a asinB即bsinA asinBCD bsinA,CD tBDC中则在RtADC和R 高线CD,证明：在ABC中做 那么在钝角三角形中是否成立呢？请同学们尝试着分组自己证明一下。 学生展示。 总结：我们把三角形边角关系的这条性质称为正弦定理（law of sines） ，即在任意一个三 角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 sinC c sinB b sinA a 。
11、 、 过渡：多么完美的比例式，无论三角形形状如何，三条边与对角正弦的比值始终顽固的 相等，但是比例值是多少呢？那么，在这里，除了这种平面几何的证明方法以外，还有很多 的证明方法，我们借助于三角形的外接圆，再介绍一种证明三角形正弦定理得方法。有直角 三角形的推导过程可以看出， C c B b A a sinsinsin 、的比值相等，都等于c，即三角形的外接 圆半径。那么对于一般的三角形呢？ 2、证明方法 2外接圆法 AB C D R C c B b A R C c R A a R B b BRb BDaDRbRtCAD R ADDCOABC 2 sinsinsin a 2 sin ,2 sin
12、 : 2 sin ,sin2 ,sin, , 同理 即 且且为 设圆的半径为 连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做 由此可得，任意三角形中，每一条边长和对角正弦的比值都等于三角形外接圆直径。 总结：因为时间有限，关于正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学可以在课下进行探 索证明。通过这些实验和证明，我们已经明确，在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦 的比相等，即 sinC c sinB b sinA a 。 设计意图： 经历猜想到证明的过程， 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎 推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证明才可以。在这个过程中，也进一步促进学 生数学思维思维品质
13、的提升。 （4）定理应用，解决引例 引语：现在请同学们，回过头来解决一下引例中的问题。 解：根据正弦定理，得： ,180456075 sinsin sin54sin60 27 362 sinsin75 ABBC A CA BCC AB A 答：BA、两点间的距离是 27 362。 过渡： 这样就很好的利用了正弦定理中的三角形边角量化关系， 根据已知的量得到未知 的量，这样的数学处理过程就称为解三角形。 定义：一般地，把三角形的三个角CBA、和它们的对边cba、叫做三角形的元 AB C D 素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 总结：求角度也常借助于三角形的内角和公式。 设计意
14、图：让学生了解三角形的概念，形成知识的完备性。回过头来，解决引例中的问 题， 让学生体会学习正弦定理新知识解决实际问题的方便， 激发学生不断探索新知识的欲望。 （5）学以致用，解决问题 引语：根据正弦定理这个等式，如果把期中某一个量看做未知量，那么根据方程思想， 我们就可以解决三角形的哪些问题呢？ 1、如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一个角和另两边。如： B Ab a sin sin ； 2、如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两个角。如： B b a Asinsin; 例 1：在ABC中，已知,24530cmaBA， 解三角形。 分析： 已知三角形中两角及一边，
15、 求其他元素， 第一步可由三角形内角和求出第三个角， 再由正弦定理求其他两边。 26 30sin 4560sin2 30sin 105sin2 sin sin 22 30sin 45sin2 sin sin sinsinsin 1054530180 A Ca c A Ba b C c B b A a C 得：由正弦定理 得：解：由三角形内角和可 例 2：在ABC中，已知， 453222Aba解三角形。 分析：已知三角形两边与其中一边的对角，第一步可以根据正弦定理得到 B 的正弦， 会出现两种情形，接下来就要进行分类讨论。 26 45sin 3045sin22 45sin 15sin22 sin
16、 sin 15120 26 45sin 4530sin22 45sin 75sin22 sin sin 7560 12060 1800 2 3 22 45sin32sin sin sinsinsin A Ca c CB A Ca c CB B B a Ab B C c B b A a 时，当 时，当 或 ， 得：由正弦定理 解： 设计意图：让学生解决问题，提升学习的热情，体验学习的乐趣。 （6）小 结 1、正弦定理的内容（R C c B b A a 2 sinsinsin ）及其证明的思想方法； 2、正弦定理的主要应用：已知三角形的两角及一边，求其他元素；已知三角形的 两边和其中一边的对角，求
17、其他元素； 3、转化化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想。 设计意图：让学通过自己的语言表达学习的收获，在本节课即将结束的时候，让学生 自我总结， 加深印象， 培养学生的自我总结能力， 也帮助学生重新回顾重点知识和数学思想。 （7）作业设计 1、正弦定理的其他证明方法； 2、通过以下题目，在已知三角形两条边和其中一条的对角的条件下探究三角形 解的情况： 在ABC中，已知 45A,6a，3b，求B; 在ABC中，已知 45A, 2 6 a，3b，求B; 在ABC中，已知 45A, 2 1 a，3b，求B; 设计意图：课后查阅资料，了解正弦定理的其他过程，让课内知识延伸到课外，通过这 样的方式促
18、进学生可以获取更多的与本节课相关的知识，拓宽知识面。预留一个探究作业， 对于学生下节课的学习起到一个承上启下的过渡作用。 正弦定理点评 本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。 从特殊到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流 程自然、有序、明了，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗 透，展示了数学内在的逻辑力量。 “先猜后证”是数学研究的一般模 式， 用之于数学教学也是合情合理的。 在学生大胆猜测结论的过程中， 还对定理的发现机制进行了设计，从形式美的角度大胆猜测，让学生 学会欣赏数学结构之美、之称。然后回归引例，首尾呼应，通过两个 例题，让学初步体会学有所成，能够及时应用，收获成就感。 课堂教学中，使用多媒体课件和动态演示，以及通过计算器的应 用，辅助于课堂教学，学生手脑并用，两者结合的恰到好处。 从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分 析问题解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性 上看，老师很善于做数学的“减法” ，用已有的知识解决新的知识。 提出问题是一门学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题 作为引领的前提下，让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解 决问题的过程，从而体会数学的价值，享受数学学习的乐趣。可以看 出本节课设计的理念是新的，符合新课程标准的理念倡导，是一节优 秀的示范课。
