1、平 面 动 点 的 轨 迹 说 课 稿 杜重成福州第三中学 一、教学目标一、教学目标 （一）知识与技能 、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。 、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。 （二）过程与方法 、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。 、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。 、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。 （三）情感态度价值观 、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美 、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心， 激发提出问题和解决问题的勇气 二、教学重点与难点二、教学重点与难点 教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条
2、件下的轨迹 教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡 三三、 、教学方法和手段、教学方法和手段 【教学方法【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导 学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础 上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能 清楚地、准确地表达自己的数学思维。 【教学手段【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。通过上述教学手 段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知 和新知形成过程中的障碍（静态到动态） ；另一方面：节省了时间，提高了 课堂教学的效率，激发了学生学习的兴
3、趣。 【教学模式【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主 动发现、主动发展” 。 四、教学过程四、教学过程 1、创设情景，引入课题 生活中我们四处可见轨迹曲线的影子 【演示】这是美丽的城市夜景图 【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线， 研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多 【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线 设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹 曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。 2、激发情感，引导探索 靠在墙角的梯子滑落了，如果梯子上站着一个人，我们不 禁会想，这个人是直直的摔下去呢？还是划了一条优美的曲线 飞出去呢？我们把这个问题转
4、化为数学问题就是新教材高二上 册 88 页 20 题，也就是这里的例题 1； 例例 1 1、线段AB长为a2，两个端点B和A分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的 中点M的轨迹方程。 第一步：让学生借助画板动手验证轨迹 第二步：要求学生求出轨迹方程 法一：设),(yxM，则)0 ,2(),2 , 0(xByA 由aAB2|得ayx244 22 ， 化简得 222 ayx 法二：设),(yxM，由aOM |得ayx 22 化简得 222 ayx 法三：设),(yxM， 由点M到定点O的距离等于定长a， 根据圆的定义得 222 ayx； 第三步：复习求轨迹方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系 （2
5、）设动点的坐标 M(x,y) （3）列出动点相关的约束条件 p(M) （4）将其坐标化并化简，f(x,y)=0 （5）证明 其中，最关键的一步是根据题意寻求等量关系，并把等量关系坐标化 设计意图：在这里我借助几何画板的动画功能，先让学生直观地、形象地、动态 地感受动点的轨迹是圆，接着要求学生求出轨迹方程，最后师生共同回顾求轨迹 方程的一般步骤，达到熟练掌握直译法、定义法，体会从感性到理性、从形象到 抽象的思维过程。 3、主动发现、主动发展 由上述例 1 可知，如果人站在梯子中间，则他会划了一段优美的圆弧飞出去。学 生很自然就会想，如果人不是站在中间，而是随意站，结果会怎样呢？让学生动 手探究
6、M 不是中点时的轨迹。 第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹（教师有意识的整合在一起） 设计意图：借助数学实验，把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生，让学生 自己在实践过程中发现疑问，更容易激发学生学习的热情，促使他们主动学习。 第二步：分解动作，向学生提出 3 个问题： 问题 1：当 M 位置不同时，线段 BM 与 MA 的大小关系如何？ 问题 2、体现 BM 与 MA 大小关系还有什么常见的形式？ 问题 3、你能类比例 1 把这种数量关系表达出来吗？ 第三步：展示学生归纳、概括出来的数学问题 1、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为
7、 AB 上 的点，满足 2 1 MA BM ，求点 M 的轨迹方程。 2、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为 AB 上 的点，满足3 MA BM ，求点 M 的轨迹方程。 3、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为 AB 上 的点，满足k MA BM ，求点 M 的轨迹方程。 （说明是什么轨迹） 第四步：课堂完成学生归纳出来的问题 1，问题 2 和 3 课后完成 4、合作探究、实现创新 改变 A、B点的运动方式，同样考虑中点M的轨迹，教师进行适当的指导（这里 固定 A 点，运动 B 点）
8、 学生主要列出了以下几种运动方式：圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且得出了一 些相应的轨迹。 5、布置作业、实现拓展 1、把上述同学们探究得到的轨迹图形用文字、符号描述出来， （仿造例 1）,并 求出轨迹方程。 2、已知 A（4，0） ，点 B 是圆4 22 yx上一动点，AB 中垂线与直线 OB 相 交于点 P，求点 P 的轨迹方程。 3、已知 A（2，0） ，点 B 是圆9 22 yx上一动点，AB 中垂线与直线 OB 相 交于点 P，求点 P 的轨迹方程。 4 若把上述问题中垂线改为一般的垂线与直线 OB 相交于点 P， 请同学们利用画板 验证点 P 的轨迹。 以下是学生课后探究得到的一些轨
9、迹图形 课后有学生问， 如果 X 轴和 Y 轴不垂直会有什么结果？定长的线段在上面滑动怎 么做出来？ 可以说，学生的这些问题我之前并没有想过，给了我很大的触动，同时也促使我 更进一步去研究几何画板，提高自己的能力。在这里，我体会到了教师不再只是 一根根蜡烛，更像是一盏盏明灯，在照亮别人的同时也照亮自己。 以下是 X 轴和 Y 轴不垂直时的轨迹图形 五、教学设计说明： （一） 、教材 平面动点的轨迹是高二一节探究课，轨迹问题具有深厚的生活背景，求 平面动点的轨迹方程涉及集合、方程、三角、平面几何等基础知识，其中渗透着 运动与变化、方程的思想、数形结合的思想等，是中学数学的重要内容，也是历 年高考
10、数学考查的重点之一。 （二） 、校情、学情 校情：我校是一所省一级达标校，省级示范性高中，学校的硬件设施比较完 善，每间教室都具备多媒体教学的功能，另外有两间网络教室和一个学生电子 阅室，并且能随时上网。 学情：大部分学生家里都有电脑，而且能随时上网。对学生进行了几何画板基 本操作的培训，学生能较快的画出圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本的圆锥曲 线。学生对求轨迹方程的基本方法有了一定的掌握，但是对文字、图形、符号 三种语言之间的转换还存在很大的差异，在合作交流意识方面，发展不均衡， 有待加强。 （三）学法 观察、实验、交流、合作、类比、联想、归纳、总结 （四） 、教学过程 1、创设情景，引入课题
11、 2、激发情感，引导探索 由梯子滑落问题抽象、概括出数学问题 第一步：让学生借助画板动手验证轨迹 第二步：要求学生求出轨迹方程 第三步：复习求轨迹方程的一般步骤 3、主动发现、主动发展 探究 M 不是中点时的轨迹 第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹 第二步：分解动作，向学生提出 3 个问题： 第三步：展示学生归纳、概括出来的数学问题 4、合作探究、实现创新 改变 A、B点的运动方式，同样考虑中点M的轨迹，教师进行适当的指导（这里 固定 A 点，运动 B 点） 学生主要列出了以下几种运动方式：圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且得出了一 些相应的轨迹。 5、布置作业、实现拓展 （五） 、教学特色： 借助网络、多媒体教学平台，让学生自己动手实验，发现问题并解决问题， 同时把学生的学习情况及时的展现出来，做到大家一起学习，一起评价的效果。 同时节省了时间，提高了课堂效率。 整个教学过程，体现了四个统一：既学习书本知识与投身实践的统一、书本 学习与现代信息技术学习的统一、书本知识与资源拓展的统一、课堂学习与课外 实践的统一。 本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极，与我保持良好的互动，还不时 产生一些争执，给我提出了一些新的问题，折射出我不足的方面，促进了我的进 步与提高,师生间的教与学就像一面镜子，互相折射,共同进步。
