1、余弦定理教学设计 一、一、教学内容解析教学内容解析 本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教 A 版数学必修 5 第一 章解三角形第一节正弦定理和余弦定理。第一节约 4 课时，2 课时通过探究 证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2 课时通过探究证明余弦定理，应用余 弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。 正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基 本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是 继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角 形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边
2、、边、 边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计 算的公式。 纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前 3 世纪。在欧几里得几何 原本卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余 弦定理的几何形式进行了证明。1593 年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几 何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到 20 世纪，三角形式的 余弦定理才一统天下。 “余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理 的身份出现，直到 1951 年，美国数学家荷尔莫斯在其三角学中才真正采用 解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。 ” 从
3、新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单 应用都呈现出变化。旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章平 面向量的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形 切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独 立章节解三角形中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的 角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形， 从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。在定理 的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知 识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余
4、弦定理和余弦函数的性 质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。 从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原 理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。而作为沟通代数、 几何与三角函数的工具向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可 以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向 量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。而且在证明之后还提出问 题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 教材的编排，就 是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理， 另外对向量工具性作用有所体
5、会和认识。 基于以上分析，本节课的教学重点是： 通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理。 二、二、教学目标设置教学目标设置 结合课程标准和教材编排，本节课的教学目标确定为： 1发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边 角有关的计算问题。 2. 通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解 析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。 3通过经历一个完整的探究学习过程，使学生体会数学探究活动的基本规 律，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。 三、三、学生学情分析学生学情分析 为了让学生更好的学习本节课，现将学生知识结构和能力水平分析如下： 本节
6、课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、 解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路， 也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上，学生会解直角三角形， 知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生 知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角 与角度有关，这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐 标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解析法证明余弦定理奠定 了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了一些探究的思路。能力水 平上，高二的学生已有了一定的观察和类比能力，
7、转化和分析问题的能力。 可是，在证明过程中，如何使学生自然的将原有的知识与现有的推理相联 系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明，从而提高 发现问题、探索问题、解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是这节课需 要突破的。 基于以上分析，本节课的教学难点是： 通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理。 四、四、教学策略分析教学策略分析 1.课堂活动重探究。采用探究式课堂教学模式。整个过程包括提出探究问 题确定探究方案完成探究过程。 2精心设计问题串。以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、 提升能力。 3形成问题学习链。学生独立思考和小组合作探究相结合，学生汇报交
8、流和老师点拨引导相结合，形成以提出问题与解决问题相互引发、携手并进的 “探究问题”学习链。 4重视生成展思维。在探究过程中，重视学生生成，激发学生思维，让 学生真正成为知识的“发现者”和“研究者” ，在知识的发成、发展过程中展 开思维。 五、五、教学过程设计教学过程设计 （一）复习回顾，提出问题复习回顾，提出问题 1.复习回顾 问题 1：前面我们学习了正弦定理，它的形式是什么？ 问题 2：利用正弦定理，我们已经解决解三角形的哪些类型的问题？ 设置意图：通过回顾正弦定理的形式和能用其解三角形的类型，让学生认 识到正弦定理是解三角形的工具，是定量研究三角形边角关系的重要定理。 2.提出问题 问题
9、3：对于解三角形的问题,我们还有哪些类型的问题没有解决呢？ 设置意图：借此引发学生的认知冲突，引导学生提出问题，完善解三角形 体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探 索解决问题的动机。 （二）分析问题，确定方案分析问题，确定方案 探究一：已知两边及其夹角解三角形 问题：怎样确定解决问题的方案？ 设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有 的放矢，明确解决问题的方向。 学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果。 过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理。必要 时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角
10、形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点 之间的距离，能用坐标法求解吗？ 设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和 解决问题，自主探究获得定理的证明。使其在探究中对问题本质的思考逐步深 入，思维水平不断提高。 （三）发现定理，分析内涵发现定理，分析内涵 不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深 入，去分析余弦定理的内涵。 思考：观察Cabbaccos2 222 的结构特征，谈一谈你对等式的理解。 设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论。 （四）解决问题，理解定理解决问题，理解定理 得到了余弦定理，继
11、续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角 形的过程。 探究二：已知三边解三角形 设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步 理解和应用余弦定理。 （五）例题展示，巩固定理例题展示，巩固定理 例：在ABC中，已知,30, 3, 32 Abc解三角形。 设置意图：巩固熟悉余弦定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学 生对正余弦定理解三角形有进一步的体验。 （六）课堂小结，提炼过程课堂小结，提炼过程 思考：余弦定理及其推论发现和证明的过程是怎样的？在这个过程中你有 什么体会？ 设置意图：小结环节设置了两个问题：谈过程，谈体会。目的是不但让学 生经历整个探究学习过程，还
12、能在此基础上对本节课有整体的认识，说出整个 过程的环节，感受以及发现证明定理运用的方法等。 （七）布置作业，课后探究布置作业，课后探究 （1）课本 10 PA 组 3,4 题 （2）拓展思考：相等和不等是一对辩证的关系，请根据角的范围讨论余弦 定理中所蕴含的相等和不等关系. 设置意图：作业一是巩固熟悉利用余弦定理解三角形，作业二的目的是进 一步挖掘余弦定理的内涵。 （八）板书设计板书设计 1.1.2 余弦定理 1、余弦定理例： Cabbaccos2 222 Abccbacos2 222 几何法 Baccabcos2 222 向量法 ab cba C 2 cos 222 坐标法 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 2、可解决的解三角形问题 已知两边及其夹角 已知三边
