1、无锡市青山高级中学 2020 年秋学期高二数学期中考试试卷 一单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 命题“? ? ? ? ?”的否定是（） A. ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ?D. ? ? ? ? ? 2. 点?、?分别为椭圆? ? ? ? ? ? ? ? 左右两个焦点， 过?的直线交椭圆与 ?、? 两 点，则?的周长为（） A. 32B. 16C. 8D. 4 3. 函数 ? ? ? ? ? ? ? ? t ? 的最小值为（） A. 5B. 3C. 8D. 6 4. 数列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的一个通项公式为（） A. ? ?
2、 ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ? 5. “ ? ? ? ?”是“? ? ?”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不不要条件 6. 若“? ? ? ? ? ? ? ?”是真命题，则实数 ? 的取值范围是（） A.?B.? ? ? ? ? ?C.? ?D.? ? ? ? ? ? 7. 等差数列 ?的首项和公差均不为 0， 且满足?成等比数列， 则? ? 的值为（） A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 8. 周髀算经是中国古代要的数学著作，其记的“日月历法”曰
3、;“阴阳之数，日 月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十大岁，二十部为一遂，遂千百五二 十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公属住有 20 位老人，他们 的年(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是百之(年龄介 90 至 100)，其 余 19 人的年依次相差一岁，则年长者的年龄为（） 二、选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9. 下列命题正确的是（） A. ? ? ? ? ? ? t ? B. ? ? ? ?t ? C. ? ? ? ? ? 的充
4、要条件是? ? ? ? D. 若 ? ? ? 且 ? ? ? t ?，则 ? 中至有一个大于 1 10. ?是等差数列，公差为 d，前项和为 Sn，若? ?, ? ?t ?, 则下列 结论正确的是（） A. ? ? ?B. ? ?C. ?t ? D. ? ? 11. 设 ab0，则下列不等式一定成立的是（） A. ? ? ? ? ? ? ?B. ?t ?C.? ? ? ? D. ?t ? 12. ?是数列 ?前 n 项的和，且满足? ?，? ?，则下列说法正确的 是（） A.?是等比数列B. ?中能找到三项?使得?=? C.?是等比数列D. ? ? 的前 n 项的和? ? ? 三 填空题（每小
5、题 5 分，共 20 分） 13. 椭圆 C 的左焦点为?（-6，0） ，且经过点 P（5，2） ，则椭圆 C 的标准方程 为 14. 若关于 ? 的不等式 ? ? t ? 的解集为 ? ? ? ? ，则关于 ? 的不等式? ? t ? 的解集为 15. 函数 ? ? ? ? ? 图象的顶点为 A，若点 A 在直线? ? ? ? ? ? 上， 其中 ? 均为正数，则 ? ? ? ? ?的最小值为 16. 数列 ?满足，? ?，? ? t?（c 是常数，? ? ?） ，且?成 公比不为 1 的等比数列，则 ?的通项公式为 四. 解答题（本大题共 6 题，计 70 分） 17. （本题满分 10
6、分） 已知 ? ? ? ? ? ?, 命题 ? ? ? ? ? ?. （1） 当 ? ? ? 时，? 和 ? 都是真命题，求 ? 的取值范围； （2） 若 ? 是 ? 的必要不充分条件，求实数 ? 的取值范围. 18. （本题满分 10 分） 设 ?是等差数列， ?是各项都为正数的等比数列，且? ? ? ?，? ? ? ?，? ? ? （1） 求 ?和 ?的通项公式； （2） 设t? ? ?，求数列 t?的前 n 项和? 19.（本题满分 10 分） 已知函数 ? ? ? ? ? t（?t ? ?）, 且 ? ? ? ? 的解集为 ? ? （1） 求函数 ? ? 的解析式； （2）解关于 ?
7、的不等式 ? ? t ? ? ? ? ? ? ，其中 ? ? ? 20. (本题满分 12 分) 在数列 ?中，? ?，? ? ? ?，? ? ? (1)证明数列 ? 是等比数列； (2)求数列 ?的前 n 项和 Sn， 3)证明: 不等式? ?，对任意 ? ? ?成立 21. ( 本题满分 14 分) 科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投 ?(? ? ? ? ? 且 ?R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x（小时)化的函 数关系式 近似为 ? ? ? ? ? ? ，其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8、? ? ? , 若多次投放，则某一时 刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和. 根据经验， 当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用. (1)若一次投放 4 个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？ (2)若第一次投放 2 个单位的药剂，6 小时后再投放 1 个单位的药剂，则在接下 来的 4 小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值? 最小值为多少? 22.( 本题满分 14 分) 对于函数 ? ? ，若在定义域内存在实数 x，满足 ? =? ? ，则称 ? ? 为“局 部奇函数” (1)二次函数 ? ? =? ? ?（? 且 ? ? ?） 若?
9、? ? ? ? ，有 ? ? 0 恒成立，求 ? 的取值范围； 判断 ? ? 是否为“局部奇函数”?并说明理由； (2)若 ? ? =? ? ? ? ? ? ? 为 R R 上的“局部奇函数”， 求实数 ? 的取值范围. 参考答案 1. 9.BD10.ABD 13. ? ? ? ? ? ? ?14.? ?15. 816. ? ? ? ? ? 17.(1)? ? ? ? ?(2)? t ? 18.(1) ? ?；? ? （2）? ? ? 19.(1) ? ? ? ? ? ? ? (2)m=0 时， ? ? ；? ? ? ? ? 时， ? ? ? ? ? ? ? ? ； m=2 时， ? ? ?
10、? ? ? ；? t ? 时， ? ? ? ? ? ? ? ? 20. （1）由? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ?，所以数列 ? 是首项为 1，且公比为 4 得等比数列 （2）? ? ? ? ? ? ? （3）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即不等式? ?，对任意 ? ? ? 成立 21. （1）? ? ? ? ?，即有效治污时间能持续 8 天 （2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 ? ? ? 时取等号 所以 10 小时时浓度达到最小值 3 22.（1）? t ? ? ? 不是 “局部奇函数”(2)? t ?
